Discussion :

[Pierre Fauconnier]

Bonsoir

J'ai un petit problème de logarithme...

Je dois démontrer ceci:
Le logarithme d'une puissance dont la base est positive est égal au produit de l'exposant et du logarithme de la base...

Soit à démontrer

log(a)x^n=n * log(a)x ...

Le départ est le suivant

si x > 0, x = a^log(a)x
x^n = a(a^log(a)^x)^n

Ce départ est-il correct?

Merci

[Zavonen]

Cette propriété est vérifiée pour les logarithmes népériens, les autres (de base a>0) sont proportionnels à cette fonction.

[Nemerle]

Le départ est le suivant

si x > 0, x = a^log(a)x
x^n = a(a^log(a)^x)^n
Ce départ est-il correct?
Merci

Notons "ln" le logarithme népérien.

Alors log(a)x, =ln(x)/ln(a).

Avec ça, tu devrais avancer

[corentin59]

Le départ est le suivant

si x > 0, x = a^log(a)x
x^n = a(a^log(a)^x)^n

Ce départ est-il correct?

Merci

quand on veut démonter une égalité, il est souvent recommandé de partir d'un des côtés de l'égalité et, par étape successives, d'essayer d'arriver à l'autre côté.
Ici, il me semble qu'il est plus simple de partir de

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
logA(x^n)=ln(x^n)/ln(A)   (par définition)
         =...             (propriété de ln)
         =n*logA(x)

[Melem]

Méler les népériens dans cette histoire n'est pas une bonne démarche étant donné qu'il s'agit de log base e, donc on ne peut pas partir de là. On part plutôt de la définition même du logarithme, avant même que n'apparaisse le log néprien.

Par définition : log base a de x (x > 0) = le réel y tel que a ^ y = x.
Comme on a (a ^ y) ^ n = a ^ (n * y), log(x ^ n) = n * log(x)

[Zavonen]

Par définition : log base a de x (x > 0) = le réel y tel que a ^ y = x.

Ce qui sous-entend donc que la définition d'une puissance réelle d'un nombre réel PRECEDE les logarithmes ....

[corentin59]

En effet, un logarithme est plutôt définie comme une fonction qui transforme un produit en somme : f(ab)=f(a)+f(b)

Dans ce contexte, la démonstration du résultat est plus qu'évidente.

On peut aussi se dire que la définition de ln est la primitive de la fonction 1/x, qu'elle vérifie la propriété des fonctions logarithmes et qu'un log en base a est défini à partir de ln

[Melem]

Ce qui sous-entend donc que la définition d'une puissance réelle d'un nombre réel PRECEDE les logarithmes ....

En tout cas les puissances rationnelles existaient avant les log . Très bonne remarque. En fait il y a plusieurs moyens de construire les logarithmes : isomorphisme, intégrale, ... tous conduisant évidemment aux mêmes conclusions.

Choisissons donc comme départ :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

log(x * y) = log(x) + log (y)

1. log(x * x) = log(x) + log(x) = 2*x

...

=>

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

log(x ^ n) = n * log(x) (n entier naturel)

2. log(1 ^ n) = n * log(1) = log (1) =>

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

log(1) = 0

3. log(x * 1/x) = log(1) = log(x) + log(1/x) =>

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

log(1/x) = -log(x)

4.

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

log(x / y) = log(x * 1/y) = log(x) - log(y)

5. log(x ^ -n) = log((1/x) ^ n) = n * log(1/x) =>

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

log(x ^ -n) = -n * log(x)

6. 1 et 5 => log(x ^ n) =

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

n * log(x) (n entier relatif)

7. log((x ^ 1/n) ^ n) = n * log(x ^ 1/n) = log(x) =>

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

log(x ^ 1/n) = 1/n * log(x)

8. 1 .. 7 =>

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

log(x ^ p/q) = p/q * log(x)

9. Q danse (euh plutôt ... dense ) dans R =>

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

log(x ^ y) = y * log(x)

[Zavonen]

Le point n°9 (prolongement des identités algébriques) ne concerne que les fonctions continues, de 1 à 8 on ne parle jamais de continuité.