Discussion :

[b_reda31]

Bonjour,
Alors voilà,
je dispose d'une fonction booléenne qui à partir d'un vecteurs de points V et d'un point P, détermine si le point est oui ou non à l'intérieur d'un polygone.
Les coordonnées ici sont dans un plan cartésien (X,Y).

Ma question :
Puis-je appliquer cette meme fonction mais en ayant des coordoonées GPS (longitude,Latitude) au lieu de coordonnées 2D (X,Y) ?
Mon but étant de délimiter une région sur une carte à partir d'un ensemble de points GPS (Polygone), puis d'appliquer cette fonction pour voir si un point est à l'intérieur de cette région ou non?

Merci pour toute réponse

Bien à vous.

Réda.

[wiwaxia]

Bonjour,

Ce qui est délicat, c'est que ton outil se réfère à la géométrie du plan, dans lequel tout polygone est délimité par des segments de droite, tandis que les coordonnées géographiques font intervenir (au mieux) la géométrie sphérique; les contours "polygonaux" sont alors courbes (il peut s'agir d'arcs de grands cercles de la sphère), et leur projection sur un plan tangent ne conduira pas à des segments de droite.

Les réponses obtenues pourront apparaître contestables dans le cas de points "proches" de la frontière, et surtout lorsque la courbure de la surface n'est plus négligeable; le rapport du diamètre maximal (D_max) du polygone au rayon terrestre (R) n'étant alors plus petit devant l'unité: D_max/R >~ 0.1 .

De plus, les coordonnées angulaires poseront de grosse difficultés au niveau des pôles; il est heureusement peu probable que tu t'intéresses à ces régions.

Si tu te limites par contre à des régions d'étendue limitée (D_max <~ 100 km) et te contentes d'une précision raisonnable, tu pourras utiliser les formules de conversion entre systèmes de coordonnées (éventuellement sous une forme approchée)⁽¹⁾.

Cependant, cela me paraît assez difficile; ne serait-il pas plus simple d'envisager une réponse directe ? Cela suppose un minimum de familiarité dans le maniement des vecteurs.
Une autre solution pourrait être la recherche (éventuellement le téléchargement) de logiciels appropriés; d'autres intervenants pourraient te suggérer des liens sur ce sujet.

(1) Voir ce qui suit.

[wiwaxia]

(1) Pour prolonger ce qui a été dit, avec les réserves déjà exprimées:

Au voisinage d'un point de longitude (a₀) et de latitude (b₀),
1) un écart de 1 degré en latitude correspond à la 360^me partie d'un méridien de rayon (R), donc à un arc de cercle de longueur
Dy = (2*Pi*R/360) ;
2) un écart de 1 degré en longitude correspond à la 360^me partie d'un parallèle de rayon (R*Cos(b₀)), donc à un arc de cercle de longueur Dx = (2*Pi*R*Cos(b₀)/360) .

Dans un plan tangent à la sphère au point M₀(a₀, b₀) et orienté par les vecteurs unitaires u_E (dirigé vers l'est) et u_N (dirigé vers le nord) la position d'un point M(a, b) est approximativement représentée par le vecteur
A₀M = Dx*(a - a₀).u_E + Dy*(b - b₀).u_N ,
ce qui revient à employer dans le repère local ainsi défini, les coordonnées cartésiennes:
X = Dx*(a - a₀) = (2*Pi*R*Cos(b₀))*((a - a₀)/360) et
Y = Dy*(b - b₀) = (2*Pi*R)*((b - b₀)/360) , les angles s'exprimant toujours en degrés.

Formule déconseillée pour le pistage des ours blancs d'Ellesmere Island, ou des manchots de Terre-Adélie .

[b_reda31]

Bonjour wiwaxia,
Avant toute chose, je vous remercie infiniment pour toutes ces explications bien détaillées et de votre effort !

Dans mon cas, le diamètre maximal du polygone est de l'ordre de quelques KMs seulement, je pense donc pouvoir me contenter des formules de conversion entre (longitude, latitude) vers (X,Y)


Si je comprends bien, le problème revient à calculer X et Y à partir d'un point de longitude a0 et latitude b0
soit déterminer les fonctions f1 et f2 tel que :
- X = f1(a0,b0)
- Y = f2(a0,b0).

En reprenant vos formules :

X = Dx*(a - a0) = (2*Pi*R*Cos(b0))*((a - a0)/360) et
Y = Dy*(b - b0) = (2*Pi*R)*((b - b0)/360) , les angles s'exprimant toujours en degrés

je remarque que f1 et f2 font intervenir a0, b0, a et b
que représentent alors a et b ?
Merci encore

Réda

[wiwaxia]

... Dans mon cas, le diamètre maximal du polygone est de l'ordre de quelques KMs seulement, je pense donc pouvoir me contenter des formules de conversion entre (longitude, latitude) vers (X,Y) ...

Le rayon terrestre (R) admettant pour valeur moyenne 6371 km , les erreurs relatives affectant les distances et dues à la courbure de la surface n'atteignent pas un millionème; on a en effet:
e ~ (D_max/R)² ~ (4 / 6371)² = 4E^-7 .

... Si je comprends bien, le problème revient à calculer X et Y à partir d'un point de longitude a0 et latitude b0
soit déterminer les fonctions f1 et f2 tel que :
- X = f1(a₀, b₀, a)
- Y = f2(b₀, b) ...

En effet, et à prendre le point (A) pour origine du repère local puisque l'on a par définition: X_A = Y_A = 0 .
On calculera de même les coordonnées des autres sommets du polygone: (X_B, Y_B), (X_C, Y_C), ... etc.

En reprenant vos formules :
X = Dx*(a - a0) = (2*Pi*R*Cos(b0))*((a - a0)/360) et
Y = Dy*(b - b0) = (2*Pi*R)*((b - b0)/360) , les angles s'exprimant toujours en degrés
je remarque que f1 et f2 font intervenir a0, b0, a et b
que représentent alors a et b ?

La longitude et la latitude du point considéré (M) que l'on cherche à situer par rapport aux sommets (A, B, C, D ...) du polygone.
Les coordonnées angulaires (a_i, b_i)des autres points s'obtiennent par les mêmes relations; par exemple:
- X_B = X₁ = f1(a₀, b₀, a₁)
- Y_B = Y₁ = f2(b₀, b₁)
en affectant les sommets successifs du polygone (A, B, C ...) des valeurs (0, 1, 2 ... etc); l'indice (i) joue le rôle d'un compteur.

PS: J'ai corrigé une faute par omission, tardivement repérée: l'erreur relative est inférieure à la première estimation donnée.

[tbc92]

Tu n'as pas besoin de faire de conversion. Les distances que tu traites sont petites, tout va bien...
Donc tu connais un algorithme qui permet de savoir si un point (X,Y) est à l'intérieur d'un polygône (Xi,Yi).
Tu peux parfaitement utiliser l'algorithme tel quel, en disant X=longitude, et Y=latitude.

Tant que les distances sont pas trop grandes (quelques kilomètres), et tant qu'on est assez loin des pôles (disons latitude entre -75° et +75°), ça ne pose aucun problème. Si tu te rapproches des pôles, il faut traiter des polygônes plus petits pour que ça reste valide. Et en particulier, si le polygône contient l'un des 2 pôles, l'approximation ne marche plus du tout.

Sur des latitudes 'classiques', en disant X=longitude, et Y=latitude, on fait une approximation. Mais c'est une approximation totalement négligeable. En gros, à 1 mètre près, les résultats sont corrects. Donc normalement, ça ne pose aucun problème, vu que l'erreur due au traitement est en fait inférieure à la précision du GPS lui-même.