Discussion :

[Damelko]

Bonjour à tous,

Je cherche à résoudre un problème mathématique sur lequel j'avance en vain depuis quelques jours. Il s'agit d'équations pour un modèle physique, n'hésitez pas à me dire si ce message n'a pas grand chose à faire dans cette rubrique sur les mathématiques.

J'ai deux solides chacun en rotation autour d'un axe (Y pour le solide B et Z pour le solide A) qui ont chacun un point de pivot connu dans l'espace. Ces deux solides sont reliées par un troisième qui peut être assimilé à une biellette de longueur fixe. (rotulée au niveau des jonctions avec les deux autres solides). En position neutre les points A et B sont alignés selon X et Z=0.

J'ai dessiné rapidement un modèle 3D pour essayer d'imager la situation mais le problème de fond est quand même de l'ordre mathématique. Voici ce que je cherche à faire : Pour une rotation d'angle du solide A autour de son point de pivot , déduire l'angle de rotation du solide B autour de son point de pivot .

Le but de final est de, à partir d'en angle d'entrée sur le solide A, déterminer le bras de levier entre B' et , perpendiculaire à A'B'.

J'ai commencé par exprimer les coordonnées des points A' et B' dans l'espace puisqu'ils décrivent chacun un cercle sur leur plan de rotation respectif. Mais à partir de là en essayant de créer des triangles entre les deux plan je tourne en rond. J'ai essayé des projections aussi pour transformer le problème 3D en deux problèmes 2D, mais je ne retrouve pas ce qu'il me faut.

Les informations utiles sont présentés sur la feuille, je vous remercie si vous pouvez m'aiguiller vers une piste de résolution de ce problème.

[Guesset]

Bonjour,

Vue 3D, le système ne peut fonctionner par manque de degrés de liberté. Quand la partie B bouge, il s'élève/s'abaisse. Il faut donc que la point A d'articulation permette la rotation selon les deux axes (cardan ou boule).

Le coude ne sert à rien sinon à donner l'illusion d'une certaine orthogonalité. Le coude est équivalent à un segment (l'hypoténuse du coude) qui, au repos, n'est pas d'un angle nul.

Simplifier la mécanique simplifiera aussi les mathématiques.

Salutations

[Damelko]

Bonjour,

Le point A permet justement la rotation, il s'agit d'une chape femelle (horizontale) avec une chape de rotule mâle. Le jeu en Z laissé entre la chape femelle et la rotule permet donc à la pièce qui lie A et B d'avoir des mouvements selon Z quand le point B s'élève.

Tout à fait, le coude ne change rien au mouvement du point A et seule la distance OA nous intéresse, cependant ma pièce possède bien un coude donc par soucis de fidélité à la mécanique je l'ai représentée. En revanche dans mes calculs je ne considère que le segment OA, le coude ne m'intéresse pas.

Ces choses étant dites, cela ne change pas la résolution du problème j'ai l'impression car je considère déjà le mouvement de OA comme décrivant un cercle, et la distance AB est fixée.
Je tiens à préciser une erreur également sur la vue 3D, en position de repos normalement les points A et B sont à Z=0, ce qui n'est pas le cas sur la photo.

Je vous remercie.

[mathieu]

j'ai la même remarque que Guesset et je n'ai pas compris si votre dernier réponse parle de ce souci de degré de liberté.
quand la pièce de droite tourne autour de l'axe z, le point A bouge suivant les cordonnées x et y. hors la 2e image donne l'impression que le déplacement de la pièce AB se fait seulement suivant les axes z et x. donc comme le déplacement suivant y est bloqué, la pièce de droite ne peux pas tourner.

[Damelko]

Bonjour,

Le point A se déplace effectivement sur le plan xy, le point B sur le plan zx, donc la pièce AB qui relie les deux se déplace bien en 3D. Cependant cette pièce est rigide bien que rotulée au deux extrémités donc la distance AB ne change pas en norme. Par contre les composantes peuvent êtres sur les trois directions.

Peut-être ai-je une erreur dans mes schémas qui vous empêche de comprendre le mouvement que je décrit ?

Voici une photo d'un mécanisme similaire que j'ai trouvé et qui devrait vous aider.
Sur cette photo la liaison au point A est caché par le reste mais il faut imaginer qu'il s'agit exactement du même type de liaison qu'au point B (chape/rotule) sauf qu'au point A, l'axe de la rotule et de la chape sont orientés selon Z (alors que c'est selon Y pour le point B).

Peut-être vous y verrez plus clair comme ça, et peut-être nous déterminerons mes potentielles erreurs de modélisations.

[mathieu]

je comprends mieux, je ne voyais pas la liaison rotule en B sur l'image en modélisation 3D.

pour votre calcul, la 1re étape est de calculer le déplacement de A à A'. dès cette étape on voit que ce déplacement dépend de la position initiale du point A.
par exemple si le point A est complètement à droite, à 1 degré en dessous de l'axe des x alors une rotation de 2 degrés, placera A' à 1 degré au dessus et donc le déplacement suivant x sera nul.
j'ai l'impression que la position que j'ai utilisé dans cet exemple ne peut pas être atteinte physiquement mais c'était juste pour démontrer qu'il y a 2 données de départ qui sont l'angle initial qui définit la position de A et l'angle de déplacement qui permet de calculer A'.

une fois que vous avez les coordonnées de A', vous avez ensuite un triangle A'-B'-OB qui vous permet de calculer la position de B' avec pythagore.
et à partir des coordonnées de B' vous pouvez calculer l'angle de déplacement de B à B'.