Discussion :

[sandaff]

Bonjour ;

J’ai appris que deux lycéens des Etats Unis on démontrés le théorème de Pythagore et qu’il y avait des problèmes dans des précédentes démonstrations ;
Voici la référence de l’information ici :https://www.science-et-vie.com/cerve...re-102068.html

Je ne comprends pas très bien les explications sur quoi souffraient les précédentes démonstrations ?
De mon coté, en faisant des recherches google je ne trouve pas la démonstration que moi aussi je disposais depuis le lycée et je voudrais être certain si ça existe ?
Car je ne me suis pas rendu compte de sa non existence ;

Et voilà :

Soit le triangle ABC rectangle en C ;

L’hypoténuse=AB ;
Cote opposé=BC ;
Cote adjacent=AC ;

sin(α)= Cote opposé/ L’hypoténuse ;
sin(α)= BC / AB ;

cos(α)= Cote adjacent / L’hypoténuse ;
cos(α)= AC / AB ;

cos²(α)+sin²(α)=1;

(AC / AB )² + (BC / AB )²=1 ;

(AC² + BC²)/ AB ² =1 ;

AC² + BC²= AB ²

Donc :

AB ²= AC² + BC² ;

Quant dite vous?

[mathieu]

si j'ai bien compris l'article, l'équation "cos²(α) + sin²(α) = 1" se prouve à l'aide du théorème de Pythagore.
donc vous ne pouvez pas vous aider de cette équation pour prouver le théorème.

[mach1974]

D'après la loi des sinus dans le triangle vert du haut, on a 2asinβ=csin2α
donc sin2α=2asinβc
. D'autre part on a par définition du sinus : sinβ=bc
. Donc sin2α=2abc2
.
Mais d'autre part il y a un triangle rectangle avec un angle 2α
, le côté opposé valant X
et l'hypoténuse valant Z
, donc sin2α=XZ
.
On calcule ensuite d'après la somme des termes d'une série géométrique : X=2abcb2−a2
et Z=(a2+b2)cb2−a2
, d'où XZ=2aba2+b2
.
Finalement, 2abc2=2aba2+b2
donc a2+b2=c2
.

[wiwaxia]

Bonjour,

La démonstration du théorème de Pythagore est très ancienne, et a été établie d'une manière indépendante dans plusieurs civilisations.

Voir:
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...n/ThPythDe.htm
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...e_de_Pythagore

[sandaff]

si j'ai bien compris l'article, l'équation "cos²(α) + sin²(α) = 1" se prouve à l'aide du théorème de Pythagore.
donc vous ne pouvez pas vous aider de cette équation pour prouver le théorème.

Salut à tous!

mon pc est en panne dû à la variation du courant d'où le retard de ma réaction et ma clé bootable a lâché après une tentative de reparution System;

Est ce Mr mathieu a bien lu le sujet?

Mr mach1974, vous aviez une très bonne démonstration mais on ne vois pas la différence entre exposant et multiplication pour bien comprendre, aussi l'angle et côté ;

wiwaxia je ne sais pas s'il faut mettre Mr ou Mme; mais je suis avec vous du fait qu'il n y a pas de confusion dans les démonstrations antérieures; mais dans l'article référencé, on dit qu'il y a problématique.

Seulement, personne n a parlé concrètement sur ma petite démonstration;
valable ou pas?
et déjà existant ou pas?

je voudrais le savoir!

c'est bon d'augmenter ses travaux non?

Une précision!!
on ne passe pas forcement par Pythagore pour démontrer cos²(α)+sin²(α)=1

cos(x−y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)

Donc

cos(x−x)=cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x)
cos(0)=cos²(x)+sin²(x)
cos(0)=1

1=cos²(x)+sin²(x)

[wiwaxia]

Bonjour,

... wiwaxia je ne sais pas s'il faut mettre Mr ou Mme ...

Un peu d'observation eût permis de lever le doute:

... Seulement, personne n a parlé concrètement sur ma petite démonstration;
valable ou pas?
et déjà existant ou pas?

je voudrais le savoir!
... / ...
Une précision!! on ne passe pas forcement par Pythagore pour démontrer cos²(α)+sin²(α)=1

cos(x−y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)

Donc

cos(x−x)=cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x)
cos(0)=cos²(x)+sin²(x)
cos(0)=1

1=cos²(x)+sin²(x)

La relation cos²(α)+sin²(α)=1 découle de l'application du théorème de Pythagore au triangle rectangle (ABC) construit à l'intérieur du cercle centré en (A) et de rayon unité (AB = 1):

Tu ne fais donc que retrouver ce qui s'y trouvait déjà: il s'agit bien d'un raisonnement circulaire.
mathieu avait déjà repéré la faute de raisonnement.

Il existe une multitude de relations permettant de retrouver la relation de Pythagore à partir de la trigonométrie; mais celle-ci est si inextricablement liée au théorème qu'il est pratiquement impossible d'en établir une démonstration à partir de relations qui lui sont totalement étrangères, et ne l'utilisent pas implicitement. On ne fait que vérifier la cohérence de la trigonométrie (heureusement jamais mise en défaut).

C'est en cela que réside la performance annoncée (réelle ou pas, je n'en sais rien) des deux lycéennes. Je ne pense pas que l'on puisse rééditer leur exploit en 5 ou 10 minutes de calcul.

[sandaff]

Bonjour,


Un peu d'observation eût permis de lever le doute:

Tu ne fais donc que retrouver ce qui s'y trouvait déjà: il s'agit bien d'un raisonnement circulaire.
mathieu avait déjà repéré la faute de raisonnement.


Je ne pense pas que l'on puisse rééditer leur exploit en 5 ou 10 minutes de calcul.

Merci pour votre brillante explication!

Je reprécise le sujet;

Ce sujet n'est pas une réédition de l'article de ces lycéennes et je connais ni la couleur ni la teneur de leur démonstration; je ne l'ai jamais vu; donc vous faite même erreur que Mr mathieu

J'ai vu l'information qui m'a surpris aussi car pour moi il n y avait aucune polémique;

Ensuite j'ai sorti mes anciens cours de 12eme SM pour lire un peu et je me suis souvenus que j'ai déjà fait ce genre de démonstration; d'où ce sujet afin de mettre cette démonstration à votre connaissance;

vaut mieux être bête et essayer tout que d'être intelligent et ne rien essayer;

Mais en matière de démonstration, soit on trouve toujours ce qui existe (cas des conjonctures) ou on commence par ce qui existe, avant de trouver ce qui n'existe pas;

Bon j'aurais voulu que quelqu'un révolutionne un peu ici en voyant de façon positive ce que je fait;

si cos²(α)+sin²(α)=1 est une application de théorème de Pythagore; mais cette application étant démontrée sans faire référence à Pythagore; càd en passant par
cos(x−y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y) qui crée donc une indépendance avec Pythagore sauf que si cette fonction est aussi obtenue par le biais du même théorème de Pythagore;

On comprend cas même clairement cette notion à travers les intervenons des uns et des autres;

Merci à tous

[wiwaxia]

La question que tu as posée a reçu sa réponse:

... Je ne comprends pas très bien les explications sur quoi souffraient les précédentes démonstrations ? ...

La citation du mathématicien qui a rassemblé l'ensemble des démonstrations du théorème de Pythagore est pourtant très claire:
En fait, dans le livre contenant la plus grande collection connue de preuves (La proposition de Pythagore d’Elisha Loomis), l’auteur déclare catégoriquement qu' »il n’y a pas de preuves trigonométriques, car toutes les formules fondamentales de la trigonométrie sont elles-mêmes basées sur la vérité du théorème de Pythagore.”

1°) Il est alors quelque peu naïf de prétendre donner en quelques lignes une démonstration comparable à celle présentée dans l'article de Sciences & Vie et décrite (à tort ou à raison) comme un exploit; il ne suffit pas d'envisager le cas particulier d'une relation trouvée dans un formulaire de trigonométrie, encore faut-il se préoccuper de savoir comment cette relation a été établie; cela relève de la géométrie analytique, où le produit scalaire conduit à la relation généralisée de Pythagore:

AB² = AB² = (OB - OA)² = OA² + OB² - 2*OA*OB*Cos(OA, OB) .

2°) La piste suivie est celle de la loi des sinus ... C'est donc de ce côté-là qu'il te faut chercher le type de démonstration en cause.

[sandaff]

La question que tu as posée a reçu sa réponse:

1°) Il est alors quelque peu naïf de prétendre donner en quelques lignes une démonstration comparable à celle présentée dans l'article de Sciences & Vie et décrite (à tort ou à raison) comme un exploit;

2°) La piste suivie est celle de la loi des sinus ... C'est donc de ce côté-là qu'il te faut chercher le type de démonstration en cause.

Merci pour votre explication, je vais essayer mais avant pouvez-vous me donner le lien sur cet article?

[wiwaxia]

Bonjour,

... mais avant pouvez-vous me donner le lien sur cet article?

C'est celui-là même sur lequel tu as amorcé la discussion: https://www.science-et-vie.com/cerve...re-102068.html

il ne suffit pas d'envisager le cas particulier d'une relation trouvée dans un formulaire de trigonométrie, encore faut-il se préoccuper de savoir comment cette relation a été établie;

2°) La piste suivie est celle de la loi des sinus ... C'est donc de ce côté-là qu'il te faut chercher le type de démonstration en cause.

La relation cos²(θ)+sin²(θ)=1 est une conséquence si immédiate du théorème de Pythagore qu'il pratiquement impossible de dissocier celui-ci de celle-là, lorsque l'on tente de remonter une chaîne de démonstrations. La question ne manque pas d'intérêt, mais je n'ai trouvé aucun contre-exemple ... Je m'en tiens pour l'instant prudemment à l'avis d' Elisha Loomis, qui a travaillé le sujet - quoique l'argument d'autorité, bien sûr, ne constitue pas une preuve ... la réponse reste donc ouverte, et il est plus simple d'attendre l'avis du jury invité à se prononcer.

https://publimath.univ-irem.fr/glossaire/LO026.htm

[wiwaxia]

Dans le cas du triangle (ABC) rectangle en (C), la loi des sinus s'écrit:

a/Sin(α) = b/Sin(β) = c/Sin(γ) , avec γ = π/2 ,

ce qui entraîne

Sin(γ) = 1 , a = c*Sin(α) et b = c*Sin(β) ;

on retrouve ici la définition du sinus des deux angles présents dans le triangle rectangle.

En traçant depuis le sommet (C) de l'angle droit le segment (CH) perpendiculaire au côté apposé, on fait apparaître deux nouveaux angles de valeurs connues:

(BCH) = (CAB) = α , (ACH) = (CBA) = β ,

les côtés des deux angles étant deux à deux perpendiculaires.
Il vient désormais, compte tenu de la présence de deux triangles adjacents rectangles en (H):

CH = a*Cos(α) = a*Sin(β) , CH = b*Sin(α) = b*Cos(β)

d'où les relations:

Sin(α) = Cos(β) , Cos(α) = Sin(β)

caractérisant deux angles complémentaires (α + β = π/2).

Enfin le pied (H) de la hauteur se situant à l'intérieur du segment (AB) puisqu'on trouve en ses extrémités deux angles aigus (α et β < π/2), la longueur du côté opposé à l'angle droit admet pour expression:

AB = AH + BH

d'où: c = b*Cos(α) + a*Cos(β) = c*Cos²(α) + c* Cos²(β) ,
et par l'échange des sinus et des cosinus:

1 = Sin²(α) + Cos²(α) = Sin²(β) + Cos²(β) .

En multipliant le tout par (c²), il vient:

c² = (c*Sin(α))² + (c*Cos(α))² = a² + b² .

On peut constater que la relation fondamentale unissant les fonctions sinus et cosinus 1 = Sin²(θ) + Cos²(θ) et la relation de Pythagore c² = a² + b² sont très étroitement apparentées.
La démonstration est de nature géométrique, en raison essentiellement de la dernière étape (AB = AH + BH) impliquant la partition de l'hypoténuse.

Calculs à vérifier.

[sandaff]

On peut constater que la relation fondamentale unissant les fonctions sinus et cosinus 1 = Sin²(θ) + Cos²(θ) et la relation de Pythagore c² = a² + b² sont très étroitement apparentées.
La démonstration est de nature géométrique, en raison essentiellement de la dernière étape (AB = AH + BH) impliquant la partition de l'hypoténuse.

Calculs à vérifier.

Vous n'êtes pas loin du but si vous continuez ...

je comprends pas très bien quand vous dites AB = AH + BH; la façon dont on a appris est: AB = AH + HB;

HB=-BH;

Dans votre explication les côtés me sembles intervertis;

Sinon je comprend bien le raisonnement et en plus je ne dis pas de ne pas faire confiance à loomis mais pas à 100% car rien n'est impossible, c'est la compréhension qui est difficile;

[wiwaxia]

... je comprends pas très bien quand vous dites AB = AH + BH; la façon dont on a appris est: AB = AH + HB;

HB=-BH;

Dans votre explication les côtés me sembles intervertis; ...

BH et HB désignent indifféremment la longueur du segment.

PS: la démonstration peut être être abrégée dans la mesure où l'on n'est pas obligé de partir d'un triangle quelconque pour utiliser la loi des sinus; il suffit d'envisager directement un triangle rectangle (γ = 90°).
Le recours à la hauteur est par contre déterminant pour faire apparaître les sommes 1 = Sin²(θ) + Cos²(θ) et c² = a² + b² ;
semblablement, même la démonstration la plus simple et la plus ancienne de la la relation de Pythagore fait aussi appel à la décomposition d'un segment en deux segments plus petits :