wiwaxia

Suite du billet précédent.

# Les trois déterminants précédemment définis ne sont pas indépendants; le développement par la relation de Chasles de leur expression en fonction des vecteurs AB et AC conduit en effet aux résultats:

Q_A = Det(MA + AB, MA+ AC) = Det(MA, MA) + Det(MA, AC) + Det(AB, MA) + Det(AB, AC)
Q_B = Det(MA + AC, MA) = Det(MA, MA) + Det(AC, MA)
Q_C = Det(MA, MA + AB) = Det(MA, MA) + Det(MA, AB)

dont chacun commence par un terme nul;
par ailleurs l'antisymétrie des déterminants: Det(u, v) = - Det(v, u)
entraîne une autre simplification au niveau de la somme: Q_ABC = Q_A + Q_B + Q_C ,
en raison de la présence de deux paires de termes opposés:

Q_ABC = Det(MA, AC) + Det(AB, MA) + Det(AB, AC) + Det(AC, MA) + Det(MA, AB)

et conduit à une expression très simple, indépendante de la position du point (M): Q_ABC = Det(AB, AC) .

# Aspect géométrique: chacun des quatre déterminants représente l'aire algébrique du parallélogramme construit sur les deux vecteurs, donc le double de celle du triangle correspondant délimité par une diagonale; ainsi:
Q_A = A_(MBA1C) = 2 * A_(MBC) ; Q_B = A_(MCB1A) = 2 * A_(MCA)
Q_C = A_(MAC1B) = 2 * A_(MAB) ; Q_ABC = A_(ABA'C) ^(*) = 2 * A_(ABC) (*) parallélogramme non représenté


Lorsque (M) se trouve à l'intérieur du triangle (ABC), les quatre termes présentent le même signe (s = ± 1 , selon l'orientation de la figure), et l'on a:
Q_A = s * │Q _A│ , Q_B = s * │Q _B│ , Q_C = s * │Q _C│ , Q_ABC = s * │Q _ABC│ ;
la relation générale prend alors la forme: │Q _ABC│ = │Q _A│ + │Q _B│ + │Q _C│
puis, si l'on divise tout par (2): │A _(ABC)│ = │A _(MBC)│ + │Q _(MCA)│ + │Q _(MAB)│ ;
le tracé des segments (MA, MB, MC) induit alors une partition de la figure, de sorte qu'en l'absence de tout interstice ou recouvrement, la somme des aires géométriques des secteurs (MAB, MBC, MCA) est égale à celle de l'ensemble (ABC).