Discussion :

[MPEG4]

Salut tout le monde,
j'ai une question d'ordre mathématique.
Je travaille sur la reconstruction des signaux ( imagerie), et je dois effectivement utiliser les normes l1 et l2 pour la minimisation de fonctionnelles et de résidus.
J'ai trouvé dans mes lectures que la norme l2 lisse les contours, et que la norme l1 les accentue.
Mais malheureusement, je n'ai pas trouvé l'explication de de ces arguments, et je me demandais si quelqu'un pourrait m'orienter vers des sources pour trouver les arguments de telles résultats et leur preuve mathématiques.

EDIT :

j'ai oublié de signaler que le problème à résoudre est de la forme :

[CODE ] Latex
x^* = arg min ( \Vert Ax-y \Vert _ {l_{p1}} +\Vert x \ Vert _{l_{p2}}
[/CODE]

les normes l_{p1} et l_{p2} sont les norme optimales à choisir.
les experiences montrent que le choix l_{p1}= l_2 et l_{p2}=l_1 donnent des solutions optimales. Ma question est : c'est quoi l'explication mathématique de ces résultats.

Merci d'avance pour vos réponses.

[MPEG4]

j'ai oublie ce poste, et l'ai retrouve par hasard :-)
Alors, je crois avoir trouve la réponse, ainsi si je suis dans l'erreur, j'espère relancer le débat :
Le fait est que la forme de la boule \ell_p joue un rôle déterminant dans la nature de la (cf figure jointe) solution


la résolution du problème
min ||x||_{\ell p} s.t. Ax=y, avec la contrainte x_i>=0

peut être implémentée comme un programme linéaire, et du coup, si on se place dans
l'espace vectoriel R^3, et par une résolution graphique, on verra bien que la solution l_1 va favoriser des solutions plus sparses et donc, des contours plus marquées tandis que la solutions l_2 vont avoir tendance a donner des solutions moins bonne au sens de la parcimonie , mémé poids pour les différentes composantes du vecteur résultat, d'où le lissage des contours ici

J'espère que j'approche de la réponse exacte du problème,
J'attends vos commentaires et autres pistes a explorer dans le sens de ma problématique