Discussion :

[ArkaFlo]

Bonjour à tous,
Je viens vers vous pour vous demander de l'aide afin de réaliser un algorithme de calcul du champ de température dans une pièce en Matlab.
Pour commencer, je voudrais faire ca pour un simple rectangle. Vous trouverez des images expliquant les détails au fur et à mesure en spoiler.

Je n'ai aucun probleme à créer un maillage de la piece: il suffit de créer une matrice de nXn...
Ni à imposer la condition de la température sur la face à 800K puisqu'il suffit de poser les points de la premiere colonne à 800K.


Ce qui me pose probleme c'est d'imposer les conditions aux autres cotés puisqu'ils répondent à de la convection et non la conduction. Donc la température peut varier mais pas n'importe comment puisqu'elle suivra la fonction de convection. Enfin pour cela je pense etre sur une piste.

Mon gros probleme se situe dans l'algorithme de calcul des autres points qui intervient par la suite. Comment implémenter les formules que j'ai dans mes images en dessous? Mais surtout comment ne travailler que sur une partie de la matrice puisque je ne dois pas faire varier les points aux limites?

Merci d'avance pour votre aide!

[Flodelarab]

Bonjour

Il me semble que tu peux faire une récurrence pour calculer un point T_i,j non pas en fonction de ses voisins, mais en fonction des extrémités et de ses coordonnées. N'est-ce pas ?
Essaie avec une maille de 3 sur 3 dont seule le centre est inconnu.

[wiwaxia]

Bonjour,

C'est un problème intéressant par les solutions graphiques auxquelles il conduit, et l'ébauche de calcul est donnée avec suffisamment de clarté pour qu'on puisse y répondre, malgré les ambigüités de l'énoncé.

L'erreur de fond est la suivante: exprimer la température locale T(x, y) en fonction de celles observées au même instant en des points voisins, par une combinaison linéaire déduite des équations de la chaleur - qu'il s'agisse des cellules en contact avec la paroi (doc 2) ou de celles situées à l'intérieur de la chambre (doc 3) - revient à annuler tout bilan thermique, donc à envisager d'emblée l'état stationnaire du système (T indépendante du temps) théoriquement atteint au bout d'un temps infini.
Le résultat est évidemment faux et inexploitable, puisque la solution cherchée n'est pas linéaire, et que l'on part de relations approchées.
Le procédé d'itération est en quelque sorte court-circuité faute de ce qu'aucune distinction n'a été faite entre la température locale actuelle ( T(x, y, t) = T_ij ) et sa nouvelle valeur à une date immédiatement ultérieure ( T(x, y, t+DeltaT) = T'_ij ). - oui, je ne maîtrise pas encore Latex.
Il faut envisager 3 matrices rectangulaires de dimensions (n, 4n):
1) la matrice A = [ T_ij ] des températures locales à une date donnée;
2) la matrice B = [ D_ij ] des variations de température au niveau de chaque cellule (i, j) sur un petit intervalle de temps (DeltaT); ces valeurs approchées découlent:
a) de l'équation de Fourier applicable aux cellules internes (1<i<n et j<4n),
b) des conditions imposées au limites du système, dans le cas des cellules au contact des parois (i=1 ou i=n ou j=4n);
3) la matrice C = [ T'_ij ] des nouvelles valeurs de la température locale à l'instant suivant t' = t + DeltaT soit:
[ T'_ij ] = [ T_ij ] + [ D_ij ] ; on a bien sûr C = A + B , que l'on réinjecte dans ( A ) pour passer à l'itération suivante; on peut d'ailleurs se passer de cette dernière variable par un calcul direct des éléments de A .

Il y a sur ce sujet une bonne documentation disponible sur la Toile:

http://www.phys.ens.fr/~hare/MP025/cours5edp.pdf
http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/CO...eqchal_num.pdf
http://d.p.manceau.free.fr/RPEDP/RPEDP.pdf
http://lolobrin.perso.sfr.fr/Fourier.htm