Discussion :

[SimDbs]

Bonjour,

Je fais face à un petit problème sur des rotations de repères et de vecteurs :

J’ai en entrée un assemblage A contenant des pièces Pi (les Pi n'ont pas de mouvement relatif par rapport à A).
J'ai accès à la matrice d'orientation et à l'origine de A à l'instant t=0. De même pour les Pi.
J'ai également accès à la matrice d'orientation et à l'origine de A au cours du temps.

Mon objectif est de trouver la position et l'orientation de chaque Pi à un instant t.

Donc, pour une Pi, à un instant t on a les données suivantes :

MA₀ la matrice d'orientation de A à t=0
PA₀ l'origine de A à t=0

MA_t la matrice d'orientation de A à t
PA_t l'origine de A à t

MPi₀ la matrice d'orientation de Pi à t=0
PPi₀ l'origine de Pi à t=0

Je cherche donc MPi_t, la matrice d'orientation de Pi à t, et PPi_t, l'origine de Pi à t.

La méthodologie que j'applique :

Je calcule la matrice de rotation de MA₀ à MA_t telle que M_Rot = MA_t * MA₀^-1 MA₀ * MA_t^-1
Je calcule la matrice d'orientation de Pi à t telle que MPi_t = M_Rot * MPi₀
(Basé sur https://jeux.developpez.com/faq/math...formations#Q40)

Je calcule le vecteur entre PA₀ et PPi₀ tel que V = PA₀PPi₀
J'applique la rotation de A au vecteur : V_Rot = M_Rot * V
Je calcule PPi_t = V_Rot + PA_t

J'ai donc MPi_t et PPi_t.

A t=0 je retrouve bien les coordonnées initiales (rien d'anormal vu que M_Rot est la matrice identité), mais dès que je prends t<>0 je trouve des résultats incohérents.

J'ai beau chercher, je ne trouve pas où est mon erreur.

Si une âme charitable est en mesure d'éclairer ma lanterne !

Merci,

[wiwaxia]

Bonjour,

Je crois qu'une interversion de notation s'est glissée dans ce que tu donnes:

... Je calcule la matrice de rotation de MA₀ à MA_t telle que M_Rot = MA₀ * MA_t^-1
Je calcule la matrice d'orientation de Pi à t telle que MPi_t = M_Rot * MPi₀
(Basé sur https://jeux.developpez.com/faq/math...formations#Q40)

Je calcule le vecteur entre PA₀ et PPi₀ tel que V = PA₀PPi₀
J'applique la rotation de A au vecteur : V_Rot = M_Rot * V
Je calcule PPi_t = V_Rot + PA_t

J'ai donc MPi_t et PPi_t ...

Si l'on se reporte au lien cité, concernant les matrices de conversion, on trouve le passage ci-dessous:

qui suggère la relation: M_Rot = MA_t * MA₀^-1 .

D'autre part tu as incontestablement soigné la notation; cependant la distinction entre vecteurs et matrices est insuffisante, et certains résultats sont illisibles pour le non-initié (on les devine seulement, avec quelque incertitude ...):

... Je calcule le vecteur entre PA₀ et PPi₀ tel que V = PA₀PPi₀

J'applique la rotation de A au vecteur : V_Rot = M_Rot * V ...

Quelle est au fait la dimension des matrices carrées ? 3 ou 4 ?

[SimDbs]

Bonjour,

Je crois qu'une interversion de notation s'est glissée dans ce que tu donnes:

Si l'on se reporte au lien cité, concernant les matrices de conversion, on trouve le passage ci-dessous:

qui suggère la relation: M_Rot = MA_t * MA₀^-1 .

En effet, malheureusement je n'ai pas fais cette erreur dans le programme. Seulement dans le poste .

D'autre part tu as incontestablement soigné la notation; cependant la distinction entre vecteurs et matrices est insuffisante, et certains résultats sont illisibles pour le non-initié (on les devine seulement, avec quelque incertitude ...):

Les deux seuls vecteurs sont V, le vecteur liant l'origine de Pi à l'origine de A, et V_Rot, ce même vecteur transformé par M_Rot.

Quelle est au fait la dimension des matrices carrées ? 3 ou 4 ?

Les matrices sont toutes de dimension 3.

[wiwaxia]

Tout le monde se défile , alors reprenons l'essentiel:

... J’ai en entrée un assemblage A contenant des pièces Pi (les Pi n'ont pas de mouvement relatif par rapport à A).
J'ai accès à la matrice d'orientation et à l'origine de A à l'instant t=0. De même pour les Pi.
J'ai également accès à la matrice d'orientation et à l'origine de A au cours du temps.

Mon objectif est de trouver la position et l'orientation de chaque Pi à un instant t ...

Le système de points matériels (A) constitue donc un solide dont la rotation des diverses parties (qui tournent ensemble du même mouvement) est représentée par une matrice unique (M_rot).

À ce système, on peut donc associer un repère orthonormé (O_AXYZ) mobile dans le repère absolu du lieu (Oxyz), dans lequel tous les points de (A) gardent des positions fixes et dont l'origine (O_A) appartient à l'axe de rotation instantanée.

Le mouvement de chacun des points (P) résulte donc de l'entraînement produit par le système:
a) dans le mouvement de translation de l'origine: T = (O_A0O_A) , et
b) dans le mouvement de rotation qui se superpose au précédent et s'exprime par le produit: (O_AP) = M_rot.(O_A0P₀) .^(*)
La matrice (M_rot) est orthogonale, et ne modifie pas les longueurs: AP = A₀P₀ .
Il vient par conséquent pour la position du point (P) dans le repère absolu lié au laboratoire:

(OP) = (OO_A0) + (O_A0O_A) + (O_AP) = (OO_A0) + T + M_rot.(O_A0P₀) , soit encore:

(OP) = (OO_A0) + T + M_rot.V_P si l'on convient de poser: V_P = O_A0P₀ (position relative invariable du point (P) dans le solide (A)).

^{(*) Produits matriciels corrigés.}

[SimDbs]

Merci wiwixia,

(OP) = (OO_A0) + T + V_P.M_rot si l'on convient de poser: V_P = O_A0P₀

(position relative invariable du point (P) dans le solide (A)).

T = (O_A0O_A)

Donc (OP) = (OO_A0) + (O_A0O_A) + V_P.M_rot
Soit (OP) = (OO_A)+ V_P.M_rot

Avec (OO_A) la position du point O_A après translation dans le repère (Oxyz). Jusqu'ici je te suis.

Par contre si on reprend :



(O_AP) étant notre vecteur final et (O_A0P₀) notre vecteur d'origine.
Pourquoi (O_AP) = (O_A0P₀).M_rot et non pas (O_AP) = M_rot.(O_A0P₀) ?

A priori c'est de là que vient mon erreur.

[wiwaxia]

... Pourquoi (O_AP) = (O_A0P₀).M_rot et non pas (O_AP) = M_rot.(O_A0P₀) ? ...

Il y a eu effectivement une interversion: j'étais empêtré dans la typographie.

L'expression correcte est celle que tu as rectifiée: (O_AP) = M_rot.(O_A0P₀)