Discussion :

[laly94]

Bonjour,


Ma question n'a pas grand chose à voir directement avec des algorithmes, mais si qq1 peut m'eclaire, je l'en remercie par avance.

Pourriez-vous m'expliquer la justification théorique du fait que :

integrale(integrale(f(s)ds, 0, t)dt, 0, T) = integrale(integrale(dt, s, T)f(s)ds, 0, T)

graphiquement, je le comprends bien, mais il doit y avoir un moyen simple de le démontrer, mais le calcul integral est un peu loin pour moi.

Laly.

[Zavonen]

Sauf erreur de ma part cette égalité ne marche pas quand f(s)=s.
Peux tu vérifier ?

[jeffrey_]

Bonsoir
tu peux calculer les deux membres et montrer qu'ils sont égaux

soit g une primitive de f ie g'(x) = f(x)
et h une primitive de g ie h'(x) = g(x)

int( int(f(s)ds,0,t) dt,0,T)
= int ( [g(s),0,t] dt,0,T)
= int ( g(t)-g(0) dt,0,T)
= [h(t),0,T] - g(0)*T
= h(T) - h(0) - g(0)*T

int ( int(dt,s,T) f(s)ds,0,T)
= int( (T-s)*f(s)ds,0,T)
= T*int( f(s)ds,0,T) - int(s*f(s)ds,0,T)
= T*[g(s),0,T] - ( [s*g(s),0,T] - int(g(s)ds,0,T) ) intégration par parties
= T*g(T) - T*g(0) - ( T*g(T) - [h(s),0,T] )
= T*g(T) - T*g(0) - T*g(T) + h(T) - h (0)
= h(T) - h(0) - g(0)*T

cqfd

ps : et ça marche aussi bien avec f(s) = s
ça donne même T^3/6

[Zavonen]

ps : et ça marche aussi bien avec f(s) = s
ça donne même T^3/6

Oui, je confirme je me suis planté dans mon calcul. Merci Jeffrey

[laly94]

Ok ! Merci bcp !

Laly.