Bonjour à tous,

j'ai perdu mon savoir-faire mathématique. Je ne trouve pas comment calculer cette espérance probabiliste.

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Pour réitérer le problème je vais décrire plus en détail la question :

Supposons qu'on a un dé, non pipé. Quand on le lance, on tombe sur une de ses faces, de 1 à 6. Il y a 1 chance sur 6 de tomber sur chacune.

Si je lance à nouveau le dé, je tomberai peut-être sur la même face, et peut-être sur une autre. Il y a 1 chance sur 6 que je tombe sur la même face, et donc 5 chances sur 6 que je tombe sur une face qui n'est pas la même.

Supposons maintenant que je lance le dé, jusqu'à ce que le dé soit tombé au moins une fois sur chacune des 6 faces. En théorie, on est pas vraiment garanti d'y arriver, mais intuitivement on se doute bien que ça finira par le faire, et qu'il faut pas des centaines de lancers.

La question est : quelle est l'espérance mathématique du nombre de jets de dés qu'il faut faire pour tomber au moins une fois sur chacune des 6 faces ?

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Eh ben je m'en sors pas. De mon souvenir on calcule l'espérance comme la somme des valeurs qui peuvent être obtenues, multipliées par la probabilité d'obtenir cette valeur. Mais comme dès le second lancer, il y a une infinité de possibilités de coups (aux probabilités qui décroissent exponentiellement, mais qui sont bien là), et que c'est pareil si on arrive à voir une face en plus, je me perds dans les branches possibles et je n'arrive pas à analyser.

Je me demandais si quelqu'un saurait comment on analyse ça ?