Discussion :

[orpheu]

Bonjour à tous

Mon problème est soi-disant hyper-simple, mais je n'y arrive pas.
Je programme en VBA dans EXCEL pour tracer une ellipse autour d'un groupe de points dans un graphique. Je dois (je suppose) calculer l'axe et la forme de l'ellipse d'inertie, puis ensuite faire varier la grandeur pour englober plus ou moins les points sélectionnés
J'ai choisi la méthode suivante:
- calcul du centre, des variances et covariance, et donc de la matrice à diagonaliser... pas de problème
- diagonalisation (2x2): c' est là que ça commence à tilter!

1) première question: dites moi si je me trompe, s'il vous plait
je pense qu'il faut calculer les racines du polynôme caractéristique (degré 2)
£² - (Vx+Vy)£ + Vx*Vy-CV²
£ (je ne sais pas écrire un Lambda)
Vx, Vy : variances des x et des y
CV: covariance (x,y ou y,x) c'est pareil

j'obtiens VP1 et VP2 avec les racines "[-b ± Sqr(b²-4ac)] / 2a"

... et je ne trouve pas exactement la même chose que ce que j'ai vu dans des exemples...

2) deuxième question : comment obtenir l'équation du premier axe
Comme il passe déjà par le centre je n'ai besoin que d'un point caractéristique
J'ai choisi l'extrémité, dont il me semble que l'abscisse, projetée sur l'axe, est égale à VP1*x, et également égale à la racine carrée de la valeur propre

X² * VP1²= VP1
puis l'ordonnée, liée à X² par X² + Y²= VP1 (toujours la longueur du demi grand axe)

et là je tombe sur un carré négatif (1- 1/VP1)

Je m'arrête là.. .désolé d'être si long, mais il faut bien expliquer (à mon niveau je n'ai pas de vocabulaire synthétique)

Merci d'avance pour vos lumières.

[pseudocode]

Tu m'a l'air de vouloir faire une analyse en composante principale (ACP).

Un exemple de code ici (java), qui devrait te permettre de confirmer ton approche.

[orpheu]

Ca ressemble effectivement à l' ACP, dans le principe... mais en fait je ne cherche qu'à récupérer la technique... la puissance de l'ACP n'est pas destinée aux problèmes de (x,y)...

Je vais regarder le code que tu me donnes, mais je ne pratique pas Java.
En revanche, pour la seconde question, il m'a semblé que je devais plutôt simplement chercher un vecteur propre....

En observant le système U A = £U, j'ai cru comprendre que la direction de l'axe (la pente) correspond à quelque chose comme (£ -Vx)/CV... (£ étant la valeur propre concernée, Vx la variance des x, et CV la covariance)

Je vais vérifier dans mon programme ce que ça donne. La question serait résolue, même si j'aimerais bien savoir ce qui cloche dans ma première approche... mais, bon...;

En tout cas ... merci

[orpheu]

Re-merci, 'pseudocode'...

Je viens de regarder le code java que tu as indiqué... pas de pb, je comprends.
(un vieux dinosaure comme moi - 40 ans de programmation - voit que finalement presque tous les langages se ressemblent... sauf peut-être le matriciel!)

Juste un coup d'oeil pour vérifier qu'il s'agit exactement de la même démarche, sauf qu'il utilise une autre formule pour la détermination des vecteurs propres.

Ca va me faire bouger les méninges encore plus pour comprendre, mais dans tous les cas je suis sur d'avoir une solution

(j'attends un peu avant de clore la discussion, au cas où quelqu'un d'autre s'y intéresserait)

[pseudocode]

Juste un coup d'oeil pour vérifier qu'il s'agit exactement de la même démarche, sauf qu'il utilise une autre formule pour la détermination des vecteurs propres.

Ca va me faire bouger les méninges encore plus pour comprendre, mais dans tous les cas je suis sur d'avoir une solution

Par définition des vecteurs propres : A.v = L.v

C'est à dire, en dissociant les coordonnées x et y du vecteur v, ainsi que la matrice A:
a.vx + b.vy = L.vx
c.vx + d.vy = L.vy

en additionnant les 2 équations:

(a+c-L).vx = -(b+d-L).vy

d'où une solution évidente:
vy=(a+c-L) et vx=-(b+d-L)

[orpheu]

désolé, je croyais en être sorti mais...

faut abandonner l'idée de formules issues de la définition bifocale.

Rappel: pour programmer, on n'a que des +, des -, des * et des /... il faut décrypter le langage matriciel

Alors je me suis décidé à créer les points à partir de l'équation centrée réduite y²/a²+x²/b²=1, puis d'effectuer les transformations de changement de repère pour le dessin

Mes premiers essais me donnent bien l'ellipse, mais elle n'est pas orientée comme il faut. Je me trompe dans les formules permettant de passer de x',y' aux x,y à afficher.

J'ai bien le vecteur propre... en bref la pente de la droite est Cv/(VP1-Vx)
Direction de l'axe principal: Vecteur propre sur VP1 (Xp,Yp)
Xp*a + Yp*b = VP1*Xp
Xp*c + Yp*d = VP1*Yp
a,b,c,d étant la matrice de départ (variances covariance)
Yp = Xp( VP1-a)/b on se contente de la pente: b/(VP1-a)
P1 = Cv / (VP1 - VX)

Mais j'ai cru comprendre que pour passer des x' aux x il fallait utiliser:
x'=X * VP1 où:
x' est l'abscisse dans le repère factoriel
X est l'abscisse centrée dans le repère d'origine( celui dans lequel je dessine)
VP1 est la première valeur propre

Manifestement c'est faux, donc:

Peut-on me donner la formule permettant de passer de la coordonnée calculée par l'équation centrée réduite au repère initial, pour laquelle le vecteur propre est défini ci-dessus ?

[souviron34]

Alors peut-être que le code (Fortran) que j'avais posté dans la rubrique Contribuez t'aidera :

ellipse fitting algorithm

C'est tout bêtement un moindre-carrés généralisé permettant, étant donné un ensemble de points 2D (x,y), de trouver la meilleure ellipse les décrivant (centre, angle, petit axe et grand axe)

(fait simplement en développant l'équation x2/a2+y2/b2 = 1)

[pseudocode]

Mais j'ai cru comprendre que pour passer des x' aux x il fallait utiliser:
x'=X * VP1 où:
x' est l'abscisse dans le repère factoriel
X est l'abscisse centrée dans le repère d'origine( celui dans lequel je dessine)
VP1 est la première valeur propre

Manifestement c'est faux

Non, c'est vrai. Le produit scalaire donne la mesure de la projection d'un vecteur sur un autre.



Ca permet donc d'avoir la projection des points sur chacun des deux axes du nouveau repère, celui dans lequel l'ellipse est centrée/alignée => ca permet d'obtenir les 2 rayons de l'ellipse.

Soit P (p.x,p.y) un point dans le repère d'origine, C (c.x,c.y) le centre de masse (= centre du nouveau repère), V1 et V2 les 2 vecteurs propres (de préférence normés), et P' les coordonnées de P dans le nouveau repère, alors on a : CP' = ( CP.V1, CP.V2 )

C'est à dire

P'.x = (P.x-C.x)*V1.x + (P.y-C.y)*V1.y
P'.y = (P.x-C.x)*V2.x + (P.y-C.y)*V2.y

dans le repère (C,V1,V2).

[orpheu]

Tout d'abord, merci Souviron34, mais pour le dessin de l'ellipse, c'est OK: elle est bien jolie, mais dans son repère, bien couchée à l'horizontale

Mon pb c'est pour revenir au repère d'origine.. non pas pour la translation mais pour la rotation.

Ta réponse, pseudocode, me fait simplement penser que j'ai du confondre produit scalaire et simple multiplication... en fait la transformation du x' fait bien intervenir le y', et inversement, alors que moi je n'avais qu'une homothétie.

je vais tester dans le programme...

@+

[orpheu]

Ca y est, enfin, je l'ai....


Alors un grand merci à vous, surtout pseudocode...