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Suite du billet précédent.

# Cela devient amusant lorsque l'on envisage les variations du produit des trois déterminants:
P = Q_A * Q_B * Q_C ,
lesquels présentent une somme constante pour un triangle (ABC) donné: Q_A + Q_B + Q_C = Q_ABC .
On obtient par différentiation:
dP = (Q_B * Q_C) * dQ_A + (Q_C * Q_A) * dQ_B + (Q_A * Q_B) * dQ_C ,
dQ_A + dQ_B + dQ_C = 0 ,
pour parvenir à l'expression de (dP) qui ne dépend plus que de deux variations élémentaires indépendantes:
dP = Q_B * (Q_C - Q_A) * dQ_A + Q_A * (Q_C - Q_B) * dQ_B .

Au voisinage d'un éventuel extremum (dP) est identiquement nul, et l'on doit avoir:
(dP = 0) quelles que soient les valeurs de (dQ_A) et (dQ_B), ce qui implique:

(1) Q_B * (Q_C - Q_A) = 0 et (2) Q_A * (Q_C - Q_B) = 0 , soit encore en détaillant plus:

[ (1a) Q_B = 0 ou (1b) Q_A = Q_C ] et [ (2a) Q_A = 0 ou (2b) Q_B = Q_C ] .

Les 4 combinaisons possibles conduisent à l'ensemble des solutions:

(1a/2a): Q_A = Q_B = 0 _ _ _ _ _ _ Intersection(BC, CA) = Sommet (C)
(1a/2b): Q_B = Q_C = 0 _ _ _ _ _ _ Intersection(CA, AB) = Sommet (A)
(1b/2a): Q_C = Q_A = 0 _ _ _ _ _ _ Intersection(AB, BC) = Sommet (B)
(1b/2b): Q_A = Q_B = Q_C _ _ _ _ _ Point (K)

Pour la dernière solution, les trois déterminants admettent pour valeur commune: Q_ABC / 3 ;
■ comme ils présentent le même signe, le point (K) se situe à l'intérieur du triangle (ABC);
■ le sommet commun aux triangles (KAB, KBC, KCA) appartient à une parallèle au côté extérieur (AB, BC, CA) située au tiers de la distance qui sépare ce dernier du troisième sommet (C, A, B): il s'agit nécessairement de l'isobarycentre (G) du triangle (ABC).
Conclusion: dans le repère (Oxyz), la surface d'équation z = P(x, y) admet 4 plans tangents parallèles à (xOy): aux sommets (A, B, C) du triangle, ainsi qu'au point se projetant sur celui-ci en (G).

# Exemple simple: soit le triangle équilatéral inscrit dans le cercle de rayon (R = 2), centré à l'origine et admettant pour sommets:
A = (2 , 0) ; B = (-1 , 3^1/2) ; C = (-1 , -3^1/2) .
En convenant de poser r = 3^1/2, le produit des déterminants est alors donné par la fonction:
P_{(x, y)} = (2*r - r*x - 3*y)*(2*r - r*x + 3*y)*(2*r)*(1 + x) = 2*r³*(2 - x - r*y)*(2 - x+r*y)*(1 + x) , soit finalement:
P_{(x, y)} = (6*r)*((2 - x)² - 3*y)*(1 + x)
Les images ci-dessous représentent la surface d'équation z = a*((2 - x)² - 3*y)*(1 + x) , dans laquelle (a) désigne un paramètre manuellement ajustable; avec en plus, pour les 2 dernières, le plan équatorial (xOy) d'équation (z = 0):



Noter la parenté entre la 3^me image et la partition du plan (xOy) donnée dans le premier billet.

# Courbes de niveau: Le produit P_{(x, y)} admettant pour valeur maximale (Q_ABC/3)³ = Q_ABC³/27 , la coloration en 10 teintes d'un triangle a été programmée par le calcul de la fonction:
F_{(x, y)} = (270 / Q_ABC³) * P(x, y) (qui varie entre 0 et 10)
et extraction d'un indice au format Byte: i = Trunc(F_{(x, y)}) , qui définit une échelle arithmétique de couleur.
Une légère augmentation du premier facteur numérique (passé à 270.1) fait apparaître une tache noire correspondant à la valeur maximale, à l'intersection des trois médianes: