Discussion :

[lilsou]

salut
Y a t-il moyen de résoudre un système d'équation linéaire par la méthode de gauss-seidel en séparant la matrice (ou n'importe quelle autre méthode)
c'est à dire résoudre le système en manipulant la matrice bloc par bloc et non en manipulant la matrice entière
Merci!

[Zavonen]

Suppose que ta matrice M soit écrite sous la forme de 2 blocs diagonaux comme ceci

M=
A 0
0 B
où A et B sont des matrices carrées.
Soir r la dimension de A et s la dimension de B.
Soit N le second membre du système et N1 le vecteur formé des r premières composantes de N et N2 celui formé des s dernières.
Cela veut dire que l'homomorphisme f représenté par la matrice M est le produit de deux homomorphismes g et h opérant sur des sous-espaces F et G de E respectivement en somme directe. g est la restriction de f à F et h est la restriction de f à G.
Il va de soi que si M est à diagonale dominante A et B le sont aussi.
Partons d'une approximation x0 de F et d'une approximation y0 de G.
Si nous faisons des itérations successives par Gauss-Seidel les itérés de x0 convergent vers une solution de AX=N1, les itérés de y0 convergent vers une solution de BX=N2 (peut être pas à la même vitesse) mais globalement le vecteur somme d'un itéré de x0+y0 converge vers une solution de MX=N.
Ceci se généralise à n blocs, donc aux matrices bandes.
Je réponds donc OUI avec la restriction suivante:
Décomposition de M en blocs DIAGONAUX.
Si tu pratiques un peu Python tu peux le vérifier en utilisant ce script:
(reconstitue A à partir de deux blocs DiagDom A1 et A2- Applique G-S à A d'une part à A1 et A2 d'utre part et compare les résultats).

Code Python :

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from scipy import linalg
from random import randint
from scipy import randn
from numpy import array, matrix
 
### Méthode des itérations successives de Gauss-Seidel
 
def DiagDom(n):
    """Genère une matrice aléatoire à diagonale dominante"""
    M = randn(n,n) #matrice aléatoire
    for i in range (0,n):
        L1=[abs(M[i,j]) for j in range(0,n) if j !=i]
        L2=[abs(M[j,i]) for j in range(0,n) if j !=i]
        s= reduce(lambda x,y:x+y,L1+L2)
        M[i,i]=s+randint(1,3)
    return matrix(M)
 
def MatD(A):
    """Matrice D de A"""
    D=A.copy()
    n=len(D)
    for i in range(0,n):
        for j in range(0,i):
            if j<i:
                D[i,j]=0
    return matrix(D)
 
def MatM(A):
    """Matrice extraite de A triangulaire inférieure"""
    M=A.copy()
    for i in range(0,len(A)):
        for j in range(i,len(A)):
            M[i,j]=0
    return M
 
def Seidel(D,M,B,X):
    """itérateur de Gauss-Seidel"""
    yield X
    while True:
        X=D*B-D*M*X
        yield X
 
def main():    
    n=4
    A=DiagDom(n) # matrice du système
    B=matrix(randn(n,1)) # second membre
    D=MatD(A)
    D=linalg.inv(D)
    M=MatM(A)
    X=matrix( [[0] for i in range(0,n)])
    Seid=Seidel(D,M,B,X)
    for i in range(0,10):# 10 itérations par Gauss Seidel
        S1=Seid.next()    
    S2=linalg.solve(A,B)# solution 'exacte'
    print linalg.norm(S1-S2)
 
if __name__== "__main__":
    main()

[FR119492]

Salut!
Voir: http://jmblanc.developpez.com/algori...mes-lineaires/
Jean-Marc Blanc