Discussion :

[lilas01]

Bonjour à tous,

J'aimerais obtenir un petit service pour un calcul de probabilités concernant le tirage à pile ou face (donc une chance sur deux).
Est-il possible de calculer l'écart absolu moyen pour un certain nombre de lancers de la pièce et d'établir une courbe donnant les écarts absolus moyens par rapport au nombre de lancers(courbe allant de 0 à 100000 lancers)?
Je précise que je suis ignorant en probabilités et je vous remercie de me répondre en termes qu'un nul en maths peut comprendre.

Au plaisir de vous lire.

[dourouc05]

Si tu es nul en maths, tu peux toujours obtenir la réponse : fais une expérience ! Tente beaucoup de lancer (dix mille, cent mille ?), calcule ce que tu souhaites, affiche-le. Si ton expérience est bien réalisée et si tu fais assez de tirage, tu auras une valeur très proche de la vraie probabilité.

Pour ta question, je n'arrive pas à bien saisir ce que tu veux. Tu cherches à déterminer la moyenne de , où µ est la valeur moyenne d'un lancer (c'est-à-dire 0,5 si ta pièce n'est pas truquée) et X la valeur d'un lancer ? Dans ce cas, tu auras 0,5 : en moyenne, X vaut déjà µ = 0,5 ; avec une probabilité de 50 %, X = 0 et |X - \mu| = 0,5 ; avec une probabilité de 50 %, X = 1 et |X - \mu| = 0,5. Cela pourrait-il répondre à ta question ?

établir une courbe donnant les écarts absolus moyens par rapport au nombre de lancers(courbe allant de 0 à 100000 lancers)?

J'ai du mal avec cette partie. Peu importe le nombre de lancers que tu as, tu auras un écart de 0,5. Tu peux dessiner cette courbe pour une expérience, en calculant les moyennes µ et avec tous les lancers que tu as eu jusqu'à présent : cette courbe tendra vers 0,5. En dehors d'une expérience, tu auras juste un 0,5 constant sur tous les lancers.

[tbc92]

Effectivement, la question n'est pas claire du tout.
On lance une pièce 1000 fois (je prends 1000 pour illustrer).
L'espérance, c'est 500 Piles et 500 Faces.
Mais effectivement, si tu obtiens 505 Piles et 495 Faces, c'est """normal""". idem 512 Piles et 488 Faces. Par contre , 600 Piles et 400 Faces, c'est possible, évidemment, mais très peu probable.
Tu as 95% de chances d'arriver dans un intervalle [437, 563] de Piles et idem de Faces évidemment.
Le 63 en question, c'est 2*racine(1000) ; tu peux adapter la formule pour 5000 ou 10000 tirages.

Je pense que la question c'est :
Au bout de 1000 lancers, on a p Piles et f Faces. p est un nombre en principe proche de 500

- la probabilité que p=500, on peut la calculer. si p=500, alors l'écart absolu |p-f| vaut 0
- la probabilité que p=501, on peut la calculer. si p=501 ou p=499, alors l'écart absolu |p-f| vaut 2
- la probabilité que p=502, on peut la calculer. si p=502 ou p=498, alors l'écart absolu |p-f| vaut 4
etc.
et ce que tu veux, c'est en moyenne, combien vaut |p-f|

C'est comme ça que je comprends la question.

Avant de se lancer dans des calculs compliqués, il faudrait être sûr que c'est ça la question.

[tbc92]

En considérant que mon interprétation était correcte, la formule finale est :
Espérance (|p-f|) = 0.8 * racine (n)
où n est le nombre totale de lancers.
Le facteur 0.8 est approximatif, il augmente très lentement quand n augmente. Mais on reste en gros entre 0.79 et 0.81.

Donc en gros, si on considère qu'une expérience, c'est : on lance 100 fois une pièce et on compte la différence |p-f| pour 100 lancers. Cette différence |p-f| est un nombre entre 0 et 100 : 0 si on a obtenu exactement 50 piles et 50 faces, et 100 si on a obtenu que des Piles ou que des Faces (rarissime).
En moyenne, cet écart vaut environ 8 (7.959 ... en fait)

[lilas01]

Bonjour,

Merci pour les réponses que vous m'avez apportées.Puisque vous trouvez que ma question n'est pas clairement exprimée,je vais tenter de la préciser.
J'ai lu sur un site traitant de l'écart absolu que celui-ci est la valeur absolue de l'écart entre le point d'équilibre et sa valeur constatée.
Par exemple,Si on lance la pièce100 fois et que l"on obtient 55 faces et 45 piles,l'écart est de 5 pour face et de-5 pour pile.L'écart absolu est donc de 5 pour chacune des deux possibilités(fac et pile).
Ce que j'aimerais connaître,c'est la moyenne de l'écart absolu que l'on obtient après un certain nombre de lancers.Par exemple pour 100 lancers,quel serait la moyenne des écarts absolus obtenus après un très grand nombres d'expériences de 100 lancers.
S'il n'existe pas de formule pour en donner une valeur théorique précise,il est toujours possible d'en déterminer une valeur approximative sur un grand nombre d'expériences.
Le fait de pouvoir déterminer l"écart absolu moyen théorique à l'aide d'une formule,outre sa précision,c'est qu'il serait plus rapide d' établir une courbe donnant la valeur de notre écart absolu moyen pour les différents nombres de lancers considérés.

Je n'ai pas pratiqué de maths depuis environ 50 ans et bien que j'aie obtenu un bac C en 1972 avec une relative facilité et très peu d'assiduité,j'ai bien sûr presque tout oublié , même si je crois avoir gardé un esprit logique.

Merci encore et peut-être à bientôt.

[tbc92]

Ok.
Dans ma réponse, si on obtient 55 Faces et 45 Piles, je comptais l'écart comme étant 55-45 (ou 45-55, peu importe, puisqu'on prend la valeur absolue)
Tu dis que dans cette situation, tu considères que l'écart est 5, et non 10.

Donc, dans la formule que je donnais, il faut diviser les résultats par 2.

Du coup, si n est le nombre de tirages (n=100 dans ton dernier message), l'écart absolu moyen est environ 0.4 * racine(n)

Pour les grandes valeurs de n ( à partir de 40 par exemple), cette estimation est très bonne. Je n'ai pas vérifié pour des valeurs de n très faibles (par exemple n=5 ou n=15)

Ce n'est pas le résultat d'une expérience, c'est le résultat d'un calcul théorique, expliqué dans mon premier message.

[Guesset]

Bonjour,

En fait si n est le nombre de tirages |p-f| vaut |2p-n|. Mais P(p) = P(n-p) (symétrie).
La valeur moyenne peut donc s'écrire :

• si n = 2m, Somme (0 à m-1) de (n-2p + n-2p) P(p) = Somme (0 à m-1) de 2(n-2p) P(p) car le terme isolé m vaut 0.
• si n = 2m+1, Somme (0 à m) de 2(n-2p) P(p)

Dans le cas de n impair c'est assez simple : Somme (0 à m) de 2(n-2p) P(p) = 2n. Somme (0 à m) P(p) - 4.Somme (0 à m) p.P(p) = n - 4.Somme (0 à m) p.P(p) à cause de la demi somme binomiale. Sauf erreur (probable), on devrait avoir quelque chose comme <|p-f|> = n - m = m + 1

Salutations

[tbc92]

@Guesset,
J'illustrais avec 1000 lancers. Si on a 1000 lancers, et qu'on a 499 piles, on a 501 faces (et pas 1 comme tu le dis), et donc écart absolu =2.
Et en fait, après la précision donnée par lilas01, il ne faut pas calculer l'écart entre p et f, mais entre p et la valeur 'attendue' pour p. Donc dans le cas de 1000 tirages, l'écart absolu est |p-500| , soit la moitié de |p-f|

[Guesset]

Bonjour tbc92,

J'illustrais avec 1000 lancers. Si on a 1000 lancers, et qu'on a 499 piles, on a 501 faces (et pas 1 comme tu le dis), et donc écart absolu =2.
Et en fait, après la précision donnée par lilas01, il ne faut pas calculer l'écart entre p et f, mais entre p et la valeur 'attendue' pour p. Donc dans le cas de 1000 tirages, l'écart absolu est |p-500| , soit la moitié de |p-f|

Désolé, je m'en suis aperçu rapidement mais pas assez apparemment

Je ne comprends pas comment apparaît la racine carré de la formule. En utilisant la symétrie P(p) = P(n-p), il assez facile de séparer les cas p < n/2 et les autres (nonobstant la parité de n) et de faire apparaître une somme pondérée sans les valeurs absolues. Ensuite en réintégrant p dans les combinaisons et en changeant de variable on obtient des expressions de type k.2^n/2 qui ont le bon goût de se simplifier. Même si j'ai fait des erreurs (bornes, changement de variable etc.), je ne vois pas comment un terme qui n'apparaît dans aucune expression pourrait surgir au final.

Modif : Un petit programme me montre effectivement la dépendance en racine carré sans que je la comprenne pour autant.

Salut

[tbc92]

Il y a un résultat classique, c'est le suivant :

Soit n variables aléatoires X1,X2,...Xn, toutes de moyenne M et d'écart-type E,
La variable aléatoire correspondant à la somme X1+X2 + ... + Xn a pour moyenne n*M, et pour écart-type racine(n)*E

On avait déjà ce racine(n), et on est dans un contexte très similaire.

Ici, on ne s'intéresse pas à l'écart-type, mais à l'écart absolu (on remplace la fonction 'carré' par la fonction 'valeur absolue')
Le calcul est relativement simple (simple avec un tableur ; sans tableur, avec des calculs formels, je ne pense pas que ça se simplifie bien)

Pour n=100, pour chaque valeur de p, on sait calculer P(p) = C(n,p)/2^n
Par exemple, pour n=100, la probabilité d'avoir exactement 51 Piles et 49 Faces, c'est 7.8%
Et on peut donc faire une moyenne pondérée.
La probabilité d'avoir un écart de 0, c'est 7.96%
La probabilité d'avoir un écart de 1, c'est 7.8%x2 (soit 51 Piles, soit 49 Piles)
La probabilité d'avoir un écart de 2, c'est 7.35%x2 (soit 52 Piles, soit 48 Piles)
etc
En moyenne, on arrive à un écart de 3.98 environ
Effectivement, il n'y a pas du tout de racine(n) dans l'histoire.

Mais si on fait le même calcul avec n=200 (donc 2 fois plus grand), on constate qu'on arrive à 5.62, soit environ 1.414 fois plus grand.
Et si on refait encore le même calcul avec n=400, on trouve un résultat à nouveau 1.414 fois plus grand.
Quand l'effectif n est multiplié par un facteur k, l'écart absolu moyen est multiplié par racine(k) (environ).
D'où le racine(n) dans la formule finale.

Edit : suite à tes simulations, question : pourquoi ce racine(n) apparaît ?
Réponse par une autre question : Pourquoi le racine(n) apparaît il dans le résultat classique, avec l'écart-type ?

[Guesset]

Bonjour tbc92,

Réponse par une autre question : Pourquoi le racine(n) apparaît il dans le résultat classique, avec l'écart-type ?

L'écart type est une racine carrée d'une moyenne de n écarts quadratiques. Si cette moyenne garde une dépendance en n (comme l'exemple cité), l'écart type le transformera en dépendance en racine(n). Ce n'est pas automatique mais pas surprenant.

Salut

[Guesset]

Bonjour,

A défaut d'avoir une formule directe, il y a au moins une relation de récurrence :

• Si n impair : E(n+1) = E(n)
• Si n pair : E(n+1) = E(n) + C(n, n/2)/2ⁿ⁺¹ = E(n-1) + C(n, n/2)/2ⁿ⁺¹

Salutations

[tbc92]

Sur l'histoire de racine(n), en fait, quand on a une loi normale, on a une forme qui correspond à une cloche, c'est une forme très précise.
Et le ratio écart-absolu-moyen divisé par écart-type, il vaut une certaine constante.
Wikipédia nous dit que cette constante est racine(2/pi) , c'est à dire 0.79788..., donc conforme aux résultats précédents.

Donc si entre une cloche de taille n et une autre de taille 2n, l'écart-type augmente d'un facteur racine(2), l'écart-absolu-moyen augmente aussi d'un facteur racine(2).

Sur les petits nombres, classiquement moins de 30 lancers, l'approximation de la cloche par une cloche gaussienne est imprécise, et du coup le ratio écart-absolu-moyen divisé par écart-type s'éloigne un peu de cette constante.
Pour n=14 par exemple, l'écart absolu moyen est de 0.39*racine(n), contre 0.4 racine(n) pour des nombres plus grands ...
0.4 racine(n), c'est une approximation.

Quand j'ai lu : si n impair, E(n+1)=E(n), j'ai sauté sur mon fichier de calcul pour vérifier quelques valeurs de n ... oui ! Je ne m'y attendais pas du tout.

[Guesset]

Bonjour tbc92,

...Quand j'ai lu : si n impair, E(n+1)=E(n), j'ai sauté sur mon fichier de calcul pour vérifier quelques valeurs de n ... oui ! Je ne m'y attendais pas du tout.

Quand je l'ai trouvé, surpris, je l'ai vérifié plusieurs fois. En fait c'est un résultat lié à la parité, si n est pair il y a n+1 termes mais le terme central fait apparaître un 0 ce qui n'arrive pas pour n-1.

Je n'ai pas réussi à simplifier l'expression finale.

Salut

[Guesset]

Bonjour,

Si on note k_in chacun des termes de la somme permettant de calculer E(n), on s'aperçoit que k_i = (1-1/(2i)k_i-1. Il est donc facile de calculer la somme selon une boucle proportionnelle à n.
Par exemple en Pascal :

Code Pascal :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
function AbsAvg(n : Integer): double;
var
   U : double;
   i, m : Integer;
begin
   if n <= 0 then Exit(0.0);
   Result := 0.5;
   U := 0.5;
   m := (n - 1) div 2;
   for i := 1 to m do begin
      U := U * (1.0 - 1 / (2*i));
      Result := Result + U;
   end;
end;

Salutations

[Guesset]

Bonjour,

Et la tendance en racine carrée dans tout cela ?

Au premier ordre : f(x+dx) = f(x) + f'(x).dx = f(x).(1 + dx.f'(x)/f(x)) et f'(x) = f'(x) + dx. f"(x+dx) = f'(x)(1 + dx. f"(x)dx.) = f'(x)(1 +dx.f"(x)/f'(x))

Si f(x) = x^1/2, f''(x) = 1/(2. x^1/2), , f''(x) = -1/(4.x. x^-1/2). Alors, f'(x).(1 + dx.f"(x)/f'(x)) = f(x)(1 - dx/(2x))

Avec dx = 1, au premier ordre f'(x+1) = f'(x)(1- 1/(2x)) ce qui est similaire à la relation de récurrence trouvée : k_i = (1-1/(2i)).k_i-1.

Cependant ce n'est qu'une approximation qui, entre autres, ne "voit" pas les marches d'escalier de la "courbe" réelle.

Le raisonnement sur la gaussienne s'applique dans la plupart des cas naturels (souvent liés à l'entropie) qui ont une valeur moyenne centrée et une décroissance symétrique. Dans le cas présent, si le phénomène de base répond parfaitement à ce critère, de même que la variable y = x - <x>, ce n'est pas le cas de la variable z = |x - <x>| qui prend la forme de la moitié droite de la gaussienne décalée à 0. Cette courbe hérite d'Une partie des propriétés de la gaussienne mais il faut faire attention.

Salutations

[lilas01]

Bonjour,

Je m'aperçois que la question que je vous ai posée a demandé une réponse plus complexe que ce que j'avais imaginé.Même si je n'ai pas la possibilité de comprendre l'intégralité de vos explications,je retiendrai les formules les plus simples,les valeurs qu'elles donnent étant suffisamment précises pour moi.
Encore merci et peut-être à bientôt.

Cordialement.