Discussion :

[lilas01]

Bonjour à tous,

J'aimerais obtenir un petit service pour un calcul de probabilités concernant le tirage à pile ou face (donc une chance sur deux).
Est-il possible de calculer l'écart absolu moyen pour un certain nombre de lancers de la pièce et d'établir une courbe donnant les écarts absolus moyens par rapport au nombre de lancers(courbe allant de 0 à 100000 lancers)?
Je précise que je suis ignorant en probabilités et je vous remercie de me répondre en termes qu'un nul en maths peut comprendre.

Au plaisir de vous lire.

[dourouc05]

Si tu es nul en maths, tu peux toujours obtenir la réponse : fais une expérience ! Tente beaucoup de lancer (dix mille, cent mille ?), calcule ce que tu souhaites, affiche-le. Si ton expérience est bien réalisée et si tu fais assez de tirage, tu auras une valeur très proche de la vraie probabilité.

Pour ta question, je n'arrive pas à bien saisir ce que tu veux. Tu cherches à déterminer la moyenne de , où µ est la valeur moyenne d'un lancer (c'est-à-dire 0,5 si ta pièce n'est pas truquée) et X la valeur d'un lancer ? Dans ce cas, tu auras 0,5 : en moyenne, X vaut déjà µ = 0,5 ; avec une probabilité de 50 %, X = 0 et |X - \mu| = 0,5 ; avec une probabilité de 50 %, X = 1 et |X - \mu| = 0,5. Cela pourrait-il répondre à ta question ?

établir une courbe donnant les écarts absolus moyens par rapport au nombre de lancers(courbe allant de 0 à 100000 lancers)?

J'ai du mal avec cette partie. Peu importe le nombre de lancers que tu as, tu auras un écart de 0,5. Tu peux dessiner cette courbe pour une expérience, en calculant les moyennes µ et avec tous les lancers que tu as eu jusqu'à présent : cette courbe tendra vers 0,5. En dehors d'une expérience, tu auras juste un 0,5 constant sur tous les lancers.

[tbc92]

Effectivement, la question n'est pas claire du tout.
On lance une pièce 1000 fois (je prends 1000 pour illustrer).
L'espérance, c'est 500 Piles et 500 Faces.
Mais effectivement, si tu obtiens 505 Piles et 495 Faces, c'est """normal""". idem 512 Piles et 488 Faces. Par contre , 600 Piles et 400 Faces, c'est possible, évidemment, mais très peu probable.
Tu as 95% de chances d'arriver dans un intervalle [437, 563] de Piles et idem de Faces évidemment.
Le 63 en question, c'est 2*racine(1000) ; tu peux adapter la formule pour 5000 ou 10000 tirages.

Je pense que la question c'est :
Au bout de 1000 lancers, on a p Piles et f Faces. p est un nombre en principe proche de 500

- la probabilité que p=500, on peut la calculer. si p=500, alors l'écart absolu |p-f| vaut 0
- la probabilité que p=501, on peut la calculer. si p=501 ou p=499, alors l'écart absolu |p-f| vaut 2
- la probabilité que p=502, on peut la calculer. si p=502 ou p=498, alors l'écart absolu |p-f| vaut 4
etc.
et ce que tu veux, c'est en moyenne, combien vaut |p-f|

C'est comme ça que je comprends la question.

Avant de se lancer dans des calculs compliqués, il faudrait être sûr que c'est ça la question.

[tbc92]

En considérant que mon interprétation était correcte, la formule finale est :
Espérance (|p-f|) = 0.8 * racine (n)
où n est le nombre totale de lancers.
Le facteur 0.8 est approximatif, il augmente très lentement quand n augmente. Mais on reste en gros entre 0.79 et 0.81.

Donc en gros, si on considère qu'une expérience, c'est : on lance 100 fois une pièce et on compte la différence |p-f| pour 100 lancers. Cette différence |p-f| est un nombre entre 0 et 100 : 0 si on a obtenu exactement 50 piles et 50 faces, et 100 si on a obtenu que des Piles ou que des Faces (rarissime).
En moyenne, cet écart vaut environ 8 (7.959 ... en fait)

[lilas01]

Bonjour,

Merci pour les réponses que vous m'avez apportées.Puisque vous trouvez que ma question n'est pas clairement exprimée,je vais tenter de la préciser.
J'ai lu sur un site traitant de l'écart absolu que celui-ci est la valeur absolue de l'écart entre le point d'équilibre et sa valeur constatée.
Par exemple,Si on lance la pièce100 fois et que l"on obtient 55 faces et 45 piles,l'écart est de 5 pour face et de-5 pour pile.L'écart absolu est donc de 5 pour chacune des deux possibilités(fac et pile).
Ce que j'aimerais connaître,c'est la moyenne de l'écart absolu que l'on obtient après un certain nombre de lancers.Par exemple pour 100 lancers,quel serait la moyenne des écarts absolus obtenus après un très grand nombres d'expériences de 100 lancers.
S'il n'existe pas de formule pour en donner une valeur théorique précise,il est toujours possible d'en déterminer une valeur approximative sur un grand nombre d'expériences.
Le fait de pouvoir déterminer l"écart absolu moyen théorique à l'aide d'une formule,outre sa précision,c'est qu'il serait plus rapide d' établir une courbe donnant la valeur de notre écart absolu moyen pour les différents nombres de lancers considérés.

Je n'ai pas pratiqué de maths depuis environ 50 ans et bien que j'aie obtenu un bac C en 1972 avec une relative facilité et très peu d'assiduité,j'ai bien sûr presque tout oublié , même si je crois avoir gardé un esprit logique.

Merci encore et peut-être à bientôt.

[tbc92]

Ok.
Dans ma réponse, si on obtient 55 Faces et 45 Piles, je comptais l'écart comme étant 55-45 (ou 45-55, peu importe, puisqu'on prend la valeur absolue)
Tu dis que dans cette situation, tu considères que l'écart est 5, et non 10.

Donc, dans la formule que je donnais, il faut diviser les résultats par 2.

Du coup, si n est le nombre de tirages (n=100 dans ton dernier message), l'écart absolu moyen est environ 0.4 * racine(n)

Pour les grandes valeurs de n ( à partir de 40 par exemple), cette estimation est très bonne. Je n'ai pas vérifié pour des valeurs de n très faibles (par exemple n=5 ou n=15)

Ce n'est pas le résultat d'une expérience, c'est le résultat d'un calcul théorique, expliqué dans mon premier message.

[Guesset]

Bonjour,

En fait si n est le nombre de tirages |p-f| vaut |2p-n|. Mais P(p) = P(n-p) (symétrie).
La valeur moyenne peut donc s'écrire :

• si n = 2m, Somme (0 à m-1) de (n-2p + n-2p) P(p) = Somme (0 à m-1) de 2(n-2p) P(p) car le terme isolé m vaut 0.
• si n = 2m+1, Somme (0 à m) de 2(n-2p) P(p)

Dans le cas de n impair c'est assez simple : Somme (0 à m) de 2(n-2p) P(p) = 2n. Somme (0 à m) P(p) - 4.Somme (0 à m) p.P(p) = n - 4.Somme (0 à m) p.P(p) à cause de la demi somme binomiale. Sauf erreur (probable), on devrait avoir quelque chose comme <|p-f|> = n - m = m + 1

Salutations

[tbc92]

@Guesset,
J'illustrais avec 1000 lancers. Si on a 1000 lancers, et qu'on a 499 piles, on a 501 faces (et pas 1 comme tu le dis), et donc écart absolu =2.
Et en fait, après la précision donnée par lilas01, il ne faut pas calculer l'écart entre p et f, mais entre p et la valeur 'attendue' pour p. Donc dans le cas de 1000 tirages, l'écart absolu est |p-500| , soit la moitié de |p-f|

[Guesset]

Bonjour tbc92,

J'illustrais avec 1000 lancers. Si on a 1000 lancers, et qu'on a 499 piles, on a 501 faces (et pas 1 comme tu le dis), et donc écart absolu =2.
Et en fait, après la précision donnée par lilas01, il ne faut pas calculer l'écart entre p et f, mais entre p et la valeur 'attendue' pour p. Donc dans le cas de 1000 tirages, l'écart absolu est |p-500| , soit la moitié de |p-f|

Désolé, je m'en suis aperçu rapidement mais pas assez apparemment

Je ne comprends pas comment apparaît la racine carré de la formule. En utilisant la symétrie P(p) = P(n-p), il assez facile de séparer les cas p < n/2 et les autres (nonobstant la parité de n) et de faire apparaître une somme pondérée sans les valeurs absolues. Ensuite en réintégrant p dans les combinaisons et en changeant de variable on obtient des expressions de type k.2^n/2 qui ont le bon goût de se simplifier. Même si j'ai fait des erreurs (bornes, changement de variable etc.), je ne vois pas comment un terme qui n'apparaît dans aucune expression pourrait surgir au final.

Modif : Un petit programme me montre effectivement la dépendance en racine carré sans que je la comprenne pour autant.

Salut