Discussion :

[LIloulil]

un archer dispose d'une fleche pour atteindre une cible en forme de carré de 2 metres par 2 metres. Ce dernier n'a aucun talent pour le tir donc on peut considérer que chaque point de la cible a la meme probabilité d'etre atteint par sa fleche. S'il manque la cible il recommence jusqu'à ce que sa fleche ait atteint la cible. Quelle est la probabilité que la distance entre la fleche et le centre de la cible soit inférieure à 5/4 metres?

[tbc92]

Tu as posté cette question dans la rubrique 'probabilité', parce qu'il y a le mot 'probabilité' dans l'énoncé.
En fait, ce n'est pas du tout un exercice de probabilité, mais un exercice de géométrie. Et un exercice assez difficile.
Et dans un exercice de géométrie, souvent, il faut commencer par faire un dessin.

Ce que tu peux faire, pour commencer, c'est réécrire la question, en enlevant tout ce qui est là pour le fun. L'histoire de l'archer, tout ça, ça ne sert à rien, c'est juste du folklore.

[Guesset]

Comme on ne retient que le tir qui atteint la cible, celui-ci a une probabilité de 100% d'être dans la cible d'une surface S de 4 m².

Un distance inférieure à 4/5 m du centre définit un disque de surface S' = PI.(4/5)², soit une probabilité, liée au seul rapport des surfaces, de 100%.PI.(4/5)²/4 = 50.26%.

Ce type d'exercice simple n'est ni intéressant pour les intervenants du forum ni pour celui que cela devait inciter à réfléchir.

[tbc92]

Le disque n'a pas pour rayon 4/5 m mais 5/4 m.
Et du coup, c'est BEAUCOUP plus compliqué que cela.
Mais effectivement, ce que l'élève doit voir devant cet exercice, c'est qu'on demande de calculer un rapport entre 2 surfaces.

[Guesset]

Bonjour,

Autant pour moi. Dyslexie, lendemains de fête ? En espérant que mon inattention ne perdure :

• Par les symétries, le rapport des surfaces est le même si on prend seulement 0 à PI/4 (la moitié du premier quadrant).
• La surface du demi carré est Sc = 1/2 (le carré du quadrant fait 1 m x 1 m).
• L'angle pour lequel le cercle coupe le carré est : 5/4 cos(a) = 1 => a = 0.64350 rad. L'angle de l'arc u entre a et PI/4 est u = PI/4-a. La surface délimitée par u est Su = u.R²/2 = (PI/4-a)/2*(5/4)² = (PI/4-a)*25/32.
• Le triangle rectangle délimité par l'angle a a pour surface Sa = 5/4 * sin(a)/2 = sqrt( 1 - cos²(a))/2 = 5/4.sqrt(1-(4/5)²)/2 = 3/8 (5/4 initialement oublié ).
• Probabilité = (Su + Sa) / Sc = ((PI/4-a)*25/32 + 3/8) / (1/2) = (PI/4-a)*25/16 + 3/4 = 0.97171588.

nota : a est alpha

Comme le disait tbc92, c'est essentiellement un problème de géométrie.

Salutations

[CosmoKnacki]

Je ne sais pas trop pourquoi, mais je ne trouve pas le même résultat, donc si vous voyez une erreur n'hésitez pas:

• BO = 5 ÷ 4
• AO = AO' ÷ cos(OAO') (formule du cosinus dans un triangle rectangle, ici le triangle AOO' où O' est la projection orthogonale de O sur la droite (AC))
  
• sin(ABO) = sin(OAB) × AO ÷ BO (relation entre sinus et cotés opposés dans un triangle quelconque: sin(A) ÷ a = sin(B) ÷ b = sin(C) ÷ c)
• La fonction sinus est symétrique: sin(x) = sin(π - x) et donc non bijective sur l'intervalle [0,π]. Comme le triangle BOC est isocèle de sommet O, ses angles OBC et BCO sont égaux et aigus, par conséquent l'angle ABO est lui obtus, donc on retranche à π son arc sinus entre [-π÷2,π÷2] pour obtenir sa mesure dans l'intervalle [π÷2,π]:
• ABO = π - arcsin(sin(ABO)) = π - arcsin(sin(OAB) × AO ÷ BO)
• OBC = π - ABO (A, B et C sont alignés donc ABC est un angle plat)
• BOC = π - 2 × OBC = -π + 2 × ABO
  
• Avec l'angle BOC, on obtient l'aire du secteur angulaire délimité par le cercle:
  Sa = π × BO² × BOC ÷ 2π = BO² × BOC ÷ 2
• On calcule l'aire du triangle BOC:
  St = BC × OO' ÷ 2 = BO' × OO' = cos(OBC) × BO × OO'
• On en déduit l'aire délimitée par le coté du carré et l'arc de cercle: S = Sa - St
• L'aire de l'intersection du carré et du cercle est donc: Sc = π × BO² - 4S = π × BO² - 4(Sa - St)
• La probabilité est donc de: P = Sc ÷ 4 (4 étant l'aire du carré)

Maintenant le calcul:

AO = AO' ÷ cos(OAO') = AO' ÷ cos(OAB)
AO = 1 ÷ cos(π÷4)

ABO = π - arcsin(sin(OAB) × AO ÷ BO)
ABO = π - arcsin(sin(π÷4) × (1 ÷ cos(π÷4)) ÷ (5÷4) )
ABO = π - arcsin(sin(π÷4) × (1 ÷ cos(π÷4)) × 4 ÷ 5 )
ABO = π - arcsin(4÷5)

BOC = -π + 2 × ABO
BOC = -π + 2 × (π - arcsin(4÷5))
BOC = π - 2 × arcsin(4÷5)

OBC = arcsin(4÷5)

P = π × 25 ÷ 64 - Sa + St
P = π × 25 ÷ 64 - BO² × BOC ÷ 2 + cos(OBC) × BO × OO'
P = π × 25 ÷ 64 - 25 × BOC ÷ 32 + cos(OBC) × 5÷4
P = π × 25 ÷ 64 - 25 × (π - 2 × arcsin(4÷5)) ÷ 32 + cos(arcsin(4÷5)) × 5÷4
formule: cos(arcsin(x)) = √(1 - x²)
P = π × 25 ÷ 64 - 25 × (π - 2 × arcsin(4÷5)) ÷ 32 + (√(1 - 16÷25))) × 5÷4
P = π × 25 ÷ 64 - 25 × (π - 2 × arcsin(4÷5)) ÷ 32 + (3÷5) × 5÷4
P = π × 25 ÷ 64 - 25 × (π - 2 × arcsin(4÷5)) ÷ 32 + 3÷4

Pour l'appli Calculatrice sous linux:
P = π * 25 / 64 - 25 * (π - 2 * asin(4/5)) / 32 + 3/4 = 9,717141478×10⁻¹

[tbc92]

En principe, l'esprit de ce forum n'est pas de donner la solution complète, surtout pour des exercices scolaires, mais une aide. On va donc laisser LIloulil choisir quelle réponse semble correcte (peut-être même que les 2 sont fausses ?).

[Guesset]

Bonjour tbc92,

...peut-être même que les 2 sont fausses ?

Non, seule la mienne est fausse.

L'année prochaine j'arrête de boire. Et je tiendrais promesse en réaffirmant cela le 1er janvier 2024

Salut

[CosmoKnacki]

En principe, l'esprit de ce forum n'est pas de donner la solution complète, surtout pour des exercices scolaires, mais une aide.

Désolé, je me suis laissé embarquer par ce problème, d'autant que je ne suis pas sûr de ce que j'ai fait.

On va donc laisser LIloulil choisir quelle réponse semble correcte (peut-être même que les 2 sont fausses ?).

Ce n'est pas impossible, en ce qui me concerne j'ai des doutes (sur le gémissement des crevettes) et je m'y suis repris à plusieurs fois déjà.
Que LIloulil se fasse son opinion reste la meilleure chose.

Non, seule la mienne est fausse.

N'allons pas trop vite en besogne.

L'année prochaine j'arrête de boire.

Pour ma part, c'est mal parti.

Et je tiendrais promesse en réaffirmant cela le 1er janvier 2024

Éventuellement en fin d'aprés midi.

[LIloulil]

Bonjour, merci pour vos réponses !!