Discussion :

[_LVEB_]

Bonjour,

j'ai vu un truc bizarre :

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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  n = 0,999999...
10n = 9,999999...
10n = 9 + n
 9n = 9
  n = 9/9
  n = 1

Ou est l'erreur ?!?

[jobherzt]

il n'y en a pas. 0.999.... (les ... suppose qu'on va a l'infini) s'appelle le developpement decimal impropre de 1.. dis toi, même si ca n'est pas une "vraie" preuve, que ca n'est pas plus bizzare que

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0.333.... = 1/3

[lastrecrue]

tous simplement car l'écriture 0.9999... c'est pas des math

[Pierre Levy]

Je pense qu'il s'agit bien de maths.
Le nombre 1 peut s'écrire soit 1.000..., soit 0.999... avec une infinité de 0 ou de 9 après la virgule.
On parle alors de développement décimal illimité.
Si le développement décimal est périodique (14.127127127...) alors le nombre correspondant est un nombre rationnel (peut être écrit sous forme d'une fraction), sinon c'est un nombre réel pur (par exemple le nombre e ou la racine carrée de 2 ou le nombre pi).

[rostomus]

Bonjour,

Est-ce que 0.999.... est un nombre rationnel?

et aussi 3*0.3333... egale à 0.9999... ou bien à 1?

[Pierre Levy]

Oui, 0.999... est un nombre rationnel puisqu'il est périodique de période 9.

Les nombres entiers sont aussi des rationnels qu'on les considère sous la forme 7,par exemple, ou sous la forme 6.999... et ce, selon le cas, parce que 7 est une fraction de dénominateur 1 ou bien 6.999... est un développement décimal périodique illimité de période 9.

En fait l'ensemble des entiers est inclus (au sens de la théorie des ensembles) dans l'ensemble des rationnels, lui-même inclus dans l'ensemble des réels, lui-même inclus des l'ensemble des nombres complexes.

[poukill]

Bonjour,

j'ai vu un truc bizarre :

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  n = 0,999999...
10n = 9,999999...
10n = 9 + n
 9n = 9
  n = 9/9
  n = 1

Ou est l'erreur ?!?

Tu as déjà eu beaucoup de réponse sur le sujet (millie, etc...)
Ce qui compte ici, ce sont les ...
Tu as une infinité de 9 derrière ton 0.
C'est un exemple classique et rigolo de prépa pour les limites!

Faut pas chercher plus loin...

[Korko Fain]

C'est juste à cause de la transformation de ton nombre en binaire par le tableau ou tu l'écrit

[Nemerle]

A mon tour de donner ma "preuve" de 0.9999...=1 , en étendant un peu la problématique.

Comment démontrer qu'un nombre x est égal à un nombre y? Le plus simple est de montrer que pour toute valeur r>0, x est dans l'intervalle ]y-r,y+r[. Cela permet de "calculer" x s'il n'est pas défini par une formule, mais par une "propriété".

Une propriété est par exemple "soit Un la suite définie par Un= le 1ier chiffre de l'écriture décimale de 2^n; alors x est la probabilité d'apparition du chiffre 7 dans l'ensemble des valeurs Un". Le type de définition que j'ai donné ci-dessus est exactement ce qui sert à déterminer x dans cet exemple.

Dans notre exemple, x=0.99999... est par définition de la notation la somme infinie 9*10^0+9*10^(-1)+9*10^(-2)+... Il est facile de montrer que x=1 via cette méthode.

Débordement: la quasi-totalité des nombres réels ne sont pas calculables, au sens où on ne peut même pas écrire leur développement décimal. La méthodologie "universelle" que j'ai donné ci-dessus ne fonctionne même pas pour ces nombres. Par exemple les nombres omega de Chaïtin, qui ont en particulier pour propriétés

— Tous les nombres oméga sont incompressibles.
— Tous les oméga sont non calculables mais chacun est la limite d'une suite calculable croissante de nombres rationnels!!
— Un nombre oméga peut commencer par n'importe quelle séquence finie de chiffres. Il y a donc un nombre oméga qui commence par 3.1415, un autre qui commence par 1.2345...
— Tout nombre oméga contient n'importe quelle séquence finie de chiffres en son développement décimal.
— La somme ou le produit de deux nombres oméga, si le résultat est inférieure à 1, est un nombre oméga. Ce n'est pas vrai ni pour les nombres irrationnels ni pour les nombres transcendants.

...bien qu'on ne "connaisse" pas ces nombres, vous voyez qu'on peut établir nombres de leurs propriétés...

Exemple d'un nombre non calculable (mais plus simple qu'un omega): soit P0, P1,...,Pn,... tous les programmes possibles écrits en cobol (), en les classant par taille. Alors x= 0.d0d1...dn... est défini par dn= 1 si le programme Pn s'arrête, et 0 sinon s’il continue indéfinement. On retombe sur le vieux démon de Turing....

[jobherzt]

— Tous les oméga sont non calculables mais chacun est la limite d'une suite calculable croissante de nombres rationnels!!

cette propriete ci est etrange.. qu'est ce qu'une suite calculable ? une suite dont tous les termes sont calculables ?

[Nemerle]

oui

[cortex024]

et qu'on peut raconter sous formes d'histoire comme celle de Socrate :

un lapin et une tortue sont sur une piste dans un stade. La tortue part avec 10 m d'avance. Le lapin va 10 fois plus vite que la tortue.

Question : quand le lapin rattrapera-t-il la tortue ?

Réponse : jamais

Explication :

Quand la tortue fait 1 m, le lapin en fait 10, donc il sera 1 m derrière la tortue. Puis elle fait 10 cm, il fait 1 m. Donc il sera 10 cm derrière... etc etc...

FAUX

ton lapin rattrapera ta tortue entre 11.11 mètres et 11.12 mètres à parir du départ du lapin

Bonjour,

j'ai vu un truc bizarre :

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  n = 0,999999...
10n = 9,999999...
10n = 9 + n
 9n = 9
  n = 9/9
  n = 1

Ou est l'erreur ?!?

Il y en a bien une.

tu prends tes suites d'égalités à partir du bas, ce passage-ci est incorrect:

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10n = 9,999999...
10n = 9 + n

car n=1 donc ca devrait être:

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10n=10
10n = 9+n

tout simplement

[jobherzt]

[...] Il y en a bien une.

ben non, yen a pas, vu que 0.999...=1 (Cf les 7865 premieres pages de ce post !)

[cortex024]

ben non, yen a pas, vu que 0.999...=1 (Cf les 7865 premieres pages de ce post !)

j'ai lu, pas d'accord moi

0.9999... tend vers 1 mais n'est pas égal à 1.

[jobherzt]

et c'est reparti pour un tour et on va ncore dire que c'est moi qui chipote

le raisonnement que tu considere comme faux est justement une preuve de ce fait.

[cortex024]

mais une limite ne tend vers rien !!!! c'est la suite qui tend vers 1, donc la limite de la suite vaut 1 !!

je n'ai jamais dis que la limite tendais vers 1, cf

dans mon post, Hier, 17h00

0.9999... tend vers 1 mais n'est pas égal à 1.

la limite de la suite vaut 1 oui!!, je ne conteste pas cela comme dit dans mon précédent post.

Mais la suite n'est pas égal à 1.

et pour en revenir au problème de base dans lequel je disais que je n'était pas d'accord

Bonjour,

j'ai vu un truc bizarre :

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  n = 0,999999...
10n = 9,999999...
10n = 9 + n
 9n = 9
  n = 9/9
  n = 1

Ou est l'erreur ?!?

j'ai bien raison en disant qu'il y a bien une erreur...

[jobherzt]

ben non, ya pas d'erreur. (le post cyclique....)

tu peux ecrire ca plus formellement en remplacant 0.999... par la somme de 1 a l'infini de 9/10^k (qui est un nombre et pas une suite, on est d'accord..) :

10 * sum(k=1, infini) 9/10^k = sum(k=1, infini) 9/10^k-1

donc

10 * sum(k=1, infini) 9/10^k- sum(k=1, infini) 9/10^k = 9/10^0=9

d'ou

sum(k=1, infini) 9/10^k = 9/9=1

c'est en effet une preuve rigoureuse, mais peut etre moins parlante.

Mais la suite n'est pas égal à 1.

ca ne veut rien dire... tu confonds donc bien la limite avec la suite, comme je disais.

[PRomu@ld]

Mesdames, messieurs,

J'ai l'impression que tout le sujet commence à partir un petit peu dans tous les sens, j'aimerai qu'on évite de polluer ce thread.

Quand bien même l'information serait intéressante et passionnante, si elle ne rentre pas directement en rapport avec le sujet principal, elle n'a rien à faire ici.

De plus, bon nombre de démonstrations ont été données pour répondre à la problématique. Si vous avez une démonstration différente de celles qui ont été donné alors elle est la bienvenue, sinon elle n'a pas lui d'être.

Si vous voulez parler de tous ces sujets, ouvrez d'autres threads.

Merci de votre compréhension.

[Nemerle]

Bein alors il faut fermer ce thread, ça serait plus simple.

[PRomu@ld]

Non, si quelqu'un a une solution qui n'a pas été proposée, ça ne pose pas de problème, tout le monde à le droit d'apporter sa contribution, si tant est que la contribution est nouvelle. (et éviter les 10X - X = ... )