Discussion :

[andry501]

Bonjour,
Est-ce quelqu'un peut me dire comment resoudre l'équation quadratique suivante :
(2a-3b)²+(4a-7b)²=4.
Merci d'avance

[Flodelarab]

Bonjour

Que cherches-tu ?

X²+Y²=2² est vérifié par les points de coordonnées (X,Y) sur le cercle de centre (0,0) et de rayon 2.
On pose donc X=2a-3b et y=4a-7b.
On en déduit b=2X-Y et a=(7X+3Y)/2

[wiwaxia]

Bonjour,

... Est-ce quelqu'un peut me dire comment resoudre l'équation quadratique suivante :
(2a-3b)²+(4a-7b)²=4 ...

Lorsque deux variables vérifient une seule équation, cela se traduit par un degré de liberté ... Tu seras conduit par conséquent à exprimer l'une en fonction de l'autre, et à écrire b = F(a) ou a = G(b)
- à moins de passer à deux expressions paramétriques.

Il faut résoudre l'équation P(a, b) = 4
dans laquelle le polynôme P(a, b) admet pour développement:
P(a, b) = 20a² - 68ab + 58b²
ce qui donne après simplification:
10a² - 34ab + 29b² - 2 = 0 .

On reconnaît l'équation cartésienne d'une ellipse passant par les points de coordonnes:

(±1/5^1/2, 0) , (0, ±(2/29)^1/2) .

Cela n'apparaît-il pas en relation avec le contexte de ton problème ?

[Flodelarab]

[andry501]

Bonjour à tous,
Merci pour vos réponses mais l'equation que je donne est un exemple mais ce que je voulais avoir c'est "une méthode numérique" pour résoudre une équation quadratique de la forme :
(aX-bY)² +(cX-dY)²+(eX-fY)²=w².
merci d'avance

[tbc92]

Il doit y avoir des méthodes 'géométriques', puisqu'on voit une sphère dans ton équation ... mais faisons simple.
La forme finale sera une éllipse.
Tu développes tous les termes, tu arrives à une expression de la forme : uy²+vy+w = 0
Dans laquelle u, v et w dépendent de x.

C'est une équation du 2nd degré, d'inconnue y ; on calcule Delta. Et selon les valeurs de x, Delta sera négatif, nul ou positif. Et donc selon les valeurs de x, on aura 0, 1 ou 2 valeurs pour y. Je disais au début que la forme finale serait une ellipse. On visualise nos 2 x extrèmes, les 2 valeurs de x pour lesquelles l'ellipse n'a qu'un point. Et entre ces 2 valeurs extrèmes, pour chaque x, on a 2 y.

Le calcul de Delta te donne une autre équation du 2nd degré, dont l'inconnue est maintenant x. Tu peux trouver les 2 valeurs de x pour lesquelles notre Delta vaut 0 . Et donc les 2 points 'extrèmes de l'ellipse'. Puis, si tu veux dessiner l'ellipse, tu fais une boucle entre ces 2 valeurs extremes de x. Et chaque pas de cette boucle te donnera un point sur l'arc supérieur de l'ellipse, et un point sur l'arc inférieur de l'ellipse.

Il y a probablement des solutions plus élégantes, plus géométriques. Et je suis impatient de lire des contributions dans cette direction.

[Flodelarab]

mais ce que je voulais avoir c'est "une méthode numérique"

Non mais je rêve. . On lui donne l'expression de a et b et il est pas content.
Si tu cherches un curseur, le conseil est de prendre l'équation paramétrique du cercle. Ainsi, pour tout paramètre t, tu auras un couple (X,Y), et ainsi un couple solution (a,b).
Mais on peut difficilement faire mieux.
Le dessin est pour montrer J de coordonnées (a,b), image d'un point B sur le cercle connu.

(aX-bY)² +(cX-dY)²+(eX-fY)²=w².

Cette forme est ridicule: elle n'est pas canonique. Tu peux fondre l'un des 3 carrés dans les deux autres et te ramener à une conique classique. Et tu referas ce qui a été fait pour l'équation du premier message.

[wiwaxia]

Encore une fois, envisager de
résoudre l'équation quadratique suivante :

(2a-3b)²+(4a-7b)²=4.

c'est vouloir déterminer les valeurs hypothétiques des deux inconnues (a, b) à partir d'une équation unique, ce qui n'est pas possible: il reste encore un degré de liberté, ou si l'on veut une indétermination.

Et chercher "une méthode numérique" pour résoudre une équation quadratique de la forme :

(aX-bY)² +(cX-dY)²+(eX-fY)²=w²

ne fait qu'amplifier le problème en envisageant (je suppose) de se placer en un point donné de coordonnées (X, Y) - quand au terme (w), on ne sait pas d'où il vient ...
Il y a désormais 6 inconnues donc 5 indéterminations (!), et un éventuel paramétrage fait maintenant appel aux coordonnées sphériques ...

La même question se pose donc à nouveau: quel est le problème à l'origine de l'équation en cause ?
Cela permettrait peut-être de débloquer la situation, et d'éviter des diatribes inutiles.

[wiwaxia]

Un éventuel inventaire des solutions entières peut découler d'une double énumération sur le domaine des valeurs entières, si ce domaine n'est pas trop grand.
Il suffit pour cela de poursuivre les calculs amorcés:

... Lorsque deux variables vérifient une seule équation, cela se traduit par un degré de liberté ... Tu seras conduit par conséquent à exprimer l'une en fonction de l'a[CODE][CODE]utre, et à écrire b = F(a) ou a = G(b)
... / ...
Il faut résoudre l'équation P(a, b) = 4
dans laquelle le polynôme P(a, b) admet pour développement:
P(a, b) = 20a² - 68ab + 58b²
ce qui donne après simplification:
10a² - 34ab + 29b² - 2 = 0

1°) Au polynôme en (a) de degré (2) est associé le discriminant:

∆_a = (34b)² - 4*10*(29b² - 2) = 80 - 4*b²

qui doit être non-négatif pour que l'équation admette des racines réelles; de sorte que (b) doit vérifier la condition:

|b| <= 20^1/2 ~ 4.472 < 5 .

2°) Au polynôme en (b) de degré (2) 29b² - 34ab + 10a² - 2 = 0
est associé le discriminant:

∆_b = (34a)² - 4*29*(10a² - 2) = 232 - 4*a²

lui aussi contraint de vérifier: ∆_b >= 0 pour une raison identique; il vient alors:

|a| <= 58^1/2 ~ 7.616 < 8 .

La double boucle

Code Pascal :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
FOR a:= -8 TO 8 DO
  FOR b:= -5 TO 5 DO
    IF (Polynome(a, b)=0) THEN Memoriser(a, b)

livre les doublets solutions:

(-7 , -4) , (-3 , -2) , (3 , 2) , (7 , 4) .

[wiwaxia]

On retrouve l'ellipse allongée déjà signalée comme frontière séparant les zones du plan caractérisées selon le signe du polynôme

Q(a, b) = (1/2)P(a, b) - 2 = 10a² - 34ab + 29b² - 2 ,

positif (en rouge) ou négatif (en bleu):

Le repérage des valeurs entières des coordonnées annulant Q(Vx, Vy) résulte de l'application du test simple:

TestE:= (Q(Vx, Vy)=0) AND ((Frac(Vx)=0) AND (Frac(Vy)=0))

si l'échelle est telle que les valeurs entières en question correspondent exactement à un nombre entier de pixels.

Cette condition doit toujours être respectée; mais lorsque le facteur d'échelle (f = 1 / N) est une approximation décimale (résultant de la division par un nombre autre que 2 et 5), on peut se protéger de toute dérive par une instruction du type:

Abs(v - Round(v)) < Epsilon .

[Guesset]

Bonjour wiwaxia,

Un éventuel inventaire des solutions entières peut découler d'une double énumération sur le domaine des valeurs entières, si ce domaine n'est pas trop grand.
Il suffit pour cela de poursuivre les calculs amorcés:

Je pense qu'il serait peut être plus simple pour les solutions entières d'utiliser le petit théorème de Fermat qui dit que X² + Y² = Z² (X, Y, Z entiers non nuls) a une solution entière ssi X est de la forme a²-b² et y de la forme 2a²b² et bien sûr Z de la forme a²+b² (les rôles de X et Y peuvent être intervertis).

Salutations

[wiwaxia]

Bonjour Guesset,

... 'il serait peut être plus simple pour les solutions entières d'utiliser le petit théorème de Fermat qui dit que X² + Y² = Z² (X, Y, Z entiers non nuls) a une solution entière ssi X est de la forme a²-b² et y de la forme 2a²b² et bien sûr Z de la forme a²+b² (les rôles de X et Y peuvent être intervertis) ...

Je crains que tu n'aies confondu l'énoncé du petit théorème de Fermat

si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a^p–1 – 1 est un multiple de p

avec celui du théorème fondamental décrivant tous les triplets pythagoriciens primitifs:

un triplet (a, b, c) d'entiers premiers entre eux vérifie a² + b² = c² si et seulement s'il existe deux entiers (u, v)
satisfaisant aux conditions: a = p² - q² , b = 2pq , c = p² + q² , p > q, p et q premiers entre eux

Peut-être as-tu involontairement songé à la conjecture de Fermat, selon laquelle

il n'existe aucune solution sur les entiers naturels à l'équation aⁿ + bⁿ = cⁿ, pour tout entier (n) strictement supérieur à 2.

Je me suis contenté de reprendre les calculs concernant l'équation initialement citée, en restreignant les solutions aux valeurs entières (selon l'hypothèse déjà exprimée par WhiteCrow), et sans considération de recherche du plus court algorithme.

Il est effectivement plus rapide de passer par la forme canonique

X²+Y²=2² est vérifié par les points de coordonnées (X,Y) sur le cercle de centre (0,0) et de rayon 2.
On pose donc X = 2a - 3b et y = 4a - 7b.
On en déduit b = 2X - Y et a=(7X - 3Y)/2

cependant la formulation des triplets pythagoriciens, qui met en jeu deux paramètres (p, q), ne nous est ici d'aucun secours: la résolution de l'équation X² + Y² = Z² exige l'examen de tous les doublets (|x|, |y|) du domaine [0, |z|]².

Le cas envisagé (z = 2) admet comme seules solutions: (0, 2) et (2, 0); ce qui donne:

# a = ± 3 ; b = ± 2 ;
# a = ± 7 ; b = ± 4 .

[Guesset]

Bonjour wiwaxia,

Je crains que tu n'aies confondu l'énoncé du petit théorème de Fermat...

Mea-culpa pour l'intitulé erroné de l'équation de Fermat .

En revanche, dans le domaine des entiers, cela reste l'approche la plus performante. Pour reprendre l'exemple de X²+Y² = Z² = 2², il n'y a pas de solution entière non triviale. En effet, 2 = Z = a²+b² => |a| = |b| = 1 => X ou Y = a²-b² = 0 cad une solution triviale. Nul besoin de faire un balayage des solutions.

Salutations