Discussion :

[aziz1015]

Bonjour,

j'ai une question sur les probabilités dans un modèle à états comme sur l'image jointe.

Si je veux par exemple avoir la probabilité d'être incapable avec ce modèle à partir de tous les états possibles. Est ce bien :

( proba d'être valide *1/2*proba de passer de valide à incapable + proba d'être invalide *(1- taux de passage d'incapable à invalide) + proba de maintien en incapacité )*(1-1/2*proba de décès)*(1 - proba de résiliation)

Par avance, je vous remercie pour votre aide.



Abdel-aziz

[tbc92]

Les facteurs 1/2 , pourquoi ?
Et par ailleurs, : proba d'être invalide *(1- taux de passage d'incapable à invalide) : c'est un peu incohérent. Je pense que tu voulais écrire proba d'être incapable*(1- taux de passage d'incapable à invalide)

Je ne te donne pas la réponse, en particulier parce que ce n'est pas totalement clair, je ne suis pas du tout certain de savoir répondre à la question. Mais les 2 points ci dessus, c'est sûr, ça ne va pas.

En fait, tu as écrit une longue formule, mais tu n'expliques pas chaque étape de ton calcul.
Pour moi, une formule sans explication, c'est quasi certain, c'est faux.
Si tu écris une formule, et si tu es capable d'expliquer cette formule, alors c'est bon signe, c'est probablement bon.

[aziz1015]

Les facteurs 1/2 , pourquoi ?
Et par ailleurs, : proba d'être invalide *(1- taux de passage d'incapable à invalide) : c'est un peu incohérent. Je pense que tu voulais écrire proba d'être incapable*(1- taux de passage d'incapable à invalide)

Je ne te donne pas la réponse, en particulier parce que ce n'est pas totalement clair, je ne suis pas du tout certain de savoir répondre à la question. Mais les 2 points ci dessus, c'est sûr, ça ne va pas.

En fait, tu as écrit une longue formule, mais tu n'expliques pas chaque étape de ton calcul.
Pour moi, une formule sans explication, c'est quasi certain, c'est faux.
Si tu écris une formule, et si tu es capable d'expliquer cette formule, alors c'est bon signe, c'est probablement bon.

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Je m'explique :

Pour moi, la probabilité d'être incapable dans ce schéma peut se résumer en 3 évènements :

la probabilité d'être valide et de devenir incapable par la suite


que je traduis par : proba d'être valide *1/2*taux de passage de valide à incapable

1/2 parce que je suppose qu'un valide a autant de chance de chances de mourir que de devenir incapable

OU

la probabilité d'être invalide et de devenir incapable

proba d'être invalide *taux de passage d'invalide à incapable

OU

La probabilité d'être incapable et de se maintenir dans cet état
proba d'entrée en incapacité*proba de maintien en incapacité
ET
de ne pas avoir fait de résiliation
ET
de ne pas être décédé (1- proba de résiliation)*(1-1/2*proba de décès)

J'ai essayé de vous expliquer mon raisonnement en tenant compte de vos remarques. Pourriez-vous me dire ce qui ne va pas svp ?

Merci

[Guesset]

Bonjour,

Le texte n'est pas en conformité avec le schéma qui :

• ne prévoit pas de transition d'invalidité vers incapacité.
• ne prévoit de sortie du contrat que pour les valides, mais le décès devrait entrainer une résiliation me semble-t-il.
• ne prévoit pas d'entrée sous contrat (certainement pour les seuls valides) ce qui mécaniquement mènera le nombre de valides à 0.

La probabilité devrait être temporelle (par mois, an ou autre). A défaut, la probabilité intemporelle du décès est 1. Si c'est une probabilité instantanée, il n'y a aucune combinaison de probabilités car une combinaison suppose plusieurs transitions d'états en séquence ce qui ne saurait être instantané.

Par exemple, sauf erreur de ma part, la probabilité d'être valide et de devenir incapable est, en instantané, seulement p(valide -> incapable).
Si les probabilités sont, par exemple, mensuelles, la probabilité devient p(valide -> incapable)/(1 - p(incapable-> valide)*p(valide -> incapable))*p(maintien incapacité) si on tient compte d'allers-retours valide <-> incapable dans la période. L'idée est que pour qu'un valide soit dans l'état d'incapacité à la fin du mois, il faut qu'il passe dans cet état peut être avec des allers-retours et qu'il y reste.

En considérant qu'il n'y a, par individu, qu'une transition possible par période (par exemple journalière), on simplifie singulièrement les calculs (quasi idem probabilité instantanée).

Je conseillerais de numéroter les états pour pouvoir écrire p(1,2) pour la probabilité de passer de l'état 1 à l'état 2 ce qui serait plus lisible? Si valide est l'état 1 et incapacité l'état 2, l'expression précédente devient plus lisible : p(1,2)/(1 - p(2,1)*p(1.2))*p(2,2).

Il est préférable de ne mettre les valeurs numériques qu'à la fin des calculs.

Salutations

[aziz1015]

Bonjour,

Merci pour votre retour.

Bonjour,

Le texte n'est pas en conformité avec le schéma qui :

• ne prévoit pas d'entrée sous contrat (certainement pour les seuls valides) ce qui mécaniquement mènera le nombre de valides à 0.

Je ne comprends pas trop cette phrase.

La probabilité devrait être temporelle (par mois, an ou autre). A défaut, la probabilité intemporelle du décès est 1. Si c'est une probabilité instantanée, il n'y a aucune combinaison de probabilités car une combinaison suppose plusieurs transitions d'états en séquence ce qui ne saurait être instantané.

La probabilité est par année

En considérant qu'il n'y a, par individu, qu'une transition possible par période (par exemple journalière), on simplifie singulièrement les calculs (quasi idem probabilité instantanée).

Je ne peux pas considérer cela dans mon modèle. Pour résumer, j'ai déjà comme inputs par âge et par pas de temps d'un an : les taux d'entrée en incapacité, les qx du décès, les taux de résiliation, les taux de retour à l'état sain. Quand je passe d'une année à l'autre, je dois faire intervenir la probabilité d'être en vie (1-proba de décès).

Par exemple, sauf erreur de ma part, la probabilité d'être valide et de devenir incapable est, en instantané, seulement p(valide -> incapable).

Pourquoi il n'y pas de 1/2 ? Quand un individu est à l'état valide, il peut soit passer à l'état incapable, soit passer à l'état décédé non ?

J'essaie de comprendre votre formule. Partons de votre proposition :

• 1 représente l'état valide
• 2 représente l'état incapable
• 3 représente l'état décédé
• 4 représente l'état invalide

D'où :

• à t=0, proba d'être valide est de 100%
• à t=1, p(1,1) = 100%*(1-p(1,3))*(1-p(1,2))*(1-proba de résiliation)
  

Est ce correct ? Je continue :

Être incapable se traduit pour moi par : 1->2 ou 2->1->2 ou 2->2

Donc Toujours à t=1, la probabilité d'être incapable est pour moi :

p(2) = 100%*(1-p(1,3))*(1-p(1,2))*(1-proba de résiliation)*( p(1,2)+ p(2,2)*p(2,1)*p(1,2)+p(2,2) )

Je conseillerais de numéroter les états pour pouvoir écrire p(1,2) pour la probabilité de passer de l'état 1 à l'état 2 ce qui serait plus lisible? Si valide est l'état 1 et incapacité l'état 2, l'expression précédente devient plus lisible : p(1,2)/(1 - p(2,1)*p(1.2))*p(2,2).

Tout ça pour dire que je ne comprends pas la division dans votre formule.

merci encore pour votre aide.

[tbc92]

Quand un individu est valide il peut :
- soit rester valide
- soit entrer en incapacité
- soit décéder.
Et il peut aussi résilier son contrat


Donc le 1/2 n'est pas justifié, ce serait plutôt 1/3 ou éventuellement 1/4.
Mais ce n'est pas 1/3 ni 1/4 non plus.
En fait, partant de l'état 'Valide', il y a 4 flèches.
Il faudrait mettre des poids (des proportions, des taux ...) à côté de chaque flèche.
Et du coup :

Quand un individu est valide il peut :
- soit rester valide avec une probabilité P11
- soit entrer en incapacité avec une probabilité P12
- soit décéder. avec une probabilité P13
Normalement, P11+P12+P13 =1

Et il peut aussi résilier son contrat avec une probabilité P15


C'est un exercice 'scolaire', ou c'est autre chose ?

[aziz1015]

Quand un individu est valide il peut :
- soit rester valide
- soit entrer en incapacité
- soit décéder.
Et il peut aussi résilier son contrat

Et du coup :
Quand un individu est valide il peut :
- soit rester valide avec une probabilité P11
- soit entrer en incapacité avec une probabilité P12
- soit décéder. avec une probabilité P13
Normalement, P11+P12+P13 =1
Et il peut aussi résilier son contrat avec une probabilité P15

Donc si je prends le cas d'un individu valide, la probabilité qu'il reste valide à t=1 est :
100%*[(1-p12)]*[1-p13]*[1-p15] ?

5 pour la résiliation


Je vais utiliser le pas de temps d'un mois pour me faciliter la tâche.
Toujours selon la même logique (si je l'ai comprise), l'évènement "l'individu est incapable à t=1" peut se réaliser :

• - si l'individu est valide à t=1 ET devient incapable
  OU
• - si l'individu est incapable ET ne décède pas à t=1
  OU
• - si l'individu est incapable ET se maintient en incapacité

donc la probabilité d'être incapable à t=1 est :

(proba d'être valide à t=1)*p12+p22*(1-p23)+p(22)

C'est un exercice 'scolaire', ou c'est autre chose ?

Merci pour votre réponse.

Non non, dans le cadre de mon boulot, j'essaie de corriger les formules de proba d'un produit emprunteur, elles m'ont toutes paru fausses à vue d'œil mais je ne parviens pas non plus à les corriger. je projette pour un assuré donné, son capital restant du à date jusqu'à expiration de la durée restante du prêt. Lors de la modélisation (donc des projections), je dois tenir compte des sinistres (décès, incapacité et invalidité) que l'assureur doit/peut payer à chaque pas de temps.

[aziz1015]

Voici ce que j'ai aujourd'hui pour la proba d'être incapable à t=1.

En BC26, c'est la proba d'entrée en invalidité, qui n'a rien à faire là de ce que j'ai compris. Puisque je n'ai pas de transition de l'état invalide vers l'état incapable.

En BK26 et BL26, se trouvent des taux de décès accidentel et d'incapacité accidentel; qui ne sont pas du tout à prendre en compte.

[Guesset]

Bonjour,

Il faut prévoir les nouveaux contrats sinon nous avons une population strictement décroissante (résiliation et mort).

Un vivant (état 1) frappé d'incapacité (état 2) doit passer de 1 à 2 et y rester. Pour passer de 1 à 2, il y a plusieurs façons :
1->2 : p(1,2)
1->2->1->2 : p(1,2)p(2,1)p(1,2)
1->2->1->2->1->2 : p(1,2)p(2,1)p(1,2)p(2,1)p(1,2) = p(1,2)p(2,1)²p(1,2)²
1->2->1->2->1->2 ->1->2 : p(1,2)p(2,1)p(1,2)p(2,1)p(1,2)p(2,1)p(1,2) = p(1,2)p(2,1)³p(1,2)³
etc.
Soit p_totale(1,2) = p(1,2) Sum((p(1,2)p(2,1))ⁱ) pour i de 0 à l'infini soit p_totale(1,2) = p(1,2)/(1 - p(1,2)p(2,1)).
Comme par ailleurs, il doit rester dans l'état 2 on obtient P(1,2) = p(1,2)p(2,2)/(1 - p(1,2)p(2,1)).
Soit parce que p(1,2) intègre déjà les allers-retours 2->1->2, soit parce que p(1,2) est très faible (la probabilité de p(1,1), c'est à dire rester vivant, est largement la plus élevée), on pourrait négliger p(1,2)p(2,1) et la formule se simplifierait en P(1,2) = p(1,2)p(2,2).
Sur un an on ne peut considérer que chaque état ne peut connaître qu'une seule transition. On a donc des probabilités combinées.

Pourquoi il n'y pas de 1/2 ? Quand un individu est à l'état valide, il peut soit passer à l'état incapable, soit passer à l'état décédé non ?

Comme tbc92 l'a expliqué, ce n'est pas parce qu'il n'y aurait que deux transitions qu'elles devraient être équiprobables. Si pour gagner aux dés il faut que je fasse un 1, il n'y a que deux états : perdu et gagné. Perdu a une probabilité de 5/6 tandis que gagné a une probabilité de 1/6. Ensuite, ici il n'y a pas que 2 transitions mais 4 (mourir, rester en vie, résilier son contrat, être frappé d'incapacité).

Salutations

[aziz1015]

Bonjour,

Il faut prévoir les nouveaux contrats sinon nous avons une population strictement décroissante (résiliation et mort).

Salutations

Merci pour votre retour.

Ma projection se fait tête par tête et en run-off sans prise en compte de nouveaux contrats. Je prends un assuré et je le projette jusqu'à ce que la durée restante de son prêt s'épuise.

[tbc92]

Donc si je prends le cas d'un individu valide, la probabilité qu'il reste valide à t=1 est :
100%*[(1-p12)]*[1-p13]*[1-p15] ?
Non.
La probabilité qu'il reste valide est P11. Ou peut-être P11*(1-P15)

Attention, la résiliation est un peu particulière.
Pour moi, on a P11+P12+P13 = 100%
Quand un individu est valide, il peut devenir incapable, ou rester valide, ou décédé, et la somme des 3 possibilités donne 1. Et par ailleurs, il reste client ou pas.
Dans cette optique là, ce qui nous intéresse, c'est la probabilité que tel individu reste valide et reste client . Donc P11*(1-P15)

Mais ce n'est que ma vision. As tu les valeurs de P11, P12, P13 ? Si tes valeurs sont telles que P11+P12+P13+P15=100%, alors la probabilité qu'un individu reste valide et reste client est P11, et non P11*(1-P15).

Et en plus, ça y est, je vois apparaître la notion de 'multi-périodes', c'était prévisible.
Si un individu est valide aujourd'hui, la probabilité qu'il soit valide dans un mois est forte, la probabilité qu'il soit valide dans un an est un peu moins forte...
Si tu dois traiter ces aspect multi-périodes, ça peut être utile de lire des tutoriels sur les chaines de Markov.

[aziz1015]

Comme par ailleurs, il doit rester dans l'état 2 on obtient P(1,2) = p(1,2)p(2,2)/(1 - p(1,2)p(2,1)).

Merci pour vos explications. On est d'accord que je dois rajouter : la proba qu'il ne résilie pas non ?

P(1,2) = (1-proba de résil)*p(1,2)p(2,2)/(1 - p(1,2)p(2,1)).

[aziz1015]

Donc si je prends le cas d'un individu valide, la probabilité qu'il reste valide à t=1 est :
100%*[(1-p12)]*[1-p13]*[1-p15] ?

Je reformule, la proba qu'un client valide reste valide, qu'il ne meurt pas et qu'il ne résilie pas son prêt est bien :
p11*[(1-p12)]*[1-p13]*[1-p15]

En gros, la proba qu'un client valide ne soit touché par aucun de ses états de transition direct du schéma.

Dans cette optique là, ce qui nous intéresse, c'est la probabilité que tel individu reste valide et reste client . Donc P11*(1-P15)

je dirais qu'il reste valide, client, qu'il ne meurt pas et qu'il ne devienne pas incapable ...

Mais ce n'est que ma vision. As tu les valeurs de P11, P12, P13 ? Si tes valeurs sont telles que P11+P12+P13+P15=100%, alors la probabilité qu'un individu reste valide et reste client est P11, et non P11*(1-P15).

Elles ne font pas 1.

j'ai P11 => la probabilité qu'un individu soit sain à un âge donné
j'ai P12 => la probabilité de passage de l'état valide à l'état incapable à un âge donné
j'ai P13 => la probabilité de passage de l'état valide à l'état décédé à un âge donné
j'ai P15 => la probabilité qu'un client valide résilie son contrat

ce que je cherche maintenant, vous l'auriez compris; c'est la combinaison de ses probabilités en fonction de l'état dans lequel mon client

Et en plus, ça y est, je vois apparaître la notion de 'multi-périodes', c'était prévisible.
Si un individu est valide aujourd'hui, la probabilité qu'il soit valide dans un mois est forte, la probabilité qu'il soit valide dans un an est un peu moins forte...
Si tu dois traiter ces aspect multi-périodes, ça peut être utile de lire des tutoriels sur les chaines de Markov.

J'ai déjà les proba avec pris en compte du pas de temps ... et dans ma projection ma proba à t=2 va faire intervenir la proba que le client soit présent et valide à t=1 par exemple ...

[Guesset]

Bonjour Aziz,

...Ma projection se fait tête par tête et en run-off sans prise en compte de nouveaux contrats. Je prends un assuré et je le projette jusqu'à ce que la durée restante de son prêt s'épuise.

Cela ne semble pas réaliste. Par exemple, la probabilité de mourir d'une personne dépend manifestement de son âge, dépendance que l'on peut négliger si, au lieu d'un seul individu, on s'intéresse à une population suffisamment importante et homogène.

Salutations

[aziz1015]

Cela ne semble pas réaliste. Par exemple, la probabilité de mourir d'une personne dépend manifestement de son âge, dépendance que l'on peut négliger si, au lieu d'un seul individu, on s'intéresse à une population suffisamment importante et homogène.

C’est une norme européenne concernant la modélisation des produits emprunteur tête par tête. Le but est d’avoir la meilleure charge que représente un assuré.

[tbc92]

Je reformule, la proba qu'un client valide reste valide, qu'il ne meurt pas et qu'il ne résilie pas son prêt est bien :
p11*[(1-p12)]*[1-p13]*[1-p15]

Non. Si les valeurs p11, p12 ... sont des probabilités, non.
Si ces valeurs sont autre chose, alors peut-être.

Pour vérifier, tu peux calculer tous les cas de figure :
Pour un individu valide : probabilité qu'il reste valide, probabilité qu'il devienne invalide, probabilité qu'il devienne incapable, probabilité qu'il décède, tout ça en restant client, et enfin probabilité qu'il résilie son contrat.
Et la somme doit faire 1.
Si tes formules p11*[(1-p12)]*[1-p13]*[1-p15] marchent, et que la somme donne bien 1, alors elles sont probablement bonnes.
Et tant que tu n'arrives pas à avoir une somme égale à 1 au final, c'est que tes formules ne sont pas bonnes.

Si tes valeurs sont telles que P11+P12+P13+P15=100%, ...
Elles ne font pas 1.

Ok, elles font combien ? Est-ce que P11+P12+P13=1 ?

Quand on parle probabilité, c'est simple : on prend tous les cas possibles, on fait la somme des probabilités, et cette somme doit faire 1. Si ce n'est pas 1, il y a une erreur ; et si c'est 1, soit c'est une coïncidence, soit c'est bon.

[Guesset]

Bonjour tbc92;

Non. Si les valeurs p11, p12 ... sont des probabilités, non.

Si ce sont des probabilités de transition d'un état à l'autre, la formule que je propose est valide. Mais si ce sont des probabilités d'état final à partir d'un état donné sans tenir compte du parcours, la formule se simplifie, mais dans ce cas la représentation en graphe n'est pas la meilleure.

Dans tous les cas, la relation de fermeture est respectée.

Peut être plus clairement, le choix de l'approche répond à la question : est-ce que la probabilité qu'un valide décède intègre le fait qu'il puisse d'abord passer en incapacité voire en invalidité avant son décès dans la même année ?

Il est effectivement plus simple de considérer que ce ne sont que des probabilité d'état final.

Salut

[aziz1015]

Non. Si les valeurs p11, p12 ... sont des probabilités, non.
Si ces valeurs sont autre chose, alors peut-être.

Pour vérifier, tu peux calculer tous les cas de figure :
Pour un individu valide : probabilité qu'il reste valide, probabilité qu'il devienne invalide, probabilité qu'il devienne incapable, probabilité qu'il décède, tout ça en restant client, et enfin probabilité qu'il résilie son contrat.
Et la somme doit faire 1.
Si tes formules p11*[(1-p12)]*[1-p13]*[1-p15] marchent, et que la somme donne bien 1, alors elles sont probablement bonnes.
Et tant que tu n'arrives pas à avoir une somme égale à 1 au final, c'est que tes formules ne sont pas bonnes.
.

Merci pour votre message.

J'ai essayé de suivre ce que vous avez dit et non, ça ne donne pas 1. (cf. image ci-dessous)



en fait dans mes inputs, p12 par exemple, c'est le taux de passage de valide à incapable la première année de projection. Il est le même pour tous les clients, quelque soit leur âge.
p15 aussi, les taux de résiliation sont des valeurs qui dépendent de l'année de la projection et non de l'âge.

Les seules proba en fonction de l'âge parmi les inputs qui me sont fournis sont : la proba qu'un individu décède et la proba qu'un individu devienne invalide.

toutes les proba (ou taux) que vous voyez dans l'image (à part la proba qu'un individu soit valide et client que je déduis des autres) sont des inputs qui me sont envoyés par d'autres équipes.

[tbc92]

Effectivement, si tu as des informations qui dépendent de l'âge, et d'autres où tu as juste une moyenne grossière pour tous les âges, quand on recolle tout ça, la somme ne donne pas 1.
Mais on n'est pas très loin de 1, et surtout, la proba que l'individu résilie est visiblement à intégrer dans le total.
Tu as P11+P12+P13+P14+P15 proche de 1, alors que P11+P12+P13+P14 est très inférieur à 1.

Ce que tu as pour P11, (le 70%), c'est la probabilité que l'individu reste valide et reste client.

Donc , quand tu demandais : Je reformule, la proba qu'un client valide reste valide, qu'il ne meurt pas et qu'il ne résilie pas son prêt est bien : ....
Cette probabilité là, c'est le 70% qu'on te donne. Pas besoin de faire les multiplications par (1-P12)(1-P13) ...

Sauf que ... les données que tu reçois, elles ne sont pas toutes calculées de la même façon, tu as des données calculées sur une tranche d'âge précise, d'autres sur le total des clients ... et ça ne tombe pas tout à fait juste.
Si tu veux faire les choses bien, tu peux faire une règle de 3. Et au lieu de 70,078%, tu auras environ 69%.

A voir, à vérifier si pour d'autres tranches d'âge tu trouves toujours quelque chose entre 95% et 105% , et si oui, je pense que tu peux faire l'impasse et garder le chiffre tel quel.


Et petit cours de proba au passage.
Passons sur un autre domaine : Quelle est la probabilité d'obtenir 6 en lançant un dé.
C'est 1/6
Et toi, ce que tu fais, c'est : pour obtenir un 6, il faut (pas obtenir un 1) et (pas obtenir un 2) et (pas obtenir un 3) et (pas obtenir un 4) et (pas obtenir un 5) et (obtenir un 6)
Donc tu dis : la probabilité d'obtenir un 6, c'est (5/6)*(5/6)*(5/6)*(5/6)*(5/6)*(1/6)

Cette histoire de MULTIPLIER des probabilités, c'est valable quand on lance plusieurs dés, ou quand on combine plusieurs expériences.

C'est ce que tu vas devoir faire quand tu auras plusieurs années à traiter: la probabilité d'être toujours valide à 63 ans, (je suis valide aujourd'hui, proba d'être valide dans un an, et encore valide dans 2 ans), c'est 70%*70%=49%.

[aziz1015]

Bonjour tbc92;

Si ce sont des probabilités de transition d'un état à l'autre, la formule que je propose est valide. Mais si ce sont des probabilités d'état final à partir d'un état donné sans tenir compte du parcours, la formule se simplifie, mais dans ce cas la représentation en graphe n'est pas la meilleure.

Salut

Bonjour Guesset,

ce sont des probabilités de transition d'un état à l'autre, les seules que je n'ai pas sont : les probabilités qu'un incapable décède et qu'un invalide décède.

J'ai comme inputs :

• le taux de résiliation (qui ne dépend pas de l'âge) mais de l'année de projection
• le taux de passage de valide à incapable (qui ne dépend pas de l'âge) mais de l'année de projection
• la probabilité qu'un valide décède (qui dépend de l'âge) et ne tient pas comptes des autres états
• le probabilité de maintien en incapacité (qui dépend de l'âge)
• la probabilité de passage d'incapable à invalide (qui dépend de l'âge)

Peut être plus clairement, le choix de l'approche répond à la question : est-ce que la probabilité qu'un valide décède intègre le fait qu'il puisse d'abord passer en incapacité voire en invalidité avant son décès dans la même année ?

La probabilité qu'un valide décède ne tient en effet pas compte du fait qu'il puisse devenir incapable ou invalide avant de décéder.