Discussion :

[darkman19320]

Bonjour tout le monde,

Je sais que ce sujet est traité quelques millions de fois mais je ne trouve pas d'explication "simple" et surtout pas d'exemple concret pour permettre de trouver une matrice de passage d'un repère A à un repère B (tous les deux sont orthonormés et en 3 dimensions).

J'ai 3 points dont je connais leurs coordonnées dans les 2 bases: P1(X1a, Y1a, Z1a), P2(X2a, Y2a, Z2a) et P3(X3a, Y3a, Z3a) (les coordonnées des points dans le repère A).
P1(X1b, Y1b, Z1b), P2(X2b, Y2b, Z2b) et P3(X3a, Y3b, Z3b) (les coordonnées des points dans le repère B).

J'obtiens donc une égalité suivante:

Code :

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|X1b X2b X3b|      |X1a X2a X3a|
|Y1b Y2b Y3b| = P. |Y1a Y2a Y3a|
|Z1b Z2b Z3b|      |Z1a Z2a Z3a|

Avec P la matrice de passage.

Est-ce que simplement à partir de cette information, on peut obtenir une matrice de passage?

Si oui, quelles sont toutes les étapes à faire pour obtenir cette matrice? (Je sais qu'il existe des bibliothèques et des outils pour faire ça, mais j'aimerais comprendre le raisonnement pour calculer les matrices de passage)

Merci

[dourouc05]

Sans même considérer qu'il s'agit d'un changement de repère, a priori, tu as neuf inconnues (les neuf composantes de la matrice P) et neuf équations linéaires (égaler les coordonnées dans un repère avec celles dans l'autre). In extenso, pour un point :

Code mathematica :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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P = {{p11, p12, p13}, {p21, p22, p23}, {p31, p32, 
    p33}}; (* P//MatrixForm *)
{x1, y1, z1} == P .{x2, y2, z2} // Thread

De là, ça semble jouable (si le système complet admet une solution unique). Ça n'est sûrement pas la réponse la plus esthétique, ça n'est que du calcul.

[darkman19320]

Bonjour,

Merci pour ta réponse.
Tu penses donc qu'il faudrait résoudre les 3 systèmes d'équation à 3 inconnues?

[dourouc05]

C'est la solution la plus simple que j'y vois (mais neuf équations à neuf inconnues, à cause de P : il n'y a pas vraiment d'indépendance entre ses éléments, à mon avis — sans apporter de preuve, cependant).

[darkman19320]

Bonjour,

J'ai trouvé une solution plus simple: l'inversion de matrice avec la matrice A et la matrice B:

Code :

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A = P.B => A.B^-1 = P

A partir de cette matrice, il n'y a pas de problème et c'est surtout plus rapide à calculer que de résoudre les 9 équations à 9 inconnues!

Encore merci pour l'aide

[dourouc05]

A partir de cette matrice, il n'y a pas de problème et c'est surtout plus rapide à calculer que de résoudre les 9 équations à 9 inconnues!

Mouais… Pas sûr que tu convaincras beaucoup de gens . Un système linéaire ou une matrice inverse, d'un point de vue strictement mathématique, c'est cosmétique ; pour un adapte de l'analyse numérique, il criera très fort en voyant l'inversion . Voir, par exemple, http://www.johndcook.com/blog/2010/0...t-that-matrix/ pour les points principaux, les liens pour quelques détails (par exemple, en arithmétique en nombre à virgule flottante, l'addition n'est plus associative !). C'est surtout important pour de grandes matrices ; ici, il te suffit d'espérer avoir une matrice pas trop mal conditionnée pour que l'inversion ne pose pas de problème.

[darkman19320]

Merci pour le lien!

C'est vrai que dans certains exemples que j'ai pris, je ne pouvais pas inverser la matrice. Cependant, dans le cas réel, il sera physiquement impossible qu'elle ne puisse pas s'inverser. C'est peut-être une solution de faciliter ou qui feront crier les matheux mais bon, ça fonctionne et c'est suffisemment rapide pour notre utilisation.

Encore merci pour l'aide!

[dourouc05]

Cependant, dans le cas réel, il sera physiquement impossible qu'elle ne puisse pas s'inverser.

Si ta matrice n'est pas inversible, un passage par un système d'équations ne devrait pas arranger la situation. Le vrai problème de l'inversion est numérique : tu peux calculer une matrice (approchée, dans une arithmétique où la précision est finie), mais la différence par rapport à la vraie inverse (précision infinie) peut être grande (même si , tu n'as pas forcément ).

[darkman19320]

Re bonjour tout le monde,

Je viens de m'apercevoir que dans de nombreux cas ma solution ne fonctionne pas.

Voici un exemple concret: soit A(2,2,0), B(2,2,1), C(3,2,4) appartenant au repère E et A'(3,-2,0) B'(3,-2,1) et C(3,-3,4) appartenant au repère F.

On remarque ici que ces 3 points ne forment pas un repère orthogonal. De plus, les coordonnées de l'origine du repère F (OF) dans le repère E, ne sont pas en (0, 0, 0) (il existe une translation entre les 2 systèmes).

Lorsque j'essaie de résoudre ceci:

Code :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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    |2 2 3|
E = |2 2 2| 
    |0 1 4|
 
    |3   3  3|
F = |-2 -2 -3|
    |0   1  4|
 
P.E = F
P = F.E^-1
 
  |2 2 3|    |3   3  3|
P.|2 2 2| =  |-2 -2 -3|
  |0 1 4|    |0   1  4|
 
    |3   3  3|   |2 2 3| ^-1
P = |-2 -2 -3| . |2 2 2|
    |0   1  4|   |0 1 4|
 
    |0 1.5 0|
P = |1  0  0|
    |0  0  1|
 
      |0 1.5 0|   |2 2 3|    |3   3  3|
P.E = |1  0  0| . |2 2 2| =  |-2 -2 -3| = F // Résultat attendu
      |0  0  1|   |0 1 4|    |0   1  4|
 
           |0   -1  0|   |3   3  3|    |2 2 3|
(P^-1).F = |2/3  0  0| . |-2 -2 -2| =  |2 2 2| = E // Résultat attendu
           |0    0  1|   |0   1  4|    |0 1 4|
 
            |0   -1  0|   |0|    |0|
(P^-1).OF = |2/3  0  0| . |0| =  |0| // Pas du tout le résultat attendu
            |0    0  1|   |0|    |0|

Je n'arrive pas à récupérer les coordonnées du repère F dans le repère E. En gros, je n'arrive pas à calculer la translation entre ces deux repères. J'ai essayé de faire la différence entre le même point dans les deux repères différents mais cette solution ne fonctionne pas à tous les coups (par exemple s'il n'y a qu'une rotation appliquée au repère F par exemple).

Avez-vous une idée de comment résoudre ce problème?

Pour info, j'ai essayé de passer en coordonnées homogènes, mais je n'ai eu aucun changement.

[Flodelarab]

Bonjour

Quelle remarque fascinante.

• S'étonner qu'en multipliant par une matrice nulle, on trouve une matrice nulle, est nul. (voire imbécile)
• Le vecteur nul est un vecteur nul dans tous les repères.

[darkman19320]

Merci pour ce superbe commentaire tout aussi utile que mon produit matriciel avec une matrice nulle ^^

J'ai mal dû m'exprimer. Est-ce qu'il est possible tout simplement de calculer de manière sûre une matrice de passage d'une base vers une autre en pouvant exprimer l'origine des repères?

[souviron34]

Ben d'une part il te faut , pour les calculs, utiliser les coordonnées relatives :

x-xc
y-yc
z-zc

par rapport aux 2 centres des repères..

Une matrice ne passera que d'un cas à l'autre.. Tu ne peux pas passer par une matrice de coordonnées directes d'un repère dans l'autre..

[darkman19320]

Merci pour cette réponse, mais je n'ai pas (et ne peux pas les avoir) les centres des repères (juste leur coordonnées dans leur repère respectifs d'où ma multiplication débile par une matrice nulle).

[souviron34]

Alors le problème est insoluble de manière générale ..

Un changement de repère (en admettant que les 2 repères soient du même type) est une combinaison d'une translation et d'une rotation..

La rotation nécessite un centre.. Tu ne pourras pas trouver une matrice générale transformant les coordonnées de l'un en celle de l'autre sans avoir les centres...

Alors reformule le problème auquel tu fais face et expose-le nous correctement...

[darkman19320]

Merci,

Malheureusement, je n'ai pas l'information pour exprimer les coordonnées de l'origine de mon repère F dans l'autre repère E:


avec inconnue et inconnue (ça sent le roussi ^^)

[souviron34]

Malheureusement, je n'ai pas l'information pour exprimer les coordonnées de l'origine de mon repère F dans l'autre repère E:

Ce que je te demandais c'est : quel est le problème exactement ?

• De quoi disposes-tu au départ ?
• Que veux-tu faire / obtenir ?
• Dans quel but ?

[darkman19320]

J'ai seulement 3 points (notons les A, B et C) avec des coordonnées dans 2 repères 3D orthonormés différents (notons les E et F). Autre remarque, ces 3 points ne forment pas un repère orthonormé: ils sont pris au hasard.
Je cherche à trouver la matrice de passage pour exprimer l'ensemble des points du repère E dans le repère F (et inversement).

Mon problème c'est que je n'ai aucun moyen d'exprimer les coordonnées de l'origine du repère E dans le repère F.

Pour résumer, c'est un problème de passage d'un repère local vers un repère global et inversement.