Discussion :

[TheXbizkit]

Bonjour à tous,

Dans le cadre d'un projet je cherche à réaliser l'intégration d'une formule assez compliquée avec MATLAB. Cette fonction contient notamment plusieurs termes de la forme exp(f(x)) avec f(x) qui peut prendre des valeurs élevées (par exemple : de l'ordre de 1e4) ce qui résulte en exp(f(x))=Inf.

Le résultat final n'est donc pas utilisable.

Avez-vous une idée sur la façon à procéder pour ajouter une sorte de facteur d'échelle sans changer le résultat final?

Merci par avance pour votre aide.

[wiwaxia]

Bonjour,

Je découvre tardivement ce sujet, mais je choisis d'y répondre à toutes fins utiles puisqu'il n'a reçu jusqu'à présent aucun écho.

C'est un problème classique de sortie de l'intervalle de définition, que l'on rencontre parfois pour les fonctions rapidement croissantes (entre autres les exponentielles). Il faut dans ce cas réaliser une factorisation appropriée, qui conduit à une nouvelle fonction et permet de rentrer dans le domaine souhaité.

Soit f_max la plus grande valeur de f(x) sur l'intervalle considéré et N = Int(f_max/Ln10) la partie entière du quotient q = f_max/Ln10 ;
ces termes vérifient par définition: f(x) <= f_max et (q - 1) < N <= q .

La fonction à intégrer F(x) = exp[f(x)] devient:

F(x) = exp[N.Ln10 - N.Ln10 + Ln10.f(x)/Ln10] = exp[N.Ln10].exp[Ln10.(f(x)/Ln10 - N)] = (10^N).G(x) avec

G(x) = 10^[f(x)/Ln10 - N] .

Cette nouvelle fonction est limitée supérieurement, en raison des conditions imposées aux deux termes de l'exposant; on a en effet:

f(x)/Ln10 <= f_max/Ln10 = q et -N < 1 - q ce qui entraîne: G(x) < 10^[q + 1 - q] = 10 donc la disparition des valeurs trop grandes pour être calculées.

Un exposant négatif très bas (observé par exemple pour f(x) ~ 0 conduisant à G(x) ~10^(-N) ) ne bloquera pas l'exécution du programme, le logiciel donnant alors pour résultat G(x) = 0 , ce qui s'accorde avec la contribution négligeable de tels termes dans le calcul de l'intégrale, et la précision limitée du calcul numérique (16 chiffres environ).

J'ai rencontré ces conventions numériques dans Scilab; on trouve sans doute des conditions analogues pour les autres logiciels.

J'espère que cette réponse n'est pas trop assommante - désolé pour les éventuels effets secondaires