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Mathématiques Discussion :

Rotation de systèmes dans l'espace


Sujet :

Mathématiques

  1. #1
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    Par défaut Rotation de systèmes dans l'espace
    Bonjour à tous,

    Je cherche à résoudre un problème mathématique sur lequel j'avance en vain depuis quelques jours. Il s'agit d'équations pour un modèle physique, n'hésitez pas à me dire si ce message n'a pas grand chose à faire dans cette rubrique sur les mathématiques.

    J'ai deux solides chacun en rotation autour d'un axe (Y pour le solide B et Z pour le solide A) qui ont chacun un point de pivot connu dans l'espace. Ces deux solides sont reliées par un troisième qui peut être assimilé à une biellette de longueur fixe. (rotulée au niveau des jonctions avec les deux autres solides). En position neutre les points A et B sont alignés selon X et Z=0.

    J'ai dessiné rapidement un modèle 3D pour essayer d'imager la situation mais le problème de fond est quand même de l'ordre mathématique. Voici ce que je cherche à faire : Pour une rotation d'angle Formule mathématique du solide A autour de son point de pivot Formule mathématique, déduire l'angle de rotation Formule mathématique du solide B autour de son point de pivot Formule mathématique.

    Le but de final est de, à partir d'en angle d'entrée sur le solide A, déterminer le bras de levier entre B' et Formule mathématique, perpendiculaire à A'B'.

    J'ai commencé par exprimer les coordonnées des points A' et B' dans l'espace puisqu'ils décrivent chacun un cercle sur leur plan de rotation respectif. Mais à partir de là en essayant de créer des triangles entre les deux plan je tourne en rond. J'ai essayé des projections aussi pour transformer le problème 3D en deux problèmes 2D, mais je ne retrouve pas ce qu'il me faut.

    Les informations utiles sont présentés sur la feuille, je vous remercie si vous pouvez m'aiguiller vers une piste de résolution de ce problème.
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  2. #2
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    Bonjour,

    Vue 3D, le système ne peut fonctionner par manque de degrés de liberté. Quand la partie B bouge, il s'élève/s'abaisse. Il faut donc que la point A d'articulation permette la rotation selon les deux axes (cardan ou boule).

    Le coude ne sert à rien sinon à donner l'illusion d'une certaine orthogonalité. Le coude est équivalent à un segment (l'hypoténuse du coude) qui, au repos, n'est pas d'un angle nul.

    Simplifier la mécanique simplifiera aussi les mathématiques.

    Salutations

  3. #3
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    Bonjour,

    Le point A permet justement la rotation, il s'agit d'une chape femelle (horizontale) avec une chape de rotule mâle. Le jeu en Z laissé entre la chape femelle et la rotule permet donc à la pièce qui lie A et B d'avoir des mouvements selon Z quand le point B s'élève.

    Tout à fait, le coude ne change rien au mouvement du point A et seule la distance OA nous intéresse, cependant ma pièce possède bien un coude donc par soucis de fidélité à la mécanique je l'ai représentée. En revanche dans mes calculs je ne considère que le segment OA, le coude ne m'intéresse pas.

    Ces choses étant dites, cela ne change pas la résolution du problème j'ai l'impression car je considère déjà le mouvement de OA comme décrivant un cercle, et la distance AB est fixée.
    Je tiens à préciser une erreur également sur la vue 3D, en position de repos normalement les points A et B sont à Z=0, ce qui n'est pas le cas sur la photo.

    Je vous remercie.

  4. #4
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    j'ai la même remarque que Guesset et je n'ai pas compris si votre dernier réponse parle de ce souci de degré de liberté.
    quand la pièce de droite tourne autour de l'axe z, le point A bouge suivant les cordonnées x et y. hors la 2e image donne l'impression que le déplacement de la pièce AB se fait seulement suivant les axes z et x. donc comme le déplacement suivant y est bloqué, la pièce de droite ne peux pas tourner.

  5. #5
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    Bonjour,

    Le point A se déplace effectivement sur le plan xy, le point B sur le plan zx, donc la pièce AB qui relie les deux se déplace bien en 3D. Cependant cette pièce est rigide bien que rotulée au deux extrémités donc la distance AB ne change pas en norme. Par contre les composantes peuvent êtres sur les trois directions.

    Peut-être ai-je une erreur dans mes schémas qui vous empêche de comprendre le mouvement que je décrit ?

    Voici une photo d'un mécanisme similaire que j'ai trouvé et qui devrait vous aider.
    Sur cette photo la liaison au point A est caché par le reste mais il faut imaginer qu'il s'agit exactement du même type de liaison qu'au point B (chape/rotule) sauf qu'au point A, l'axe de la rotule et de la chape sont orientés selon Z (alors que c'est selon Y pour le point B).

    Peut-être vous y verrez plus clair comme ça, et peut-être nous déterminerons mes potentielles erreurs de modélisations.
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  6. #6
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    je comprends mieux, je ne voyais pas la liaison rotule en B sur l'image en modélisation 3D.

    pour votre calcul, la 1re étape est de calculer le déplacement de A à A'. dès cette étape on voit que ce déplacement dépend de la position initiale du point A.
    par exemple si le point A est complètement à droite, à 1 degré en dessous de l'axe des x alors une rotation de 2 degrés, placera A' à 1 degré au dessus et donc le déplacement suivant x sera nul.
    j'ai l'impression que la position que j'ai utilisé dans cet exemple ne peut pas être atteinte physiquement mais c'était juste pour démontrer qu'il y a 2 données de départ qui sont l'angle initial qui définit la position de A et l'angle de déplacement qui permet de calculer A'.

    une fois que vous avez les coordonnées de A', vous avez ensuite un triangle A'-B'-OB qui vous permet de calculer la position de B' avec pythagore.
    et à partir des coordonnées de B' vous pouvez calculer l'angle de déplacement de B à B'.

  7. #7
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    Merci pour cette première piste.
    Le point B' n'est pas au même Z que le point A'. Le triangle A'-B'_Ob n'est donc pas rectangle et m'empêche d'utiliser Pythagore. De plus je ne connais pas non plus l'angle A'B'Ob qui me pourrait me permettre d'utiliser Al-Kashi.

    Ai-je raté un détail ?

  8. #8
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    Bonjour,

    Il faut calculer les coordonnées du point B pour un angle beta et les coordonnées du point A pour un angle alpha. Le module du vecteur AB est la longueur L de la tige de transmission. Nous avons donc une équation. en travaillant avec tb = tangente(b/2) on évacue la mixité cos et sin. La solution est une expression plus faite pour le calcul informatique que pour un calcul manuel.

    Salutations

  9. #9
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    Bonjour Guesset,

    Merci pour cette réponse, je suis en train d'essayer de développer l'expression avec l'arc moitié. Effectivement l'expression est bien velue. Existe t-il des outils qui peuvent m'aider à développer l'expression littérale numériquement ou dois-je aller au bout du calcul à la main ? Je vise ensuite une application sur excel avec en entré l'angle alpha et en sortie l'angle beta en ayant au préalable renseignée l'information AB et les coordonnées du centre Ob.

  10. #10
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    Je monte dans le train en route, ce n'est pas prudent.
    On a 3 pièces, de gauche à droite sur l'image sur fond bleu : le bloc, la tige et le coude.
    Si on est en 'maths', et pas en mécanique, la tige est en permanence dans le plan y=0. Et comme A se déplace sur un cercle dans le plan z=0, en toute rigueur, le système est bloqué. Il n'y a qu'un point d'intersection (ou 2) entre ce cercle et le plan y=0.
    Dans les faits, on n'est pas en maths mais en mécanique. Il y a du jeu.
    On peut projeter tout sur le plan y=0, on travaille sur une portion du cercle suffisamment petite pour s'intéresser uniquement à A(xA,0,0) et B(xB,0,zB)
    Autrement dit, le coude ne nous intéresse pas réellement. A se déplace sur un rail.

    Option 2 : Au point B, on a volontairement du jeu, la tige peut tourner librement autour de l'axe, mais il y a quelques millimètres de jeu, et la tige peut s'éloigner significativement du plan y=0. et dans ce cas, dans le calcul de la distance AB, on décide de ne plus faire l'impasse sur l'axe y.

    Vu la longueur de la tige AB, je pense qu'on peut largement faire l'impasse, et considérer que dans le calcul de la distance AB, le plan y n'entre pas en ligne de compte.

    Je ne sais pas si ça fait avancer le débat.

  11. #11
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    Bonjour tbc92

    Merci pour tes remarques, c'est effectivement la solution que j'avais envisagée au début. En effet les rotations min/max de mon point A autour de sa position d'origine sont de l'ordre de +/-18° et donc par conséquent les mouvement en Y du point A sont de l'ordre de +6/-18mm. Ces mouvements en Y ont donc l'air d'avoir une petite influence seulement sur l'angle beta, encore faudrait-il la quantifier car le but final est de calculer des moment et forces aux points A et B, un facteur d'abattement devrait donc être défini pour garder des valeurs conservatives après cette approximation de mouvement plan.

    Ceci étant dit, je n'ai pas trouvé de moyen de déterminer l'angle beta dans le cas d'un problème plan simplifié. J'ai l'impression qu'il me manque une valeur pour travailler avec le triangle Ob-A'-B'. Cela ressemble pourtant à un système bielle manivelle, je vais creuser un peu mieux.

    Je continue de venir à bout de l'équation avec les coordonnées en 3D en parallèle...

  12. #12
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    Bonjour tbc92,

    Citation Envoyé par tbc92 Voir le message
    ...la tige est en permanence dans le plan y=0. Et comme A se déplace sur un cercle dans le plan z=0, en toute rigueur, le système est bloqué...
    En fait non, cela a fait l'objet de quelques échanges, mais, contrairement à ce que suggère la 3D, la tige est fixée via des rotules ce qui lui permet les degrés de liberté nécessaires. On pourrait aussi utiliser une tige flexible (genre gaine de freins de vélo ).

    Salut

  13. #13
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    Bonjour,

    Pour calculer le bidule il est plus facile d'utiliser les logiciels de calcul formel (Scilab que je ne maîtrise pas, Mapple, etc.) ou les calculatrices de calcul formel (HP Prime, Texas Inspire CAS...).

    Un petit dessin pour la route (sans coude qui correspond à un angle initial non nul < 0)) :
    Nom : Bielles.png
Affichages : 145
Taille : 79,1 Ko

    En espérant qu'il n'y a pas trop d'erreurs .

    Salutations

  14. #14
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    Bonjour Guesset,

    Merci pour ton schéma, j'ai à peu près la même chose de mon côté à la différence près du coude et des angles de départ qui sont non nuls. Cependant le principe est le même.

    Je suis enfin venu a bout de l'équation après une tentative de résolution à l'aide de SageMath en calcul formel numérique. Impossible de faire simplifier mon expression sous sa forme trigonométrique par le logiciel, j'ai donc laissé tombé les outils numérique au profit de ma feuille et mon stylo. Après quelques erreurs j'arrive à un polynome de degré 2 en tangente grâce à l'arc moitié. Les racines sont donc les deux angles beta possibles que j'ai pu vérifier avec un modèle cinématique 3D. Merci à vous pour votre aide c'est parfait !

  15. #15
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    Bonjour,

    Pour les angles faibles; il y a la possibilité d'assimiler sin(a) à a et cos(a) à 1-a²/2 (idem pour b) mais la simplification évite seulement les arc-tangentes.

    Bonne continuation.

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