Discussion :

[le y@m's]

J'ai effectivement oublié de dire que ce n'était une limite que si la série était convergente (oublie de taille je l'avoue ), je me suis un peu trop focalisé sur la série qui nous intéresse (qui elle est convergente et donc est une limite ^^).

[Jedai]

J'ai effectivement oublié de dire que ce n'était une limite que si la série était convergente (oublie de taille je l'avoue ), je me suis un peu trop focalisé sur la série qui nous intéresse (qui elle est convergente et donc est une limite ^^).

Une série n'est pas "une limite", une série a une somme si la suite de ses sommes partielles a une limite. En tant que telle si une série est convergente, sa valeur est sa somme, un nombre réel, 0,999... défini en tant que somme de série vaut 1.

Or une limite est une approche d'une valeur particulière ce qui ne me paraît pas être un "terme extrèmement vague..." mais bien une façon plutôt simple de dire que l'on se rapproche d'une valeur sans jamais l'atteindre (c'est pourquoi on dit aussi tendre vers).

Bam... Une limite est un nombre, pas une "approche" (si tu penses que ce nom commun n'est pas vague, définis le moi en formalisme mathématique). On ne dit jamais qu'une limite "tend vers...", du moins ni moi ni aucun mathématicien décent ne le fait, ce sont les suites ou les fonctions (dont les suites sont un cas particulier) qui "tendent vers..." une limite, laquelle est un nombre, juste un nombre !!!!!

La première démonstration utilise pourtant bien cette affirmation bien que cela sois implicite.
Lorsque l'on passe de la ligne
x = 0.999...
à
10x = 9.999...

On considère que le nombre de décimales de 9.999... (deuxieme ligne) est égal au nombre de décimales n de 0.999.. (première ligne). Ce qui reviens à poser n = n / 10 = infini. Or cela n'a pas de sens puisque l'infini n'appartient pas a R.

N'importe quoi : ici on utilise simplement la multiplication d'une série dans R par un réel, ce qui est parfaitement défini ne t'en déplaise...

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Jedaï

[alex_pi]

Bon allez, je me sacrifie pour reprendre depuis le début une dernière fois

1. Une suite de R est une famille de réels indexés par N.
2. Une suite (u_n) tend vers la limite l dans R si et seulement si pour tout epsilon strictement positif, il existe n_0 tel que pour tout n suppérieur à n_0, |u_n - l| < epsilon. On constate que la limite est un réel.
3. une série est une paire de suites (u_n) et (S_n), tel que pour tout n, S_n = \sum_{i=0}^n u_i (vous constaterez que cette somme étant finie, elle est trivialement définie...)
4. une série est dite "simplement convergente" quand la suite (S_n) converge. Dans ce cas, si S est la limite de la suite (S_n), S est aussi appelé la somme de la série. Là encore, c'est un réel, on ne peut plus classique. Une notation pour cette somme est S = \sum_0^+OO u_n. Là encore, c'est un réel, ça ne "tend" donc pas vers quoi que ce soit.
5. La série (u_n) (S_n) définie par u_n = 9*10^{- (n+1)} est simplement convergente de somme 1. En effet, S_n = 0,999...9 avec n+1 neuf après la virgule. Donc 1 - S_n = 10^{-(n + 1)}. Pour tout epsilon strictement positif, il existe n_0 tel que pour tout n > n_0, 10^{ -(n + 1)} < epsilon, donc |1 - S_n| < epsilon.
6. Par la notation plus haut, on a \sum_{n=0}^+OO (9 * 10^{- (n+1)} = 1
7. Sachant que pour tout n, 0,999...9 avec n+1 neuf après la virgule est S_n, il est naturel de poser que 0,9999... = lim S_n = \sum_{n=0}^+OO (9 * 10^{- (n+1)} = 1. Ceci est un réel on ne peut plus classique.

Maintenant, s'il y a quelque chose que vous ne comprenez pas, demander, mais par pitiée, que les gens qui ne savent pas faire de maths arretent les affirmations telles que "c'est faux", "ce n'est pas défini", "c'est une limite donc ça tend vers", "l'infini n'est pas défini", "je ne suis pas d'accord", etc.