Discussion :

[darkman19320]

Bonjour tout le monde,

Je sais que ce sujet est traité quelques millions de fois mais je ne trouve pas d'explication "simple" et surtout pas d'exemple concret pour permettre de trouver une matrice de passage d'un repère A à un repère B (tous les deux sont orthonormés et en 3 dimensions).

J'ai 3 points dont je connais leurs coordonnées dans les 2 bases: P1(X1a, Y1a, Z1a), P2(X2a, Y2a, Z2a) et P3(X3a, Y3a, Z3a) (les coordonnées des points dans le repère A).
P1(X1b, Y1b, Z1b), P2(X2b, Y2b, Z2b) et P3(X3a, Y3b, Z3b) (les coordonnées des points dans le repère B).

J'obtiens donc une égalité suivante:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
|X1b X2b X3b|      |X1a X2a X3a|
|Y1b Y2b Y3b| = P. |Y1a Y2a Y3a|
|Z1b Z2b Z3b|      |Z1a Z2a Z3a|

Avec P la matrice de passage.

Est-ce que simplement à partir de cette information, on peut obtenir une matrice de passage?

Si oui, quelles sont toutes les étapes à faire pour obtenir cette matrice? (Je sais qu'il existe des bibliothèques et des outils pour faire ça, mais j'aimerais comprendre le raisonnement pour calculer les matrices de passage)

Merci

[dourouc05]

Sans même considérer qu'il s'agit d'un changement de repère, a priori, tu as neuf inconnues (les neuf composantes de la matrice P) et neuf équations linéaires (égaler les coordonnées dans un repère avec celles dans l'autre). In extenso, pour un point :

Code mathematica :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

1
2
3
P = {{p11, p12, p13}, {p21, p22, p23}, {p31, p32, 
    p33}}; (* P//MatrixForm *)
{x1, y1, z1} == P .{x2, y2, z2} // Thread

De là, ça semble jouable (si le système complet admet une solution unique). Ça n'est sûrement pas la réponse la plus esthétique, ça n'est que du calcul.

[darkman19320]

Bonjour,

Merci pour ta réponse.
Tu penses donc qu'il faudrait résoudre les 3 systèmes d'équation à 3 inconnues?

[dourouc05]

C'est la solution la plus simple que j'y vois (mais neuf équations à neuf inconnues, à cause de P : il n'y a pas vraiment d'indépendance entre ses éléments, à mon avis — sans apporter de preuve, cependant).

[darkman19320]

Bonjour,

J'ai trouvé une solution plus simple: l'inversion de matrice avec la matrice A et la matrice B:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

A = P.B => A.B^-1 = P

A partir de cette matrice, il n'y a pas de problème et c'est surtout plus rapide à calculer que de résoudre les 9 équations à 9 inconnues!

Encore merci pour l'aide

[dourouc05]

A partir de cette matrice, il n'y a pas de problème et c'est surtout plus rapide à calculer que de résoudre les 9 équations à 9 inconnues!

Mouais… Pas sûr que tu convaincras beaucoup de gens . Un système linéaire ou une matrice inverse, d'un point de vue strictement mathématique, c'est cosmétique ; pour un adapte de l'analyse numérique, il criera très fort en voyant l'inversion . Voir, par exemple, http://www.johndcook.com/blog/2010/0...t-that-matrix/ pour les points principaux, les liens pour quelques détails (par exemple, en arithmétique en nombre à virgule flottante, l'addition n'est plus associative !). C'est surtout important pour de grandes matrices ; ici, il te suffit d'espérer avoir une matrice pas trop mal conditionnée pour que l'inversion ne pose pas de problème.