Discussion :

[TiTiSeb]

Bonjour à tous,

J'aurai besoin de votre aide pour m'aider à poser un problème de résolution d'une équation quadratique.

Voici le problème à résoudre. Soit l'équation :

Code :

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0=−𝑥²+𝑦²+𝑦(𝑎−𝑏)−𝑎.𝑏

On cherche le couple de valeur x et y pour le couple connue de valeur a et b.

J'utilise la méthode de substitution:
- définition de la double solution pour

Code :

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x = (+-)sqrt(𝑦²+𝑦(𝑎−𝑏)−𝑎𝑏)

- définition de la double solution pour y en fonction de x -->

Code :

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y = 0.5*[-(a-b) (+-)sqrt(a²+2ab+4x²+b²)]

or si l'on développe cela on trouve que tout y est solution.

Je me dit alors que l'on pourrait contraindre la solution en surchargeant le problème.
Soit :
| 0=−𝑥²+𝑦²+𝑦(𝑎1−𝑏1)−𝑎1.b1 |
| 0=−𝑥²+𝑦²+𝑦(𝑎2−𝑏2)−𝑎2.b2 |

Le soucis c'est que je ne sais pas comment résoudre ce problème surchargé.
Avez vous une idée pour m'aider?
- ai je bien poser le problème?
- est il possible d'avoir une solution au problème?

D'avance merci pour votre support.
Seb.

[Flodelarab]

Bonjour

Ben moi, je me dis qu'on a l'équation d'une conique. Donc, si tu cherches le seul point qui vérifie cette équation, tu vas être déçu. Il y en a une infinité.
Tes x et y sont les coordonnées d'un point sur une parabole, hyperbole, ellipse, cercle défini(e)(s) par les "a" et "b" que tu auras.

[wiwaxia]

Bonjour,

Pour (a) et (b) donnés, il y a effectivement une infinité de couples (x, y) vérifiant l'équation donnée, donc une infinité de points constituant une courbe.
Il s'agit vraisemblablement d'une hyperbole, puisque les termes de degré (2) sont de signes contraires.

Elle présente deux asymptotes de pentes ± 1 , puisqu'elle vérifie pour y ≠ 0:

x²/y² = 1 + (a - b)/y - a.b/y² ,

et que lorsque │y│ tend vers l'infini, x²/y² tend vers 1.

Il serait intéressant de voir pour quelles valeurs de (a) et (b) l'expression de (x²) s'annule et change de signe.
Le cas trivial (a = 0, b = 0) conduit aux bissectrices du repère: y = ± x .

[wiwaxia]

Il n'est pas interdit d'écrire:

x² = y² + 2.y(a - b)/2 + (a - b)²/4 - (a - b)²/4 - a.b

soit encore:

x² = (y + (a - b)/2)² - K(a, b) ,

avec

K(a, b) = ((a - b)² + 4a.b)/4 = (a + b)²/4 ≥ 0 pour toute valeur des réels (a, b).

Deux cas se présentent donc:
a) si a + b = 0 : alors x = ±(y + (a - b)/2) ,
équation de deux droites (D₁, D₂) de pentes opposées (±1), se coupant sur l'axe (y'y) au point (0, (b - a)/2) ;

b) si a + b ≠ 0 : alors │x│ < │y + (a - b)/2│ , et la courbe se situe à l'intérieur des deux secteurs délimités par les deux droites précédentes, et contenant l'axe (y'y);
# les deux points situés sur cet axe (x = 0) vérifient: (y + (a - b)/2)² = (a + b)²/4 ,
d'où: y = ±(a + b)/2 - (a - b)/2 = b ou -a ;
# pour (a, b) donnés, le terme constant K(a, b) devient négligeable devant celui qui le précède lorsque │y│ tend vers l'infini; les arcs de courbe se rapprochent donc des droites (D₁, D₂) qui apparaissent comme les asymptotes de l'hyperbole.

Calculs à vérifier.

[TiTiSeb]

Bonjour à vous et merci pour votre retour,

Effectivement le problème posé comme ca n'a pas de solution.
C'est pour cela que je cherche à mieux le poser pour espérer en trouver une .

Voici plus d'information sur le problème initial:
Je cherche à calculer l'impédance d'un quadripôle en connaissant l'impédance connectée à sa sortie (la valeur "a" = Za) et la mesure de l'impédance à son entrée (la valeur "b" = Zb).
Voici un petit schéma du problème :

Code :

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        _____
     --|     |----___
       |     |    |  |
Zb =   |  Q  |    |Za|
       |     |    |__|
     --|_____|------

On décrivant le quadripôle à l'aide des paramètres-Z (http://j.miot.free.fr/cem/index.php?page=z_parameter), on peut mettre cela en équation:

Code :

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0=−𝑍21²+𝑍11²+𝑍11∙(𝑍a−𝑍b)−𝑍a∙𝑍b

donc de la forme :

Code :

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0=−𝑥²+𝑦²+𝑦(𝑎−𝑏)−𝑎.𝑏

Où :
- a et b sont des complexes de module strictement positif (donc |a|+|b| > 0)
- Q est un système symétrique, passif => Z11 = Z22 et Z21 = Z12 (complexe eux aussi)

Est ce que cela contraint plus la solution ?

Sinon l'idée que j'avais était de construire un système d'équation en réalisant plusieurs mesures (Zb) à l'entrée du quadripôle pour différentes valeurs de Za connectées en sortie.
Ainsi on aurait le système d'équation suivant à résoudre :

Code :

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5
 
0=−𝑥²+𝑦²+𝑦(𝑎1−𝑏1)−𝑎1.𝑏1
0=−𝑥²+𝑦²+𝑦(𝑎2−𝑏2)−𝑎2.𝑏2
...
0=−𝑥²+𝑦²+𝑦(𝑎n−𝑏n)−𝑎n.𝑏n

Est ce que cette approche serait un moyen de s'en sortir?

Sébastien.

[wiwaxia]

Ton second message appelle deux remarques:

1°) Il eût été pertinent d'indiquer avec exactitude la nature du problème, parce que l'expression "équation quadratique"

J'aurai besoin de votre aide pour m'aider à poser un problème de résolution d'une équation quadratique.

Voici le problème à résoudre. Soit l'équation : 0 = -x² + y² + y(a - b) - a.b
On cherche le couple de valeur x et y pour le couple connue de valeur a et b ...

renvoie hors de toute précision à un polynôme du second degré à coefficients réels:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_quadratique
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_quadratique
https://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_quadratique

... alors que l'équation étudiée met en jeu des variables et des paramètres complexes:

... Voici plus d'information sur le problème initial:
Je cherche à calculer l'impédance d'un quadripôle en connaissant l'impédance connectée à sa sortie (la valeur "a" = Za) et la mesure de l'impédance à son entrée (la valeur "b" = Zb).
... / ...
On décrivant le quadripôle ... / ... on peut mettre cela en équation:

0=−𝑍₂₁²+𝑍₁₁²+𝑍₁₁∙(𝑍a−𝑍b)−𝑍a∙𝑍b
donc de la forme :
0 = -x² + y² = y(a - b) - a.b
Où :
- a et b sont des complexes de module strictement positif (donc |a|+|b| > 0)
- Q est un système symétrique, passif => Z11 = Z22 et Z21 = Z12 (complexes eux aussi) ...

Il va de soi que cette modification invalide la fin de la résolution initialement proposée; néanmoins elle ne remet pas en cause la transformation de l'équation initiale, que l'on peut toujours écrire:

x² = (y + (a - b)/2)² - (a + b)²/4 ,

soit encore:

x² = (y + (a - b)/2) + (a + b)/2][(y + (a - b)/2) - (a + b)/2] = (y + a)(y - b)

sans que l'on puisse prévoir, à ce stade, quelle est l'expression la plus avantageuse.

2°) Tu achoppes sur une erreur de méthode déjà clairement pointée par Flodelarab:

... Voici le problème à résoudre. Soit l'équation : 0 = -x² + y² + y(a - b) - a.b
On cherche le couple de valeur x et y pour le couple connu de valeurs a et b ...

La détermination des valeurs des deux inconnues (x, y) exige de partir de deux équations indépendantes; or tu n'en utilises qu'une seule, d'où la persistance d'un degré de liberté, et l'existence d'une infinité de solutions.
Une autre équation régissant le comportement du système est nécessaire.
Les contraintes citées

- a et b sont des complexes de module strictement positif (donc |a|+|b| > 0)
- Q est un système symétrique, passif => Z11 = Z22 et Z21 = Z12 (complexe eux aussi)
Est ce que cela contraint plus la solution ?

liées à la définition des objets mathématiques, n'apporteront rien.

# À l'opposé, envisager une série d'équations correspondant à différentes valeurs des paramètres

0 = -x² + y² + y(a_k - b_k) - a_k.b_k

conduit à un système surdéterminé, dont l'exploitation statistique n'a rien d'évident.
On obtient dans ce cas une expression immédiate de (y), puisque

x² - y² = y(a_k - b_k) - a_k.b_k = y(a_k' - b_k') - a_k'.b_k' ,

d'où: y = (a_k.b_k - a_k'.b_k')/(a_k - b_k - a_k' + b_k') .