Discussion :

[TresNulDev]

Bonjour la communauté!
Hormis la translation, le scaling, la rotation, le shearing (le plus souvent dans le plan), et leurs composées éventuelles, savez-vous s'il existe d'autres transformations du plan ou de l'espace? Si oui, pouvez-vous m'en donner une notation matricielle s'il-vous-plaît?

[nouknouk]

Je suis loin d'être un expert en matrices, mais il me semble que les transformations que tu cites sont les plus 'connues' car elles forment la base des transformations utilisés en rendu 2D et 3D, et surtout pzrce qu'elle sont applicables dans une matrice homogène.

Il me semble qu'une autre transformation - qui n'est pour le coup plus homogène - est la projection (typiquement pour projeter les coordonnées 3D d'un objet d'une scène en coordonnées 2D pour le rendu à l'écran).

[Kromagg]

Bonjour,

Il y a aussi la réflexion il me semble. Et puis quelques détails supplémentaires :
- rotation autour d'un axe arbitraire avec un angle donné
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice...xe_de_rotation
- scale dans une direction arbitraire

Code :

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|1 + (k - 1) * nx²     (k - 1) * nx * ny     (k - 1) * nx * nz|
|(k - 1) * nx * ny     1 +(k  -1) * ny²      (k - 1) * ny * nz|
|(k - 1)  *nx * nz     (k - 1) * ny * nz     1 + (k - 1) * nz²|

avec k le facteur de scale, et n le vecteur unitaire représentant la direction dans laquelle tu veux effectuer le scale.

- projection orthographique sur un axe ou un plan cardinal,

- projection orthographique sur un axe ou un plan arbitraire.

Code :

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|1 - nx²     -nx * ny     -nx * nz|
|-nx * ny   1 - ny²       -ny * nz|
|-nx * nz   -ny * nz       1 - nz²|

Avec n le vecteur unitaire perpendiculaire à la line ou au plan de projection.

Voilà ce sont les seul que je connaisse

Kromagg

[TresNulDev]

Merci pour vos infos, surtout Kromagg. Au fait, auriez-vous la matrice d'une réflexion s'il-vous-plaît? C'est une transformation dans le plan (symétrie axiale?) ou dans l'espace (symétrie planaire?)?

[razmott]

Bonjour,

Une réflexion se fait par rapport à un hyper plan. Donc dans l'espace, ce sera une symétrie planaire. Il s'agit simplement d'une mise à l'échelle de facteur -1, dans la direction que tu souhaites (qui sera la normale du plan de réflexion)

Note qu'il te faudra jouer avec des translations si tu ne veux pas que le plan passe par l'origine.

On peut donc calculer une matrice de réflexion par rapport au plan d'équation ax+by+cz+d=0 :

Code :

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| 1-2a²   -2ab   -2ac  2ad(a²+b²+c²)+1 |
|  -2ab  1-2b²   -2bc  2bd(a²+b²+c²)+1 |
|  -2ac   -2bc  1-2c²  2cd(a²+b²+c²)+1 |
|    0     0      0           1        |

Sauf erreur de ma part...

[EDIT] oups !!! Le calcul de la dernière colonne est totalement erroné. Voici la version corrigée :

Code :

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| 1-2a²   -2ab   -2ac  2ad(a²+ab+ac) |
|  -2ab  1-2b²   -2bc  2bd(ab+b²+bc) |
|  -2ac   -2bc  1-2c²  2cd(ac+bc+c²) |
|    0     0      0           1      |

Cette fois, je l'ai verifiée.

Et pour répondre à la question de départ : toutes les similitudes (c'est-à-dire les composées d'isométries et d'homothéties) sont des composées de rotation, translation et changement d'échelle. C'est pour cela qu'en général on ne cite que celles-ci.

[TresNulDev]

Merci razmott pour cette matrice de réflexion. Auriez-vous un lien vers un site qui expliquerait le calcul en détail de cette matrice s'il-vous-plaît? Parce que j'ai fait un peu de géométrie dans l'espace à la fac mais :
1) J'étais une brêle!
2) J'ai tout oublié.
3) Il ne me semble pas qu'on nous enseignait les écritures matricielles des transformations...
Merci.

[razmott]

Bonjour,

Désolé non, je n'ai pas de lien.

Je peux cependant expliquer :
Comme je l'ai dit, il s'agit d'une mise à l'échelle de facteur -1. La matrice correspondante a donc été donnée par Kromagg.

Cependant il s'agit d'une matrice 3x3 qui représente donc une application linéaire. Ici, on veut représenter une transformation affine. On utilise donc des coordonnées homogènes et une matrice 4x4.

La matrice est donc complété par une colonne et une ligne de 0 sauf pour la dernière case qui prend la valeur 1. On obtient à ce stade :

Code :

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| 1-2a²   -2ab   -2ac  0 |
|  -2ab  1-2b²   -2bc  0 |
|  -2ac   -2bc  1-2c²  0 |
|    0     0      0    1 |

qui représente une réfléxion par rapport au plan d'équation ax+by+cz = 0. Ce plan passe par l'origine.

On peut obtenir une réflexion par rapprt à n'importe quel plan en composant par deux translations de vecteurs respectifs (ad,bd,cd) et (-ad,-bd-cd) dont les matrices sont connues, notons les T et T-1, avec l'équation du plan : ax+by+cz+d=0

On a, par exemple, T =

Code :

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| 1 0 0 ad |
| 0 1 0 bd |
| 0 0 1 cd |
| 0 0 0 1  |

Avec M la matrice de mise à l'échelle, on a la matrice finale : T-1*M*T.

J'espère que c'est clair.

Note : pour obtenir la matrice M, il faut faire un peu d'algèbre linéaire.
Note 2 : j'ai oublié mais dans tous les calculs, je suppose que le vecteur (a,b,c) est normé

[HellsBaker]

Bonjour la communauté!
Hormis la translation, le scaling, la rotation, le shearing (le plus souvent dans le plan), et leurs composées éventuelles, savez-vous s'il existe d'autres transformations du plan ou de l'espace? Si oui, pouvez-vous m'en donner une notation matricielle s'il-vous-plaît?

Hola,

L'ensemble des transformations géométriques est résumé ici:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transfo...om%C3%A9trique

Et des explications sur les coordonnées homogènes (notation matricielle):
http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordon...homog%C3%A8nes