Discussion :

[BDH01]

Bonjour,

Voici mon problème : Je souhaites résoudre une équation différentielle du 2ème ordre de la forme : y"=w².y avec les conditions suivantes (par exemple) : y(0)=6 et y(infini)=0.
La résolution analytique de cette équation est donnée par la forme générale y(x)=A.exp(w.x)+B.exp(-w.x), l'application des deux conditions initiales données précédemment mène à la solution y(x)=6.exp(-wx).

Quand j’essaie de résoudre cette équation numériquement (avec la méthode d'Euler par exemple) je peux imposé à mon équation soit la condition initiale y(0) soit la condition limite y(infini) mais je ne peux pas imposer les deux simultanément afin d'avoir la solution recherchée.

Je vous remercie d'avance pour vos réponses.

[ternel]

Tu peux, il suffit de le coder.

Notre question est: comment t'y es-tu pris?

C'est-à-dire: quel est ton code, quelle est ta question précise?

[BDH01]

Bonjour,

Voici le main que j'ai utilisé pour résoudre l'équation différentielle avec la condition initiale y(0)=6, ce programme me donne une exponentielle commençant par 6 qui décroît un peu puis croit de nouveau jusqu'à l'infini (alors je voudrai garder que la partie décroissante de la solution), j'ai mis en pièce jointe le résultat obtenu.

Code :

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	int main()
	{
	ofstream flux("tist.txt"); // Pour enregistrer les données
 
	int N=1000;
	double y[N],dy[N],dx=0.01,x=0;// dy et la variable dérivée de y et dx et le pas utilisé pour l'intégration.
 
	y[0]=6;
	dy[0]=-5;// j'ai mis une valeur négative de la dérivé en x=0.
 
	for(int i=0;i<N;i++)
{	
	flux << x <<"  "<< y[i] << endl;
 
	y[i+1]=dy[i]*dx+y[i]; // j'ai décomposé l'équation en 2 équations diff de 1er ordre
	dy[i+1]=4*y[i]*dx+dy[i];
	x+=dx;
}
 
return 0;
}

Puis j'ai essayé d'imposer une valeur limite comme valeur initiale y(infini)=0 et intégrer l'équation diff dans le sens inverse (en partant de x=infini vers x=0). j'ai alors obtenu la courbe (en PJ) qui est une exp ayant pour limite 0 mais le point de départ diverge.

Code :

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	int main()
	{
 
	ofstream flux("tist2.txt");
 
	int N=1000;
	double y[N],dy[N],dx=0.01,x=10;
 
	y[0]=0;// j'aurai pu mettre y[1000]=0 et remplir le tableau avec une boucle avec "i" décroissant mais ça ne changeait rien à mes résultats
	dy[0]=0.01;
 
	for(int i=0;i<N;i++)
{	
        flux << x <<"  "<< y[i] << endl;
 
	y[i+1]=dy[i]*dx+y[i];
	dy[i+1]=4*y[i]*dx+dy[i];
	x-=dx;
	}
return 0;}

Ma question est de savoir comment pourrai-je résoudre cette équation en imposant y(o)=a et y(inifini)=0 en même temps ?

Merci pour votre réponse.

[ternel]

Donc, c'est une question de mathématiques.
Au passage utilise la commande [code] pour poster du code

Que dois faire ton programme?
Actuellement, il calcule les valeurs d'une fonction, pour la représenter.
Il ne "résout" rien.

Je reprends ton premier programme, en corrigeant plusieurs points de style (std::, une déclaration par ligne.)

Code :

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#include <fstream>
int main(){
  std::ofstream export("tist.txt");
  int N=1000;
 
  const double dx=0.01;
  double x=0;
  double y[N];
  double dy[N];
 
  y[0]=6;
  dy[0]=-5;// j'ai mis une valeur négative de la dérivé en x=0.
 
  for(int i=0;i<N;i++) {
    export << x <<" "<< y[i] << std::endl;
 
    y[i+1]=dy[i]*dx+y[i]; // j'ai décomposé l'équation en 2 équations diff de 1er ordre
    dy[i+1]=4*y[i]*dx+dy[i];
    x+=dx;
  }
  return 0;
}

D'un point de vue technique, tu n'as pas besoin de conserver chaque valeurs de ta fonction.
Tu as besoin de x, f(x), f'(x) (l'état en x), et de dx (car f''(x) est donné par l'équation, et sans intéret pour la méthode d'Euler).
L'état suivant est x+dx, f(x+dx), f'(x+dx). avec f(x+dx) = f(x)+f'(x)*dx et (d'après ton code) f'(x+dx) = f'(x) + 4*f(x)*dx;

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#include <fstream>
int main(){
  std::ofstream export("tist.txt");
 
  const double dx=0.01;
  // condition initiale en x=0
  double x = 0;
  double fonction = 6;
  double derive = -5;
 
  export << x <<" "<< fonction << std::endl;
  for(int i=0; i<1000; i++) {
    const double fonction2 = fonction + derive*dx;
    const double derive2 = derive + 4*fonction*dx;
    x += dx;
    fonction = fonction2;
    derive = derive2;
 
    export << x <<" "<< fonction << std::endl;
  }
  return 0;
}

D'un point de vue mathématique, une équation différentielle à l'ordre N produit des familles de solutions, paramétrées par N quantités.
Ces N quantités constitués sont en générale les N premières dérivées (en commencant par la 0-iéme: la valeur) en un point donné. Dans ton cas, ca aurait pu être y(0) et (dy/dx)(0).
Sauf que ton énoncé ne donne pas ce (dy/dx)(0), mais y(infini).
Je ne vois pas de "w" dans ton programme, il est implicitement traduit par ton choix des constantes 4 et -5.

J'ai l'impression que tu regardes à coté de ton problème

Au passage, tes choix de noms "dy" et "dx" sont intéressants car il correspondent presque à la notation physicienne.
En physique, la variation d'une grandeur g dans une direction u est noté dg/du et est elle aussi une fonction de la position.
Ainsi, la variation en x de f à la position x0 se note df/dx(x0). C'est la dérivée de la fonction y = f(x), c'est à dire f: x -> y