Discussion :

[[Hugo]]

Merci à nouveau, wiwaxia et tbc92, pour vos messages !!

J'ai été très occupé ces derniers jours, d'où mon délai de réaction...

wiwaxia : votre pise me plaît énormément ! La seule chose qui mériterait peut-être d'être nuancée est le facteur d'échelle : ce sera intéressant de voir si certains indices de perfection permettent de s'en affranchir ou non (a priori, oui, à mon avis, tels que la longueur de la plus grande arête ou la somme des carrés des longueurs des arêtes). Bon, il va falloir que je commence à implémenter un peu de mon côté pour voir tout ça...

Je note tout cela résolu pour le moment.

[[Hugo]]

Juste pour éclaircir, je réponds à vos questions - en retard, désolé !

Nous travaillons sur des agrégats de 1 000 000 de sphères dures de rayon r=1, que nous caractérisons par leur téssellation de Delaunay : les centres des sphères sont reliés, de façon à former des tétraèdres qui ne s'interpénètrent pas. Dans ces conditions, l'arête la plus petite a une longueur l = 2r = 2. Mais les tétraèdres peuvent être plus ou moins distordus suivant la position relative des sphères (milieu désordonné oblige) et donc une ou plusieurs de leurs arêtes de longueur supérieure à 2. À chacun des (environs) 6 000 000 de tétraèdres par agrégat on associe un indice de distortion.

Merci pour vos pistes de critères de distortion : je suis en train de faire ma biblio là-dessus, il existe toute une littérature par les gens des maillages sur le sujet, que je découvre à petites gorgées...

Je cite le début :

J'ai beau relire la suite, je suis perdu.

J'ai noté 5 mots ou expressions qui ne sont pas clairs :
(a) : un tétraedre d'arête 2 : Ca veut dire que les longueurs des arêtes sont égales à 2 ... ou environ à 2, c'est ça ?
(b) : Une sphère de rayon 1 correspondrait donc à la somme de 6 tétraèdres d'arête 2 ? Tu as un schéma pour ça ( pour le fun, pas sûr que ce soit nécessaire pour la compréhension globale de la demande). Sans faire le calcul, j'ai l'impression que 6 tetraèdres d'arête 2, ça fait un volume nettement plus élevé qu'une sphère de rayon 1.
(c) : compacité ... C'est quoi la compacité dans ce contexte, est-ce utile pour la compréhension générale du besoin ?
(d) : VISUALISER l'évolution . Là je pense qu'on entre dans le besoin lui-même. Le mot évolution ne me plait pas trop... mais je pense saisir. Je parlerais de corrélation plutôt que d'évolution.
(e) : indices de perfection. C'est quoi, ça vient d'où, est-ce utile ? Probablement oui.

Je reformule avec mes mots, dis-nous si je me plante complètement, ou pas.
1. Un agrégat est un ensemble de plusieurs millions de tétraèdres . (Je fais l'impasse sur les sphères, chaque tétraèdre appartient à un agrégat, c'est ce qui nous intéresse) .
2. On a une centaine d'agrégats.
3. Pour chaque agrégat , on a une note synthétique : indice de perfection. C'est un nombre (voire plusieurs nombres)
4. On cherche à voir s'il y a une corrélation entre la forme des tétraèdres et l'indice de perfection de l'agrégat.
C'est à dire par exemple :
- quand tous les tétraedres d'un agregat ont le même volume total (peu importe si le tétraedre est régulier, ou au contraire très plat) , alors ca donne un agrégat avec un bon indice de perfection.
- ou au contraire : c'est quand les tétraedres ont tous la même forme générale, peu importe la taille, qu'on obtient un agrégat avec un bon indice de perfection.
- ou encore : c'est quand tous les tétraèdres sont quasiment réguliers (les 6 arètes ont quasiment la même longueur) qu'on obtient un bon indice de perfection.
- ou encore, les agrégats qui ont le meilleur indice de perfection sont ceux qui ont un tiers de gros tétraèdres réguliers, un tiers de tétraèdres plutôt pointus et petits, et un tiers de tétraèdres plutôt plats.
- ou encore, plein d'autres options possibles.

Et donc pour l'instant, le besoin est de caractériser les tétraèdres
- un tétraèdre peut être parfaitement régulier (les 6 arètes ont toutes la même longueur) ... et on peut définir une note de régularité (longueur de la plus petite arête sur la plus grande ?)
- un tétraèdre peut être de type pointu : on a la surface de chaque face du tétraêtre, on a le volume du tétraêtre, on garde la face la plus petite, et on calcule le ratio Volume/surface de la face la plus petite. Plus ce ratio est élevé, plus le tétraèdre est pointu.
- un tétraèdre peut être plat : surface de la face la plus grande, on calcule le ratio Volume / surface de la face la plus grande, et plus ce ratio est petit, plus le tétraèdre est pointu.
- un tétraèdre peut être plus ou moins gauche : mesure de chiralité, à définir ...

Edit : le ratio volume /Surface de la face la plus grande n'est pas adapté, il faut faire Volume au carré / surface de la face la plus grande au cube.
Et idem pour le critère 'Pointu'.

[wiwaxia]

J'avais un peu regardé ce que pouvait donner sur le papier l'expansion de l'un des tétraèdres (les barycentres demeurant confondus): il existe un rapport d'homothétie pour lequel la somme des carrés des 4 distances est minimale, mais le seuil repéré dépend de l'orientation mutuelle des 2 solides.

Je crois qu'il faudrait régler au préalable le problème des rotations, nettement plus ardu.

Simple conjecture: la comparaison en facteur d'échelle met en jeu la somme
S_G = GA² + GB² + GC² + GD² .

... Et donc pour l'instant, le besoin est de caractériser les tétraèdres
- un tétraèdre peut être parfaitement régulier (les 6 arètes ont toutes la même longueur) ... et on peut définir une note de régularité (longueur de la plus petite arête sur la plus grande ?)
- un tétraèdre peut être de type pointu : on a la surface de chaque face du tétraêtre, on a le volume du tétraêtre, on garde la face la plus petite, et on calcule le ratio Volume/surface de la face la plus petite. Plus ce ratio est élevé, plus le tétraèdre est pointu.
- un tétraèdre peut être plat : surface de la face la plus grande, on calcule le ratio Volume / surface de la face la plus grande, et plus ce ratio est petit, plus le tétraèdre est pointu.
- un tétraèdre peut être plus ou moins gauche : mesure de chiralité, à définir ...

Une classification de la longueur des arêtes conduit à d'autres cas: en notant L_max celle de la plus grande, on peut trouver:
# 1 arête de longueur << L_max: il y a alors deux faces quasiment confondues, d'aire >> celles des deux autres;
# 2 arêtes de longueur << L_max, à sommets obligatoirement non communs: la forme du solide est celle d'un "biseau" très allongé;
# 3 arêtes de longueur << L_max, constituant un triangle: on retrouve le solide pointu déjà mentionné.

La distance servant de seuil pour la figure considérée est (à un facteur près) la racine cubique du volume (V^1/3).