Discussion :

[CedricMocquillon]

Bonjour à tous
J'ai un problème de probabilité:
Nous disposons d'un sac rempli de 100 boules dont p sont noires et 100-p blanches. On effectue n tirages avec remise, à chaque tirage, on a p% de chance de tirer une boule noire. Au bout de n tirages, la probabilité d'avoir obtenu exactement k boules noires est de $C^k_n p^k (1-p)^(n-k)$. Mon problème est le suivant: quelle doit être la valeur de n pour que la probabilité de tirer exactement k boules noires soit d'au moins 50%? J'aimerais si possible que la solution soit analytique mais je commence à douter que ce soit possible. Donc si vous avez des idées, je suis preneur

[Nemerle]

Cherche loi binomiale, c'est un classique.

C loin pour moi, mais une indication: l'espérance dans ton ex vaut np, donc si tu veux E(X)>k il te faut np>k soit n>kp.

[Zavonen]

probabilité de tirer exactement k boules noires

si tu veux E(X)>k

La réponse de Nemerle, mathématiquement correcte, n'est pas la réponse à la question posée.
J'incline à penser que c'est la question qui est mal posée (remplacer exactement par au moins), car plus n augmente et plus la probabilité d'avoir exactement k noires diminue et cela quelque soit k , tandis que si n est relativement grand devant k la probabilité d'avoir au moins k boules noires est très forte.

[CedricMocquillon]

Merci beaucoup pour cette réponse, j'aurais dû y penser mais mes cours de proba sont un peu loin. Petite rectification dans la réponse de Nemerle: si np>k alors n>k/p. Encore merci à toi. Pour Zavonen: effectivement mon but final est de calculer la proba d'avoir au moins k, je pensais qu'il fallait d'abord régler le cas exactement avant. Merci à tout les deux.

[Nemerle]

Dans ces conditions, un petit tag [Résolu] serait le bienvenu!