Discussion :

[Onimaru]

Salut à tous,
Soient :
-> k, l des réels tels que : k <= l
-> t un réel tel que : k <= t <= l
-> u, v, w des réels positifs
-> La courbe paramétrée (3D) définie par : (u.t, v.((u.t-k).(l-u.t))^(1/2), w.(2.(u.t-k).(u.t-(k+l)/2).(u.t-l))^(1/3))

Comment faire pour trouver deux valeurs t1 et t2 pour lesquelles la distance euclidienne entre les deux triplets dépendants de t1 et de t2 soit maximale ?
et quelle sera la distance dans ce cas (en fonction de k, l, u, v et w) ?

J'ai essayé avec la dérivation mais les calculs me semblent un peu compliqués.

[Aleph69]

Bonjour,

effectivement, ça a l'air assez calculatoire. J'ai deux questions :
1. peut-on avoir des valeurs complexes (quantités négatives sous les racines)?
2. pourquoi ne pas utiliser plutôt la distance-max (distance lp pour p infini) puisqu'elle est équivalente à la distance euclidienne en dimension finie?

[Onimaru]

Bonjour,

effectivement, ça a l'air assez calculatoire. J'ai deux questions :
1. peut-on avoir des valeurs complexes (quantités négatives sous les racines)?
2. pourquoi ne pas utiliser plutôt la distance-max (distance lp pour p infini) puisqu'elle est équivalente à la distance euclidienne en dimension finie?

Salut,
Toutes les valeurs sont réelles, considérons le problème autrement :

*Disons que la courbe paramétrée a comme formule : (t, ((t-k).(l-t))^(1/2), (2.(t-k).(t-(k+l)/2).(t-l))^(1/3)) et que t varie entre k et l, dans ces conditions (t-k).(l-t) est toujours positive(la courbe paramétrée (t, ((t-k).(l-t))^(1/2)) forme un demi cercle) et pour 2.(t-k).(t-(k+l)/2).(t-l) peu importe car cela ne pose aucun problème pour la racine cube comme vous le savez(la courbe paramétrée (t, (2.(t-k).(t-(k+l)/2).(t-l))^(1/3)) forme une sorte de sinusoïde).

*Et supposons maintenant que l'espace où on va dessiner cette courbe est orthogonal mais pas forcément orthonormé (si je ne me trompe pas dans les termes) (o, i->, j->, k->), les valeurs ||i||, ||j|| et ||k|| ne sont pas forcément égales.

*Dans ce cas comment choisir deux points de la courbe d'une façon à ce que la distance entre ces deux points soit maximale ?

*Quelle serait la distance alors ?

Merci.

[Aleph69]

Salut,

je me suis penché un peu plus sur ton problème et il est difficile : je ne suis pas allé au bout des calculs mais je crains que les points stationnaires de ta courbe soient caractérisés par une fonction implicite.

[Onimaru]

Salut,

je me suis penché un peu plus sur ton problème et il est difficile : je ne suis pas allé au bout des calculs mais je crains que les points stationnaires de ta courbe soient caractérisés par une fonction implicite.

Salut, désolé mais je n'ai pas compris.

[Aleph69]

Salut,

on sait que les points qui maximisent la distance annulent également le gradient de cette dernière. Les points qui annulent le gradient d'une fonctionnelle sont appelés les points stationnaires de cette fonctionnelle. J'ai donc commencé à calculer les deux composantes du gradient du carré de la norme euclidienne de la différence entre les triplets (t1,f(t1),g(t1)) et (t2,f(t2),g(t2)), où f et g désignent les fonctions qui apparaissent dans l'expression du paramétrage de ta courbe. Si on va jusqu'au bout de ce calcul, on doit trouver deux équations en (t1,t2). Si ces équations sont explicites, on a deux équations et deux inconnues : on peut isoler t1 et t2. Si l'une au moins est implicite on ne peut pas. Or, j'ai l'impression qu'il y a trop de variations d'ordre dans les puissances auxquelles sont élevées les inconnues t1 et t2 pour que tu puisses résoudre les équations d'annulation du gradient à la main.

[Onimaru]

Salut,

on sait que les points qui maximisent la distance annulent également le gradient de cette dernière. Les points qui annulent le gradient d'une fonctionnelle sont appelés les points stationnaires de cette fonctionnelle. J'ai donc commencé à calculer les deux composantes du gradient du carré de la norme euclidienne de la différence entre les triplets (t1,f(t1),g(t1)) et (t2,f(t2),g(t2)), où f et g désignent les fonctions qui apparaissent dans l'expression du paramétrage de ta courbe. Si on va jusqu'au bout de ce calcul, on doit trouver deux équations en (t1,t2). Si ces équations sont explicites, on a deux équations et deux inconnues : on peut isoler t1 et t2. Si l'une au moins est implicite on ne peut pas. Or, j'ai l'impression qu'il y a trop de variations d'ordre dans les puissances auxquelles sont élevées les inconnues t1 et t2 pour que tu puisses résoudre les équations d'annulation du gradient à la main.

Salut, comment faire alors ?

[Aleph69]

A part utiliser un solveur numérique d'équations non-linéaires, je ne vois pas.

[Onimaru]

A part utiliser un solveur numérique d'équations non-linéaires, je ne vois pas.

Salut,
Donc pour la distance euclidienne c'est compliqué.
Et si on utilise la 1-distance au lieu de la distance euclidienne ?

[Alexis.M]

Ils représentent quoi tes triplets ? Quel est le but final ? Il serait peut-être bon de le savoir pour choisir une mesure de distance adaptée.

[Aleph69]

Salut,

je n'ai pas essayé mais, à mon avis, munir ton espace de la distance l1 ne vas pas changer grand chose au problème. Tu vas simplement remplacer les carrés par des valeurs absolues. Du point de vue des calculs, il est même possible que cela soit plus compliqué. Passer en distance l6 permet de faire disparaître la racine carrée et la racine cubique mais cette apparente facilité est sans doute un leurre car les variations d'ordre entre tes différents termes ne seront pas modifiées. Cela peut tout de même se tenter si (par chance) tu arrives à des équations polynomiales de degré au plus 4 en effectuant les bons changements de variables. Alors, tu pourras résoudre ton problème à la main. Pour des degrés supérieurs, tu ne pourras pas. Il reste la distance max (ou infinie si tu préfères) que je t'avais proposée au début. L'intérêt est que tu peux étudier la norme de ton triplet composante par composante mais je n'ai pas écrit que c'était facile!

EDIT : oublie ce que j'ai écrit pour la distance l6. En fait, tu manipules des différences de racines en calculant la distance donc ça ne fera rien disparaître du tout.

[Onimaru]

Ils représentent quoi tes triplets ? Quel est le but final ? Il serait peut-être bon de le savoir pour choisir une mesure de distance adaptée.

Salut,
Les triplets représentent les trois moments statistiques des suites décrites dans ce post : http://www.developpez.net/forums/d12...e/#post6840020, comme vous voyez ils ne dépendent que de a et b.

Et comme le calcul de la distance euclidienne est compliqué j'ai pensé à la distance de manhatan avec une pondération pour chaque moment.

[Onimaru]

Salut,

je n'ai pas essayé mais, à mon avis, munir ton espace de la distance l1 ne vas pas changer grand chose au problème. Tu vas simplement remplacer les carrés par des valeurs absolues. Du point de vue des calculs, il est même possible que cela soit plus compliqué. Passer en distance l6 permet de faire disparaître la racine carrée et la racine cubique mais cette apparente facilité est sans doute un leurre car les variations d'ordre entre tes différents termes ne seront pas modifiées. Cela peut tout de même se tenter si (par chance) tu arrives à des équations polynomiales de degré au plus 4 en effectuant les bons changements de variables. Alors, tu pourras résoudre ton problème à la main. Pour des degrés supérieurs, tu ne pourras pas. Il reste la distance max (ou infinie si tu préfères) que je t'avais proposée au début. L'intérêt est que tu peux étudier la norme de ton triplet composante par composante mais je n'ai pas écrit que c'était facile!

EDIT : oublie ce que j'ai écrit pour la distance l6. En fait, tu manipules des différences de racines en calculant la distance donc ça ne fera rien disparaître du tout.

Salut et merci, effectivement les racines restent toujours, mais avec la 1-distance il n y aura pas de racine d'une somme de produits de racines et des trucs pareils, ce que je ne sais pas moi ce sont les étapes à faire pour calculer cette distance maximale.

[Aleph69]

Tu aurais dû commencer par ça! Merci Alexis!

Si je comprends bien, la racine carrée qui apparaît dans la deuxième composante de ton triplet est celle de la formule de l'écart-type. Pourquoi la mettre? Si tu maximises/minimises une somme de carrés, alors tu maximises/minimises la racine carrée de cette somme et réciproquement. Chercher les extrema de la variance reviendra au même... mais les calculs seront plus simples. Je ne connais pas le coefficient de dissymétrie. Est-ce que par hasard on connaîtrait son signe?

[Aleph69]

J'ai une autre question cruciale.

Dans le précédent topic que tu cites, tu cherches indépendamment les extrema de chacune des composantes de ton triplet. Or, telle que j'ai compris ton problème initial, tu cherches en fait les extrema pour le triplet global. Finalement, que cherches-tu?

EDIT : en fait, je ne comprends plus rien à ton problème! Pose-le proprement en reprenant les notations "moyenne, écart-type, coeff. de dissymétrie".

[Onimaru]

Tu aurais dû commencer par ça! Merci Alexis!

Si je comprends bien, la racine carrée qui apparaît dans la deuxième composante de ton triplet est celle de la formule de l'écart-type. Pourquoi la mettre? Si tu maximises/minimises une somme de carrés, alors tu maximises/minimises la racine carrée de cette somme et réciproquement. Chercher les extrema de la variance reviendra au même... mais les calculs seront plus simples. Je ne connais pas le coefficient de dissymétrie. Est-ce que par hasard on connaîtrait son signe?

Si vous avez besoin de savoir quelque chose vous n'avez qu'à me le demander

Chaque composante du vecteur représente un moment, malheureusement dans notre cas leurs formules rendent les calculs compliqués.

Je peux borner chacun de ces moments statistiques mais dans ce cas les triplets formés par les moments seront enveloppés par une sorte de cube ce qui est grossier car on ne peut pas trouver une suite dont les moments forment les coordonnées des coins du cube.

Ce que j'ai constaté moi c'est que si on prends la moyenne et l'écart-type ça forme un demi cercle, l'écart-type et le coefficient t de dissymétrie ça forme un cœur, la moyenne et le coefficient de dissymétrie un "S", bref les triplets présentés forme cette courbe, je veux calculer la distance maximale entre deux points de cette courbe avec la 1-distance.

[Onimaru]

J'ai une autre question cruciale.

Dans le précédent topic que tu cites, tu cherches indépendamment les extrema de chacune des composantes de ton triplet. Or, telle que j'ai compris ton problème initial, tu cherches en fait les extrema pour le triplet global. Finalement, que cherches-tu?

EDIT : en fait, je ne comprends plus rien à ton problème! Pose-le proprement en reprenant les notations "moyenne, écart-type, coeff. de dissymétrie".

mon problème est bien posé, dans la première discussion je parle de borner chaque moment à part et dans la deuxième discussion je parle de trouver une distance dans une courbe paramétrée, vous avez demandé l'origine de cette courbe et j'ai expliqué, je fait tout pour rendre ce nouveau problème indépendant du premier pour éviter toute confusion.

[Aleph69]

Si vous avez besoin de savoir quelque chose vous n'avez qu'à me le demander

Je m'exécute!

je veux calculer la distance maximale entre deux points de cette courbe avec la 1-distance

Pourquoi?

[Aleph69]

je fait tout pour rendre ce nouveau problème indépendant du premier pour éviter toute confusion.

Oui, effectivement, je ne pense pas qu'il y ait un rapport entre les deux problèmes. Mais s'il s'avérait que tu cherches à formuler le même problème d'une autre manière, je pense qu'il y a un souci.

[Onimaru]

Oui, effectivement, je ne pense pas qu'il y ait un rapport entre les deux problèmes. Mais s'il s'avérait que tu cherches à formuler le même problème d'une autre manière, je pense qu'il y a un souci.

Salut, en effet il y a un souci : celui de faciliter la compréhension du problème, car comme vous le voyez, quand j'ai mentionné le fait que la deuxième discussion découle d'une certaine manière de la première, la confusion s'est installée