Discussion :

[kromartien]

Bonjour, on me demande d'interpoler par un polynôme d'ordre 2, puis d'ordre 3, une fonction passant par sept points du plan donnés. Je connais l'interpolation Lagrangienne, mais le système est surdéterminé, et je dois donc rechercher un minima pour la somme des carrés des erreurs.

Pouvez vous me dire à quoi ressemble l'algorithme ? (Il est possible que ce soit un peu raide comme façon de demander de l'aide)
Je ne sais pas du tout comment commencer pour rechercher le polynôme de moindre erreur.
Merci beaucoup si vous savez m'aider.

[Zavonen]

Prenons le cas du second degré:
la fonction cherchée est du type:
ax^2+bx+c
chacun des 7 points donne un carré d'erreur du type
(au+bv+c-w)^2 où v est l'abscisse du point u son carré et w l'ordonnée du point
la somme des 7 carrés (ou des 12 ou des 15) donne donc un polynôme
homogène de degré 2 en a , b et c qu'il faut minimiser.
Mini des fonctions de 3 variables --> dérivées partielles.

[souviron34]

méthode des moindres carrés....

Minimisation simultanée de l'erreur globale et des erreurs singulières.

[pseudocode]

Bonjour, on me demande d'interpoler par un polynôme d'ordre 2, puis d'ordre 3, une fonction passant par sept points du plan donnés.

Hum... "interpolation polynômiale" n'est sans dout pas le bon terme.

- Soit tu veux faire une "approximation polynômiale"
- Soit tu veux faire une "interpolation polynômiale par morceaux".

[Nemerle]

il parle d'approximation polynomiale!

[souviron34]

voui voui ok autant pour moi... pas beaucoup dormi ce we...

Tout dépend des degrés des polynomes : ça peut être aussi Béziers, splines, linéaires, ...

[FR119492]

Salut !

On me demande d'interpoler par un polynôme d'ordre 2, puis d'ordre 3, une fonction passant par sept points du plan donnés. Je connais l'interpolation Lagrangienne, mais le système est surdéterminé, et je dois donc rechercher un minima pour la somme des carrés des erreurs.

Comme d'autres te l'ont déjà fait remarquer, il n'est généralement pas possible de trouver un polynôme de degré 2 ou 3 dont le graphe passe par 7 points imposés: ou bien c'est plusieurs polynômes qui constituent un spline, ou bien ton graphe ne passe pas par tes points, mais "le plus près possible". Tu dois donc savoir ce que ton client veut vraiment.

D'autre part, est-tu vraiment sûr que ce dont ton client a besoin, c'est une approximation au sens des moindres carrés, et non au sens de Tchebycheff?

Eclaircis ces points et on pourra t'aider.

Jean-Marc Blanc

[kromartien]

Bonjour, je ne suis pas du tout professionnel , seulement étudiant , mais pour ce qui est de la régression polynômiale, je pense bien qu'il s'agit d'un polynôme des moindres carrés que je dois trouver, seulement la méthode reste obscure pour moi.

Comme il s'agit de minimiser l'erreur, il faut déjà que je parte de valeurs pré-déterminée pour les coefficients, que dois-je choisir ?

Les polynômes de Lagrange permettent-ils de déterminer les coefficient an, an-1, ..., a1, a0 individuellement ? Si oui, je n'ai pas trouvé de ressource documentaire sur internet décrivant la méthode pour les obtenir.

Ensuite, j'ai cru comprendre que pour trouver la polynôme qui est la meilleur approximation au sens des moindres carrés, je dois trouver la dérivée partielle de la fonction "somme des moindres carrés" par rapport aux coef du polynôme. Comment calculer cette dérivée, et comment l'annuler pour tous les coefficients ? J'avoue que je suis dans l'expectative totale.

Merci beaucoup encore si vous voulez m'aider.

[Zavonen]

Ensuite, j'ai cru comprendre que pour trouver la polynôme qui est la meilleur approximation au sens des moindres carrés, je dois trouver la dérivée partielle de la fonction "somme des moindres carrés" par rapport aux coef du polynôme. Comment calculer cette dérivée, et comment l'annuler pour tous les coefficients ? J'avoue que je suis dans l'expectative totale.

Une condition nécessaire pour un extremum d'une fonction de plusieurs variables est l'annulation des dérivées partielles.
a,b, et c étant les coefficients de la fonction polynôme la somme des carrés des erreurs est un polynome du second degré en a,b,c.
La dérivée partielle par rapport à la variable a se calcule comme une dérivée d'une seule variable a en considérant b et c comme des constantes. Comme c'est du second degré tu obtiens une équation linéaire en a,b,c.
Idem pour les eux autres d.p. par rapport à b et c.
Résultat des courses :
3 équations 3 inconnues premier degré, à passer à la moulinette pivot de gauss ou équivalent.
Pour le troisième degré tu auras 4 équations à quatre inconnues, etc...
La méthode des moindres carrés donne, par dérivation, des équations linéaires.

[pseudocode]

Les explications sur le site de mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/LeastSq...olynomial.html

Ma version en java dans la rubrique "contribuez":
[java] Moindres carrés pour systèmes lineaires

[j.p.mignot]

j'avais donné du code pascal / C pour ce type de problème
http://www.developpez.net/forums/sho...t=63949&page=2

[souviron34]

j'avais donné du code pascal / C pour ce type

C++ pas C

[j.p.mignot]

C C++...
disons que le "cadre" du soft est en C++ pour des facilités d'interface mais le coeur du calcul est constitué de routines qui respectent pour l'essentiell la norme ANSI C et que j'ai déjà implémentées sur DSP avec des compilateurs de base GNUC

[FR119492]

Salut !

Un aspect déplorable de l'enseignement des mathématiques un peu partout de par le monde: on fait croire aux étudiants que les polynômes sont des fonctions sympathiques, partout continues et indéfiniment dérivables. En réalité, du point de vue du calcul numérique, ce sont les pires "sales bêtes", qu'on doit éviter chaque fois que faire se peut. A titre d'exemple, prends les 6 paires de points

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
4
5
6
(0;0)
(1;0)
(2;0)
(3;0)
(4;0)
(5;1)

Représente le graphe du polynôme du cinquième degré passant par ces 6 points et admire!

En revanche, si tu cherches un polynôme de degré inférieur passant le moins loin possible des points donnés, tu auras un système comportant plus d'équations que d'inconnues, donc une matrice rectangulaire plus haute que large, de la forme M*A=Y, où M est la matrice construite à partir des abscisses x des points donnés, A est le vecteur des coefficients de ton polynôme et Y le vecteur des ordonnées des points. Pour trouver les coefficients optimaux, tu utilises la pseudo-inverse de Moore-Penrose, soit, dans MatLab:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

A=pinv(M)*Y

Si tu ne travailles pas dans MatLab et que tu ne dispose pas d'un sous-programme pour calculer la pseudo-inverse, tu peux aussi passer par les valeurs singulières.

Bonne chance!
Jean-Marc Blanc