Discussion :

[MATHS ieu]

Bonjour!

J'ai une equation différentielle du second ordre à résoudre: 𝑑²𝜃 = −α𝑑𝜃 − 𝑀𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑃𝑠𝑖𝑛(𝜃 − τ)
Comme on nous demande d'utiliser la methode d'euler explicite, je me suis ramené à une equa diff du premier ordre grâce à une forme de Cauchy. Mon probleme est le suivant:l'equation comportant une dérivée première, je ne sais pas comment l'exprimer! Voici un bout de mon code

Code Python :

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
alpha = 0.5
M = 2
P = 1
tau = 10
tf, ti, N = 0, 80, 1000
pas = (tf-ti)/(N-1)
temps = np.linspace(tf, ti, N)
y = np.zeros(1000, dtype = float)   
dy = np.zeros(1000, dtype = float)
y[0] = 0
dy[0] = 1
 
 
 
def pente(y, dy):
 
    D = -alpha*dy -M*np.sin(y) -P*np.sin(y-tau)
    return D
 
 
for k in range (1,N):
    dy[k] = ???????????????????????????????????????
    y[k] = y[k-1] + pas*pente(y[k-1], dy[k-1])
 
 
plt.plot(temps, y)
plt.show
 
# equation a resoudre: d²y = -aplha*dy -Msin(y) - Psin(y-tau)

comme vous pouvez le voir, je ne sais pas quoi mettre pour dy .... Quelqu'un aurait il une idée?

Merci d'avance
Mathieu

[dourouc05]

La méthode générale est d'écrire ton équation du second ordre en deux équations du premier ordre. Ensuite, tu réécris ces deux équations sous la forme "opérateur différentiel dy[1, 2] = un truc en fonction de y[1, 2]", c'est ce que tu implémentes au niveau de dy.

[MATHS ieu]

Bonjour et merci pour ta réponse

Pour mon equation, je me suis bien ramené à deux équations en faisant "un astucieux changement de variable" comme précisé dans mon exercice. Je joins en photo ce que j'ai fait, c'est plus facile et plus lisible que si j'avais écrit à l'ordinateur. Je pense que c'est bien ce que tu m'as dis de faire Dourouc, mais je ne vois/ comprends toujours pas quoi faire pour mon dy










Merci d'avance
Mathieu

[MATHS ieu]

Bon après plusieurs essais, j'ai réussi à sortir quelque chose qui "semble" convenir (je dis bien semble parce que je ne sais pas ce que je dois obtenir à la fin)

Code Python :

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
alpha = 0.02
M = 2
P = 2.5
tau = 10
tf, ti, N = 0, 80, 1000
pas = (tf-ti)/(N-1)
temps = np.linspace(tf, ti, N)
y = np.zeros(N, dtype = float)   
dy = np.zeros(N, dtype = float)
y[0] = 0
dy[0] = 1
 
 
 
def pente(y, dy):
 
    D = -alpha*dy -M*np.sin(y) -P*np.sin(y-tau)
    return D
 
 
for k in range (1,N):
    y[k] = y[k-1] + pas*dy[k-1]
    dy[k] = dy[k-1] + pas*pente(y[k-1], dy[k-1])    
 
plt.plot(temps, dy)
plt.show
 
# equation a resoudre: d²y = -aplha*dy -Msin(y) - Psin(y-tau)

Si jamais quelqu'un passe par là, est ce qu'il pourrait me confirmer que mon code est bon?

Merci d'avance
Mathieu

[dourouc05]

y et dy sont censés être des vecteurs à deux composantes, tu n'en mets qu'une seule. Tu devrais plutôt avoir une partie de code comme ceci (avec un mix de listes et de NumPy, ça ne fonctionnera donc sûrement pas en l'état) :

Code python :

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def ode_f(y): 
  dy[0] = bidule
  dy[1] = y[0]
  return dy
 
y[0], y[1] = conditions initiales
 
for t in range (1, T):
  y[:, t] = y[:, t - 1] + step * ode_f(y[:, t - 1])

Ou alors j'ai mal compris ton code et y y correspond à autre chose que le y de ton document manuscrit.

[wiwaxia]

Bonjour ,

L'écriture de l'équation différentielle amène un réel problème de compréhension: convention admise de notation ou difficultés typographiques ?

Trois notations différentes pour l'opérateur dérivation, cela commence à faire beaucoup ...

D'autre part, la variable dont dépendent toutes les grandeurs n'est-elle pas le temps - tout simplement noté (t) ?
Il semble que cette équation différentielle régisse le mouvement de rotation autour d'un axe horizontal d'un pendule
# pesant (− 𝑀𝑠𝑖𝑛𝜃)
# amorti (−α𝑑𝜃)
# et de plus sollicité par une force constante (𝑃𝑠𝑖𝑛(𝜃 − τ)) décalée en direction d'un angle (τ) par rapport à la verticale: il s'agit par conséquent d'un terme de valeur fixe, et non de la variable temporelle.
L'équation manuscrite, telle qu'elle est écrite, est incompréhensible et fondamentalement fausse parce que non homogène:

(τ) représente un temps dans (d²θ/dτ²)
et un angle dans 𝑃𝑠𝑖𝑛(𝜃 − τ) .

L'équation différentielle devrait s'écrire (désolé pour la typographie):

(𝑑²𝜃/𝑑t²) = −α(𝑑𝜃/𝑑t) − 𝑀𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑃𝑠𝑖𝑛(𝜃 − τ) ;

on y verrait alors plus clair.

[wiwaxia]

Autre interprétation: l'équation étudiée s'écrit peut-être dans sa forme initiale:

(𝑑²𝜃/𝑑t²) = −α'(𝑑𝜃/𝑑t) − 𝑀'𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑃'𝑠𝑖𝑛(𝜃 − ωt) ,

le dernier terme correspondant alors au couple produit par un champ magnétique tournant à la vitesse angulaire (ω); il s'agit alors d'un mouvement intéressant mais complexe, justifiant le recours à la méthode d'approximation en cause.

Poser ω = 1 rad/s revient à prendre une nouvelle unité de temps - la période (T = 2Π) du champ tournant - et à introduire un "temps réduit"

τ = ωt = 2Π.(t/T)

homogène à un angle, ce qui conduit à l'équation réduite (𝑑²𝜃/𝑑τ²) = −α(𝑑𝜃/𝑑τ) − 𝑀𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑃𝑠𝑖𝑛(𝜃 − τ)
au prix de l'introduction de quelques facteurs de conversion.

# Un exemple approchant est donné ici.

[wiwaxia]

En posant: z = α.θ + θ'
il vient: z' = α.θ' + θ" = α.θ' - (α.θ' + M.Sin(θ) + P.Sin(θ - t)) = -M.Sin(θ) - P.Sin(θ - t)

ce qui peut se traduire par les relations de récurrence:

z_k = α.θ_k + (θ_k+1 - θ_k-1)/(2h) ,
z_k+1 - z_k-1 = - 2h.(M.Sin(θ_k) + P.Sin(θ_k - k.h) ,

conduisant à

z_k+1 = z_k-1 - 2h.(M.Sin(θ_k) + P.Sin(θ_k - k.h)) ,
θ_k+1 = θ_k-1 + 2h.(z_k - α.θ_k) .

Il y a d'autres options, donnant des résultats plus simples, mais plus approximatifs.

Calculs à vérifier.