Discussion :

[Nemerle]

On dit qu'un ensemble A est dédoublable si on peut décomposer A en deux sous-ensembles B et C disjoints et qui sont isométriques à A. C'est vraiment la duplication des petits pains

Dans le plan, prenez la translation T horizontale d'une unité vers la droite, et la rotation R de centre l'origine et d'angle racine de deux.

Soit A l'image de l'origine par toutes les compositions possibles avec T et R.

Montrez (c'est simple, juré) que A est dédoublable


A lundi, sauf pour les fumiers qui partent en congés!!

[pseudocode]

pfou... la topologie melangée aux groupe des isométries directes... c'est trop pour le week-end.

Par "facile", je suppose qu'on a pas a réecrire les travaux de Banach/Tarskis.

Donc histoire d'ecrire quelquechose sur ce thread solitaire, je dirais:

------------------------------------------------------

G = le groupe des composition de nos 2 isométries R et T (ex: RT(x) = R o T (x) = R(T(x)) )

et A = l'ensemble des points obtenus par G({o})

A1 = l'ensemble des points obtenus par G1({o})
avec G1 le sous ensemble de G dont les compositions commencent par: T

A2 = l'ensemble des points obtenus par G2({o})
avec G2 le sous ensemble de G dont les compositions commencent par: R

- A1 et A2 sont équidécomposables car il suffit d'ajouter T (ou R) pour passer de l'un a l'autre.

- A = A1 U A2

Il reste a montrer que A1 et A2 sont disjoints, et la je n'ai pas trop d'idées...

on peut juste remarquer que la composée de n rotations (teta_1, teta_2, teta_n) est
- une translation si teta_1 + teta_2 + ... + teta_n == 0 (2pi)
- une rotation sinon

et vu que nos rotations ont un angle de racine(2), une composée de rotations ne sera jamais une translation. (n.racine(2)!=k.2PI pour tout k,n entiers et n>0)

[Nemerle]

Pseucode, t'avais pas mal commencé!

L'ensemble A, c'est l'ensemble des points {M(0,0)}, où M est un mot du langage construit à partir de l'alphabet R,T: R,T,RT,TR,RR,TT,RTT,RTR,....

Soit B' l'ensemble des mots commençant par R
Soit C' l'ensemble des mots commençant par T.

Soit B l'ensemble des points {M(0,0)}, où M est dans B'
Soit C l'ensemble des points {M(0,0)}, où M est dans C'

A est clairement réunion de B et C. Le seul point non trivial, qu'on admet ici, c'est que B et C sont disjoints.

N'y a-t-il pas deux isométries évidentes qui montre que B~A et C~A ??

[pseudocode]

Pseucode, t'avais pas mal commencé!

pseudocode

N'y a-t-il pas deux isométries évidentes qui montre que B~A et C~A ??

Si bien sur.

B = B'({o}) = R.B'({o}) + R.C'({o}) + R({o}) = R(B U C U {o}) = R(A)

j'ai meme pas pensé que c'etait necessaire de le marquer. Mon probleme c'etait surtout le "point non trivial qu'on admet ici"

[Nemerle]

Effectivement pseudodocode

Vu autrement, A = (R^(-1))B et A=(T^(-1))C. Le dernier point, c'est: la translation à gauche d'une unité du sous-ensemble B redonne tout A !

Concernant le point no trivial, c'est encore l'irrationnalité de racine de 2 qui entre en compte...

[pseudocode]

Concernant le point no trivial, c'est encore l'irrationnalité de racine de 2 qui entre en compte...

oui, je m'en doute

Mais je n'arrive pas a l'ecrire correctement... j'ai essayé par l'absurde, en utilisant les R^-1 et T^-1 mais je coince.

[Nemerle]

quand j'aurais le temps, j'essayerai d'écrire la démo...

Au fait, il fallait lire "c'est l'irrationnalité de racine (2) sur 2pi"...

Allez, je passe tout ça en résolu!