Discussion :

[Dlzlogic]

Bonjour,
Soit une fonction de la forme f(x,y,z) = ax² + by² + cz² + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j =0
Cette fonction représente une surface.
Supposons que cette surface soit fermée et soit le contour d'un volume convexe.
D'abord, je ne suis pas sûr que c'est possible. Dans le cas d'une sphère ou d'un ellipsoïde de révolution, c'est vrai, sinon peut-on assurer que c'est possible ?
Ma question : dans le cas où c'est possible, je cherche à déterminer le parallélépipède rectangle, parallèle au repère, enveloppe de cette surface.

Merci d'avance.

[tbc92]

Sujet intéressant.

Tout d'abord, dans quels cas la surface S en question donne un volume fermé convexe ?
Première condition, c'est que les 3 coefficients a b et c soient de même signe.
Deuxième condition, c'est que les coefficients d e et f ne soient pas trop grands (en valeur absolue) par rapport à a b et c. La limite maximale est un peu compliquée à déterminer, mais prenons juste un cas particulier :
x²+y²+cz² +dxy + gx+hy+iz+j = 0
Et donc, on est dans un cas où e et f sont nuls, et a et b égaux à 1.
Dans ce cas, la surface en question définie un volume fermé convexe si d est compris entre -2 et 2 (et c strictement positif).

Deuxième point : comment définir le parallélépipède rectangle enveloppe de ce volume ?
On va dans un premier temps prendre la projection de notre volume sur le plan z=0. On fera la même chose ensuite sur les 2 autres axes.

Pour un couple de valeurs (x,y) donnés, Pour que le point M(x,y,z) soit sur la surface S, il faut que z soit solution de l'équation :
cz² + (ex+fy+i)z + (ax²+by²+dxy+gx+hy+j) = 0

C'est une équation du 2nd degré ; On calcule le discriminant D = (ex+fy+i)²-4c(ax²+by²+dxy+gx+hy+j), et selon le signe de D, on a 0 , 1 ou 2 solutions.
On va donc s'intéresser au cas D=0. Ca nous donne l'équation du contour de la projection de notre surface sur le plan z=0

(ex+fy+i)²-4c(ax²+by²+dxy+gx+hy+j) = 0
Ou encore
e²x²+f²y²+i²+2efxy+2eix+2fiy -4acx²-4bcy²-4cdxy-4cgx-4chy-4cj = 0

A nouveau, on va redisposer les éléments, pour présenter cela sous la forme d'une équation du 2nd degré :
(e²-4ac)x² +(2efy+2ei-4cdy-4cg)x+(f²y²+i²+2fiy-4bcy²-4chy-4cj)=0

Le discriminant de cette équation est D = (2efy+2ei-4cdy-4cg)²-4(e²-4ac)(f²y²+i²+2fiy-4bcy²-4chy-4cj)

Normalement, si les valeurs des coefficients a b c ... j s'y prêtent, ce discriminant est nul pour 2 valeurs de y. Ces 2 valeurs de y donnent 2 des 6 plans recherchés.
D=4e²f²y²+4e²i²+16c²d²y²+16c²g²+8e²fiy-16cdefy²-16cefgy-16cdeiy-16cegi+32c²dgy
-4e²f²y² -4e²i²-8e²fiy+16bce²y²+16ce²hy+16ce²j +16aci²++32acfiy-64abc²y²-64ac²hy-64ac²j
D=16c²d²y²+16c²g²+8e²fiy-16cdefy²-16cefgy-16cdeiy-16cegi+32c²dgy
-8e²fiy+16bce²y²+16ce²hy+16ce²j +16aci²+32acfiy-64abc²y²-64ac²hy-64ac²j
D=(16c²d-16cdef+16bce²-64abc²)y² + (8e²fi-16cefg-16cdei+32c²dg-8e²fi+16ce²h+32acfi-64ac²h)y + (16c²g²-16cegi+16ce²j+16aci²-64ac²j)=0
Ce qui donne 2 valeurs de y, si tout va bien(c.a.d si les coefficients a b c ... définissent bien un volume convexe fermé). Et donc 2 des plans cherchés.

Et en reproduisant cela sur les différents axes, on trouve aussi les autres plans.

Pour trouver les 2 plans y=y1 et y=y2, on a donc 2 méthodes :
- celle ci-dessus : on projette la surface sur le plan z=0, puis on travaille dans ce plan.
- ou on projette la surface sur le plan x=0, puis on travaille dans ce plan.
Si on ne se trompe pas dans les calculs, en toute logique, on doit arriver aux mêmes équations. Et du coup, comme les équations sont quand même assez compliquées, c'est un bon moyen de vérifier qu'on ne s'est pas planté.

Sur le raisonnement, je suis assez serein, c'est juste. Sur les calculs, il faut vérifier, j'ai pu me tromper.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Merci pour cette longue explication détaillée.
Les hypothèses que j'ai indiquées sont celles que j'ai lues sur une question. Le problème m'a intéressé, alors j'y ai passé deux jours. En fait ma démarche première n'a pas été vers le parallélépipède, mais en cherchant un point proche de l'origine. Je sais résoudre des systèmes du second degré.
Puis, j'ai eu un doute sur les hypothèses de base, et vous me confirmez que ce ne peut être possible que dans des cas assez limités.
Malheureusement, on se trouve dans le cas assez fréquent d'un problème mal étudié et d'une question qui, posée sur un forum de math (le plus connu) n'a pas eu de réponse satisfaisante. Je me suis fait avoir, en effet, j'espérais dessiner des volumes convexes "quelconques" et étudier leur intersection.
Je note le sujet comme résolu.
Cordialement.
PS il est bien évident que ces surfaces définissant des volumes devraient être décrits par des triangles et non des fonctions.

[wiwaxia]

... Tout d'abord, dans quels cas la surface S en question donne un volume fermé convexe ?
Première condition, c'est que les 3 coefficients a b et c soient de même signe.
Deuxième condition, c'est que les coefficients d e et f ne soient pas trop grands (en valeur absolue) par rapport à a b et c ...

@tbc92: Il y a peut-être plus simple pour apporter une réponse.

1°) En notant, pour un point (M) de la surface, la norme (r = OM) de son vecteur position (OM) et (u, v, w) ses cosinus directeurs, il vient:
x = r*u ; y = r * v ; z = r * w
et l'équation de la surface (dont la notation est maladroite, mais on s'y tiendra) conduit à l'expression:
A*r² + B*r + j = 0
avec
A = a*u² + b*v² + c*w² + d*(u*v) + e*(u*w) + f*(v*w) ;
B = g*u + h*v + i*w .

Ce qui signifie que dans une direction donnée (u, v, w déterminés, r >0), la demi-droite partant de l'origine présentera un ou deux point(s) d'intersection avec la surface - ou n'en présentera aucun - suivant le signe du discriminant Delta = B² - 4*A*j .
Il sera dans ces conditions possible de situer l'origine par rapport à la surface, puisque les éventuelles valeurs négatives de (r) correspondront à la direction opposée (u' = -u ; v' = -v ; w' = -w ; ce qui ne change que le signe du second coefficient: B' = -B).

# Autre conséquence: l'inverse (s = 1 / r) de la distance (r = OM) supposée non-nulle vérifie l'équation conjuguée:
j*s² + B*s + A = 0 ;
Ce terme peut tendre vers zéro en même temps que A(u, v, w), lorsque change l'orientation de la demi-droite (OM): la surface considérée apparaît donc illimitée dans les directions vérifiant A(u, v, w) = 0 , soit encore:
a*u² + b*v² + c*w² + d*(u*v) + e*(u*w) + f*(v*w) = 0 .
Cela confirme ce que tu indiquais, d'une manière plus précise.

Exemple simple: les équations paramétrées:
x² + 2*y² + 4*z² - a*(y*z + 2*z*x + 4*x*y) = 0
conduisent à divers types de quadriques, ellipsoïdes (a = 0.61) ou hyperboloïdes (a = 1.00).


2°) En mettant l'équation de la surface sous la forme F(x, y, z) = 0 , il vient par différenciation:
P*dx + Q*dy + R*dz = 0 , dans laquelle les coefficients (P, Q, R) correspondent aux dérivées partielles de la fonction par rapport à chacune des variables:
P(x, y, z) = D_x(F) ; Q(x, y, z) = D_y(F) ; R(x, y, z) = D_z(F)
et se réduisent à des polynômes de degré (1).
L'existence d'un parallélépipède trirectangle tangent en chacune de ses faces à la surface, et d'arêtes parallèles aux axes du repère, s'établit par la résolution de trois systèmes d'équations:
a) si (z) est extrêmal, alors (dz) est nul quels que soient (dx) et (dy), ce qui implique: P = 0 et Q = 0 ;
b) résultats analogues dans les cas où (x) ou (y) seraient eux-mêmes extrêmaux ce qui entraînerait respectivement:
# pour (x): Q = 0 et R = 0 ; # pour (y): R = 0 et P = 0 .
Encore faut-il s'assurer que la surface est bien située à l'intérieur du domaine que l'on vient de baliser ... ce qui n'est pas difficile ... mais probablement assez laborieux.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Finalement, je me suis résolu à faire une réponse.
Les hypothèses sont précises : des fonctions du second degré, des quadriques, et l'étude de l'intersection de deux quadriques.
Ce problème m'intéressait sur le plan théorique, d'où la question de faisabilité et j'ai ajouté la question de l'enveloppe pour borner l'étude de la fonction.
Il est clair que si on veut calculer l'intersection de deux volumes définies par la surface de leur contour, les quadriques sont très jolies, prennent peu de place dans le fichier des descriptions, mais sauf erreur, limitent les surfaces à des ellipsoïdes de révolution. Pour étudier la description et la proximité de telles surfaces, c'est tout de même assez limité.
Le demandeur d'origine a précisé la forme de ses fonctions. Vous trouvez une forme paramétrique, pourquoi pas, mais ce n'est pas l'hypothèse.
Ces fonctions et leurs représentations avec des logiciels spécialisé sont très jolies, mais pas vraiment applicables dans un contexte réel. Ces logiciels savent travailler avec des hypothèses très limitées, c'est à dire qui correspondent rarement à des hypothèses réelles.
En tout cas, merci pour cette jolie étude, mais j'ai l'habitude de faire mes développements moi-même et en tout cas, je n'utilise jamais des logiciels que je ne saurais pas écrire moi-même.
Bonne soirée.

[wiwaxia]

@ tbc92 qui s'est donné la peine de répondre longuement, et tous les autres habitués du forum, à l'exception de l'histrion qui pollue actuellement les échanges.

3°) Une simplification de l'équation cartésienne s'impose, par laquelle j'aurais pu commencer, mais que j'ai différée dans la mesure où elle ne remet pas en cause les résultats précédemment obtenus.
J'ai déjà évoqué la maladresse de la présentation de la relation initiale, qui ne reflète pas les symétries internes régissant les coefficients: c'est ce que l'on est parfois tenté d'écrire d'un premier jet.

On recherche désormais (s'il existe !) l'éventuel centre (C) de la quadrique, à l'aide duquel on peut définir les nouvelles coordonnées:
X = x - X_c ; Y = y - Y_c ; Z = z - Z_c .
L'équation cartésienne de la surface, intentionnellement ré-écrite
F(x,y,z) = ax² + by² + cz² + dyz + ezx + fxy + gx + hy + iz + j = 0
afin de la rendre moins boiteuse, devient maintenant:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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2
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4
5
6
7
8
 
F(x, y, z) = a*(X + Xc)<sup>2</sup> + b*(Y + Yc)<sup>2</sup> + c*(Z + Zc)<sup>2</sup> ...
           + d*(Y + Yc)*(Z + Zc) + e*(Z + Zc)*(X + Xc) + f*(X + Xc)*(y + Yc) ...
           + g*(X + Xc) + h*(Y + Yc) + i*(Z + Zc) + j
 
           = a*X<sup>2</sup> + b*Y<sup>2</sup> + c*Z<sup>2</sup> + d*(Y*Z) + e*(Z*X) + f*(X*Y) ...
           + (2*a*Xc + e*Zc + f*Yc + g)*X + (2*b*Yc + f*Xc + d*Zc + h)*Y + (2*c*Zc + d*Yc + e*Xc + i)*Z ...
           + a*Xc<sup>2</sup> + b*Yc<sup>2</sup> + c*Zc<sup>2</sup> + d*(Yc*Zc) + e*(Zc*Xc) + f*(Xc*Yc) + g*Xc + h*Yc + i*Zc + j

Le changement d'origine préserve les six premiers termes; on obtient en effet:
F(X, Y, Z) = a*X² + b*Y² + c*Z² + d*(Y*Z) + e*(Z*X) + f*(X*Y) + G₁*X + G₂*Y + G₃*Z + K = 0
résultat susceptible de simplification par la disparition des trois termes d'ordre (1), à condition se poser:
G₁(X_c, Y_c, Z_c) = 0 ;
G₂(X_c, Y_c, Z_c) = 0 ;
G₃(X_c, Y_c, Z_c) = 0 .
La résolution de ce système d'équations linéaires n'est évidemment possible que dans le cas d'un déterminant non nul.

Au sujet des quadriques, voir les excellents articles disponibles sur , Wikipédia, MathCurve et BibM@th ( dont on aura peut-être l'occasion de reparler ...)

[Dlzlogic]

Bonjour wiwaxia,
Je ne comprends pas vos deux messages.
TBC92 m'a répondu de façon parfaitement détaillée et dans le sens de ma question. Donc, le sujet était résolu comme je l'ai indiqué.
Le choix du demandeur de base a été d'utiliser des quadriques, ce n'est assurément pas une bonne méthode, mais c'était les hypothèses. Il est fort peu probable qu'on ait l'occasion de reparler. Ce forum est franchement antipathique.