solution approchée pour une équation non linéaire

**nadineUR** · 12/05/2008, 17h51

Bonjour à toute et à tous

voila le le souçi que j'ai.
on a la fonction f(x,z) = a0 +2*a1*x +(3/2)*a2*x2 + a3*z+2*a4*x*z + (3/2)*a5*z*x2
tel que a0, a1,a2, a3, a4, a5 sont les coefficient/paramétre de la fonction
x, z deux variables.

on connait les couple (xi, zi) à partir des données experimentales. le but est de determiner/evaluer les parametres ai.

d'aprés les articles que j'ai consulté, ceçi se fait par la methode des moindre carré. Mais un probléme se presente. avant de pouvoir applique la methode des moindres carré, il faut conditioner la matrice ai.

mon probléme est comment pouvoir ecrire f(xi,zi) sous forme d'un produit d'une matrice contenant les parametres ai et d'un vecteur de composition (x,z).
Est ce qu'il y a une methode décrite qq part. Aidez moi SVP
Merçi d'avance

**benDelphic** · 12/05/2008, 19h46

a premiere vu je dit que c'est une forme quadratique XQX .. avec X est le vecteur colonne (x,z) en d autres termes (x,z)Q(x,z)t (t pour dire transposée)
Q est une matrice de coefficients...
puis il faut faire une identification....

**pseudocode** · 12/05/2008, 19h54

solution approché pour une équation non linéaire

on a la fonction f(x,z) = a0 +2*a1*x +(3/2)*a2*x2 + a3*z+2*a4*x*z + (3/2)*a5*z*x2
tel que a0, a1,a2, a3, a4, a5 sont les coefficient/paramétre de la fonction
x, z deux variables.

c'est quoi qui n'est pas linéaire ?

**benDelphic** · 12/05/2008, 19h59

Pseudocode c 'est pas linéaire t as des termes en X²

**pseudocode** · 12/05/2008, 20h00

Envoyé par benDelphic

Pseudocode c 'est pas linéaire t as des termes en X²

C'est les termes a0, a1,a2, a3, a4, a5 qu'il cherche à évaluer.

**Alp** · 12/05/2008, 20h04

Envoyé par pseudocode

C'est les termes a0, a1,a2, a3, a4, a5 qu'il cherche à évaluer.

En effet, enfin c'est ce que j'ai compris aussi. Ca n'aurait pas été linéaire s'il cherchait des couples (x,z) vérifiant certaines propriétés.

**benDelphic** · 12/05/2008, 20h10

Envoyé par pseudocode

C'est les termes a0, a1,a2, a3, a4, a5 qu'il cherche à évaluer.

oui mais ce sont des coefficients qu'il déterminera plus tard avec les moindres carrés mais les variables c'est bien x et z

**Alp** · 12/05/2008, 20h11

Envoyé par benDelphic

oui mais ce sont des coefficients qu'il déterminera plus tard avec les moindres carrés mais les variables c'est bien x et z

Oui mais il cherche avec des xi et yi donnés les bonnes valeurs des ai, non ?

**pseudocode** · 12/05/2008, 20h14

Envoyé par Alp

Oui mais il cherche avec des xi et zi donnés les bonnes valeurs des ai, non ?

En tout cas, c'est ce qu'il a marqué:

on connait les couple (xi, zi) à partir des données experimentales. le but est de determiner/evaluer les parametres ai.

**Alp** · 12/05/2008, 20h20

Dans ce cas, il n'y a plus rien de quadratique.

nadineUR : tu as les valeurs de la fonction f en les couples (xi,zi) ?
(ce serait trop simple mais on ne sait jamais

)

**benDelphic** · 12/05/2008, 20h28

c'est des valeurs expérimentales donc c'est un nuage de points dans un espace à 3 dimensions . en quelque sorte , on veut trouver la régression de f en x et z d'une façon continue ... pour cela il dispose déja d'une forme de la fonction ( une écriture générale ) il reste à déterminer les coefficient du polynôme c'est tout...

**pseudocode** · 12/05/2008, 20h32

Envoyé par benDelphic

c'est des valeurs expérimentales donc c'est un nuage de points dans un espace à 3 dimensions . en quelque sorte , on veut trouver la régression de f en x et z d'une façon continue ... pour cela il dispose déja d'une forme de la fonction ( une écriture générale ) il reste à déterminer les coefficient du polynôme c'est tout...

Oui, c'est ce qu'on dit depuis le début : c'est un moindre carré linéaire sur les variables ai.

C'est juste que dans le titre il y a marqué "non linéaire", alors on s'interroge...

**benDelphic** · 12/05/2008, 20h34

oui , j'ai compris votre point de vue : la fonction est non linéaire en x et z c 'est tout

**pseudocode** · 12/05/2008, 20h36

Envoyé par benDelphic

oui , j'ai compris votre point de vue : la fonction est non linéaire en x et z c 'est tout

oui, c'est exactement ca.

**benDelphic** · 12/05/2008, 20h39

en fait je m'etait trompé la fonction n'est meme pas quadratique la j'avais vu pas que x² est multiplié par z ??? alors la bon courage

**FR119492** · 13/05/2008, 00h19

Salut à tous!

Pour résumer, on veut déterminer le moins mal possible (au sens des moindres carrés) les 6 coefficients A0 à A5, sur la base de n doublets de mesures (xi,zi), sachant que n>6. Comme la formule est linéaire en les Aj, c'est très simple: chaque doublet nous donne une équation à 6 inconnues. Comme n>6, on a plus d'équations que d'inconnues, la matrice est rectangulaire et le système est surdéterminé.
J'ai écrit un cours sur la résolution des systèmes linéaires et je viens de le mettre sur le site, mais il n'est pas encore "officiellement" annoncé. Vous le trouverez sous ftp://ftp-developpez.com/jmblanc/ ou sous http://jmblanc.ftp-developpez.com.

Jean-Marc Blanc

**souviron34** · 13/05/2008, 00h38

scuz, Jean-Marc, j'ai pas le temps de regarder ton cours pour l'instant

mais N equations a M (M>N) inconnues, c'est pas du Simplex, ca ?

**benDelphic** · 13/05/2008, 01h33

non en fait c est m équations et n inconnus pour le simplexe... on démarre avec une matrice A m*n ( sans compter les variables d'écart déjà) .
la il parle de système surestimé... soit il est vide car les contraintes empêches la réalisabilité ou bien il y a une contrainte plus forte qu'une autre donc redondance .

**FR119492** · 13/05/2008, 09h36

Salut Souviron34!

N equations a M (M>N) inconnues, c'est pas du Simplex, ca ?

Peut-être, mais j'ai obtenu d'excellents résultats avec la méthode des valeurs singulières (SVD) ou, ce qui revient au même, avec la pseudoinverse de Moore-Penrose, et c'est très simple. Avec MatLab, si ton système M*x=v est surdéterminé, tu tapes x=pinv(M)*v et tu as la réponse.
Jean-Marc