Discussion :

[asoka13]

bonjour,
je voudrais savoir comment en connaissant les trois sommets d'un triangle, trouver le centre circonscrit de ce cercle ???
Merci

[Médinoc]

Pour moi, la méthode géométrique est très bien: Calculer les équations de droites de ses médiatrices, puis utiliser ces équations pour calculer les coordonnées du point où elles se coupent...

[ol9245]

Bonjour,

Le thread étant d'un age respectable, je crois que l'exo a été rendu, noté, re-rendu, et se trouve maintenant au fond d'un placard
.
Alors si quelqu'un a la solution toute faite, je suis preneur

Sinon... ben je vais me la palucher

Bonne journée à tous, OL

[snowpy]

On considere les points A(2;0) B(0;2) et C(2;4).

a) determiner l'équation de la mediatrice de AB

b) determiner l'équation de la mediatrice de BC

et pour finir tu resoud l'équation (le centre du cercle se trouvant à l'intersection des médiatrices)

première équation y=-x+2 et la deuxième y=x+2

tu résoud le système et (x,y) te donne les coordonnées du centre
petite addition de 1 par 2 te donne y=2 et tu remplace d'en une des deux pour trouver x soit 0 le centre se trouve donc en (0,2)

[jibe74]

Salut,

Je tombe tout à fait par hasard sur ce topic, et ma curiosité m'ayant poussé à essayer de comprendre, je m'étonne que le sujet ait été marqué "Résolu" !

La Géométrie étant l'art de raisonner sur des figures fausses, je vais adopter une autre technique dont j'ignore le nom, qui consiste à vérifier sur des figures justes. Si on appelle O le centre du cercle calculé par snowpy, dont il donne les coordonnées en (0,2), ceci nous donne cela :

Mille sabords, ce n'est pas ça !!!

Bon, si je regarde de plus près, il y a un truc sur lequel je ne suis pas d'accord : pour moi, la somme des deux équations donne -x+2+x+2=4.

Poursuivons le calcul en remplaçant y par sa valeur :
4=x+2 => x=4-2 => x=2

Ce qui nous donnerait O en (2,4) :

Mille millions de mille sabords de tonnerre de Brest, ce n'est pas ça non plus...

Bon, je ne vais pas plus loin : j'aimerais bien avoir quelques précisions d'un plus matheux que moi (ça doit courir les rues ). En particulier pour m'expliquer pourquoi résoudre le système d'équations de deux droites permet de trouver le point d'intersection de leurs médiatrices, et accessoirement pour m'indiquer comment trouver les bonnes coordonnées avec cet exemple (qui, selon moi, devraient être (2,2)).

A moins bien sûr que j'aie tout faux, mais dans ce cas j'aimerais bien comprendre où est mon erreur...

[Babcool]

Bonjour

Hum, j'ai l'impression que le résultat faux vient des équations des droites, la médiatrice de AB a pour équation x = y (c'est l'identité) et celle de BC y = -x + 4

Quand on cherche l'intersection de 2 droites, on cherche un couple (x,y) qui vérifie les 2 équations. En effet, si c'est le cas, il s'agit des coordonnées d'un point qui appartient aux 2 droites (le fait qu'un couple de valeur x,y vérifie une équation signifie que ce point fait partie de la droite qui correspond à cette équation...).

Donc notre système ressemble a
x = y ET y = 4 - x
<=>
x = y ET x = 4 - x
<=>
x = y ET 2x = 4
Soit x = y = 2

Cool on retombe sur nos pattes...

Le calcul est beaucoup plus simple si on utilise les médiatrices de AB et AC, puisque l'équation de celle de AC est x = 2...

[jibe74]

Salut,

Merci pour ces explications limpides

Effectivement, je n'avais pas pensé à vérifier les équations. C'est vrai que ça va mieux avec les bonnes !

Quant à l'intersection, j'aurais effectivement dû y penser...

[ol9245]

Je vois que ce thread reste actif avec le temps.
Je me permets donc de poster la solution pêchée sur Mathworks.com (en Matlab et en anglais) :

Code :

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function [pos] = center(Pa,Pb,Pc,Type)
% CENTER calculates and shows the orthocenter, circumcenter, barycenter and
% incenter of a triangle, given their vertexs coordinates Pa, Pb and Pc
%
% Example: center([0 0.5 0], [1 0 0], [1 1 3], 'orthocenter')
%
% Made by: Ing. Gustavo Morales, University of Carabobo, Venezuela.
% 09/14/09
%
Pa = Pa(:); Pb = Pb(:); Pc = Pc(:); % Converting to column vectors (if needed)
 
assert(numel(Pa)==numel(Pb) && numel(Pa)==numel(Pc))
if numel(Pa)==2
    Pa = [Pa ; 0] ;
    Pb = [Pb ; 0] ;
    Pc = [Pc ; 0] ;
end
 
AB = Pb - Pa; AC = Pc - Pa; BC = Pc - Pb; % Side vectors
switch Type
    case 'incenter'%%
        uab = AB./norm(AB); uac = AC./norm(AC); ubc = BC./norm(BC); uba = -uab; 
        L1 = uab + uac; L2 = uba + ubc; % directors
        P21 = Pb - Pa;      
        P1 = Pa;           
    case 'barycenter'
        L1 = (Pb + Pc)/2 -Pa; L2 = (Pa + Pc)/2 - Pb; % directors
        P21 = Pb - Pa;      
        P1 = Pa;            
    case 'circumcenter'
        N = cross(AC,AB);
        L1 = cross(AB,N); L2 = cross(BC,N); % directors
        P21 = (Pc - Pa)/2;  
        P1 = (Pa + Pb)/2;  
    case 'orthocenter'
        N = cross(AC,AB);
        L1 = cross(N,BC); L2 = cross(AC,N); % directors
        P21 = Pb - Pa;      
        P1 = Pa;           
    otherwise
        error('Unknown Center Type');
end
ML = [L1 -L2]; % Coefficient Matrix
lambda = ML\P21;  % Solving the linear system
pos = P1 + lambda(1)*L1; % Line Equation evaluated at lambda(1)
X = [Pa(1); Pb(1); Pc(1)]; Y = [Pa(2); Pb(2); Pc(2)]; 
if numel(Pa)== 3 % Tridimensional Case
    Z = [Pa(3); Pb(3); Pc(3)];
    patch(X,Y,Z,'b','FaceAlpha',0.5); hold on;
    plot3(pos(1),pos(2),pos(3),'o','Color','r'); view(3);
else             % Bidimensional case
    patch(X,Y,'b','FaceAlpha',0.5); hold on;
    plot(pos(1),pos(2),'o','Color','r');
end
 grid on; daspect([1 1 1]);