Discussion :

[Alexis.M]

Je veux bien une explication précise de cette différence...

C'est très simple.
Tu confonds un problème d'estimation des paramètres d'une loi et un problème d'interpolation linéaire.

Dans le premier cas, tu connais un point (6,9) et tu présupposes une loi
f(x) = a*x. Tu as donc un paramètre et comme tu as un point tu peux l'estimer
a = f(x)/x.

Si la loi que tu as présupposer (sans autre preuve que le bon sens) est bonne
tu peux alors l'appliquer en tout point x.

Dans le deuxième cas tu as deux points (0,0) et (6,9). Tu n'as pas d'idées a priori de la fonction qui a générer ces deux points mais tu a quelques a priori sur les propriétés de la fonctions notamment un a apriori fort qui est celui de la continuité. N'ayant que deux points, le mieux que tu puisses faire
c'est une interpolation linéaire.

Si la fonction "mystère" est assez lisse | f'(x) | < e pour tout 0<x<6, tu as même des garanties quant au fait que l'erreur sur l'estimation obtnenue par interpolation linéaire est bornée. Par contre plus l'échantillonnage est fin, plus e peut être grand. Ce la correspond intuitivement au fait que si ta fonction oscille beaucoup il faut un échantillonnage fin pour que l'erreur d'approximation reste faible.

Au passage, l'interpolation linéaire et à la base de toute l'analyse (la discipline). Pense à la définition de la dérivée:

f'(x) = lim_{x1 -> x} (f(x1) - f(x))/(x1-x)

Intuitivement, tu prends un point en x et un autre en x1 et tu considère la pente de la droite joignant les deux points. Le dérivée correspond à cette pente lorsque x1 devient infiniment proche de x.

Dans les méthodes d'intégration numériques comme la méthode des trapèzes, l'interpolation linéaire est utilisée pour approchée la fonction à intégrer. Encore une fois, la qualité de l'approximation de l'intégrale dépends grandement des propriétés locales de la fonction. En effet si la fonction évolue plus vite que le pas d'échantillonnage, appliquer la méthode des trapèze n'a pas de sens.

Un petit exemple : prends quelques points de données sur un intervalle de R, à valeurs dans [-K,K], issus de la fonction ayant les bonnes propriétés de ton choix.

Tu peux faire passer par ces points une fonction sinus, f(x)=K sin(ax) (continue, dérivable, dérivées bornées, valeurs dans un compact, rien que de bonnes propriétés), avec un seul degré de liberté, la période du sinus (tu n'as pas besoin de phase si tu interdis l'abscisse 0 à tes données)

En fait, tu peux interpoler tes points (quel qu'en soit le nombre) par une infinité de fonctions sinus, en augmentant leur fréquence jusqu'à obtenir une sorte de "gribouillage" du segment.

Ces fonctions sont assez différentes les unes des autres. Es tu bien sur que ces interpolations ne s'éloignent pas trop de la fonction d'origine? Ou peut être doit on disqualifier le sinus comme interpolant...

En fait tu t'éloignes de la notion d'interpolation qui n'utilises que des propriétés locales (quelques points de part et d'autre de la zone à approcher)
pour te rapprocher d'un problème d'estimation de modèle où le nombre de paramètre correspond exactement au nombre de contraintes (pas de sur-détermination). Dans ce cas, il il est fort probable que le résultat n'ait pas de sens. Notamment, tu n'est pas sur de pouvoir garantir des contraintes sur le caractère lisse où non de la dérivée de la fonction (dérivée bornée). C'est pour la même raisons que lorsque l'on a n points à interpoler
on préfère utiliser un modèle quadratique par morceaux (parabole estimée sur trois points consécutifs) plutôt qu'un seul polynôme de degré n-1.

Prends maintenant l'exemple inverse: une fonction inconnue y=sin(ax), continue, dérivable, régulière... Prèlèves y quelques points de données provenant de cycles éloignés les uns des autres. En fonction du nombre, tu vas pouvoir y faire passer une belle droite, une parabole bien lisse, ou des splines qui auront fière allure.

Le résultat sera-t-il voisin de la fonction de départ?

Non mais parce que tu sors du cadre où l'interpolation devient valable, l'intervalle entre les points d'interpolation est trop grand par rapport aux valeurs que peut prendre la dérivée.

C'est exactement le même problème lorsque tu choisis d'estimer les paramètres d'un modèle sur des points qui n'ont rien à voir avec ton modèle. Tu sors du domaine de validité de ton modèle.

La différences entre les deux cas c'est que dans un cas (interpolation) tu te bases sur des propriétés locales de la fonction, alors que dans l'autre tu utilises des propriétés globales (fonctions paramétrées).

Quand tu quittes un appartement, et que tu répartis les charges au prorata temporis, la formule n'a aucun sens: les charges ne sont pas linéaires, voire certaines ne sont calculées qu'une fois l'an (impots locaux). On n'approxime pas une fonction inconnue, mais on fait une interpolation.

Ici il ne s'agit pas d'une interpolation. Comme pour le problème des œufs, il s'agit d'appliquer une loi de proportionnalité estimée à partir d'un point. Celui-ci n'étant pas entaché d'erreur, il est suffisant pour estimer l'unique paramètre de la loi connue.

Tu considères apparemment que l'interpolation est une forme d'approximation, dans le sens où si on interpole, c'est forcément pour approcher une fonction inconnue.

C'est exactement ça. Et il semble en effet que ce soit le point de départ de nos divergences d'opinions. C'est une bonne nouvelle car nous savons maintenant quel point il faut éclaircir. Tout le reste de la discussion (animée) en découle, me semble-t-il.

Ca me parait erroné pour deux raisons:
- d'abord parce qu'il y a toutes sortes de cas où le but n'est pas d'approcher une fonction mais d'obtenir une valeur

Trois possibilités:
1) Tu as deux points et tu sais qu'ils sont liés par une fonction linéaire, tu profite de cette connaissance a priori pour estimer les paramètres de la loi et tu peux ensuite l'appliquer en tout point où tu la supposes valable.
2) Tu ne sais pas quelle loi a généré les points mais tu fais des suppositions
concernant les propriétés de cette loi: elle doit être continue, et son gradient est de magnitude bornée. Alors tu sais qu'en interpolant linéairement entre ces deux points tu ne t'éloigneras pas trop de la fonction de départ et tu peux donner une borne sur l'erreur que tu commets.
3) Tu n'as aucun a priori sur la fonction. Dans ce cas tu ne peux rien faire.

- ensuite parce que dans ce contexte, l'interpolation serait à proscrire, parce qu'elle ne garantit rien en terme d'approximation de la fonction sous jacente (si ce n'est l'égalité des valeurs aux points d'interpolation...)

Si, elle garantie des bornes sur l'erreur d'approximation tant que les hypothèse que tu utilises sur les propriétés de la fonction tiennent.

[souviron34]

Pour une discussion générale sur le lien entre interpolation et approximation il y a également: Interpolation and Approximation de Philip J. Davis

Nous n'avons jamais prétendu qu'il n'y avait pas de LIENS ... Bien au contraire, nous l'avons toujours souligné.

Mais simplement, comme le démontre l'usage du mot and par Davis, que ce sont 2 notions différentes. Sinon il n'en aurait utilisé qu'un seul.



A vous deux : si il y a des appellations différentes cela recouvre des notions différentes.

Je n'ai pas envie de me lancer dans une destruction point par point de vos élucubrations, qui sont du meme acabit que les fameuses "démonstrations" du "1 = -1".

Ne serait-ce qu'avoir à discuter de la différence entre les 2 notions montre à quel point tout ceci est absurde..

Je vous invite a revenir aux définitions du Larrousse données plus haut : contrairement à ce que Aleph69 pense, le francais, comme l'anglais, est une langue précise, et les mots ont une signification, établie, et dument enregistrée dans les dictionnaires, sans avoir recours à une quelconque subtilité technique qui ferait que quand on dit l'un on voudrait dire l'autre.


@Alexis : que vient faire la notion de dérivée ici ??????????????


Franchement, tout ceci est ahurissant, et attristant par rapport à l'enseignement et à ce qu'on vous a transmis...

[Alexis.M]

Franchement, tout ceci est ahurissant

Tout à fait d'accord.

et attristant par rapport à l'enseignement et à ce qu'on vous a transmis...

Tout à fait d'accord.


Avant de conclure définitivement cette discussion de sourds, j'aimerais tout de même ajouter que la grossièreté et l'insulte, même cachés (à peine) sous un langage policé n'ont en aucun cas valeur d'argument.

PS: relisez vos références

[Invité]

Tu confonds un problème d'estimation des paramètres d'une loi et un problème d'interpolation linéaire.

Dans le premier cas, tu connais un point (6,9) et tu présupposes une loi
f(x) = a*x. Tu as donc un paramètre et comme tu as un point tu peux l'estimer a = f(x)/x.

Si la loi que tu as présupposer (sans autre preuve que le bon sens) est bonne
tu peux alors l'appliquer en tout point x.

Dans le deuxième cas tu as deux points (0,0) et (6,9). Tu n'as pas d'idées a priori de la fonction qui a générer ces deux points mais tu a quelques a priori sur les propriétés de la fonctions notamment un a apriori fort qui est celui de la continuité. N'ayant que deux points, le mieux que tu puisses faire
c'est une interpolation linéaire.

Donc, si je résume, dans le premier cas on fait l'hypothèse que la fonction est linéaire et on en estime le paramètre. Donc ce n'est pas une interpolation linéaire.

Dans le second cas, on ne fait pas d'hypothèse sur la fonction (enfin, si on en fait sur sa régularité), mais on décide qu'on va utiliser (parce qu'on n'a que deux points), une fonction d'interpolation linéaire qui revient à présupposer un modèle linéaire. D'ailleurs, on fait le même calcul que dans le premier...

Moi je veux bien tout ce qu'on veut, mais je ne vois toujours pas la différence. Et je suis un peu convaincu (cf l'exemple des charges locatives) que tu réserves le mot interpolation aux seules "données pures", issues d'un cadre formel, et emploi un vocabulaire différent quand on fait la même chose dans le monde réel (cf ta remarque plus haut sur le fait de "joindre les points pour faire de belles courbes").

Si la fonction "mystère" est assez lisse | f'(x) | < e pour tout 0<x<6, tu as même des garanties quant au fait que l'erreur sur l'estimation obtnenue par interpolation linéaire est bornée.

Si la dérivée de f est très proche de zéro en tout point de l'intervalle, la fonction mystère est "quasiment linéaire" et l'interpolation linéaire permet une bonne approximation de celle ci. C'est un peu tautologique, non?

Dès qu'elle ne l'est plus, même sans faire prendre à e des valeurs extrèmes, rien ne va plus. Pour un sinus ou un cosinus de période 2 PI (une période sur l'intervalle [0,6]), on a e=1, ce qui n'est pas une valeur énorme... Et pourtant, l'approximation linéaire obtenue en traçant une droite allant de cos(0) à cos(6) est assez mauvaise...

Inversement, on doit pouvoir trouver des fonctions ayant une borne e très élevée, mais qui s'approchent bien linéairement.

Je crois que tu n'utilises pas les bons outils. Ce que tu veux ici, ce sont des notions de type epsilon-entropie, qui permettent justement de quantifier ces garanties d'approximation (dans le cas déterministe où les données sont considérées comme exactes, comme dans le cas statistique où elles sont entachées d'erreur)


On parle ici d'approximation de fonction, pas d'interpolation. La preuve, c'est que tu es obligé de faire des hypothèses sur la régularité d'une "fonction sous jacente", sur tout l'intervalle.

Mais une fois de plus, si tu définis l'interpolation comme "une approximation contrainte à passer par les points de données", alors la distinction disparait.

(Ca choque des vieux comme Souviron et moi, parce qu'on a lu des tas de livres sans doute faux qui disent le contraire...)


[Edit] Puisque tu viens nous faire la morale sur l'insulte et la grossièreté, tu n'as pas l'impression que, compte tenu des références que les participants à cette discussion ont citées, un commentaire comme

Au passage, l'interpolation linéaire et à la base de toute l'analyse (la discipline). Pense à la définition de la dérivée:

f'(x) = lim_{x1 -> x} (f(x1) - f(x))/(x1-x)

Intuitivement, tu prends un point en x et un autre en x1 et tu considère la pente de la droite joignant les deux points. Le dérivée correspond à cette pente lorsque x1 devient infiniment proche de x.

est un rien malvenu?

Je peux me tromper, mais à en juger par ta façon de tout présenter sous forme de lois dont on estime les paramètres, et ton désir d'isoler la régression comme une opération particulière, j'ai l'impression que tu connais mieux les statistiques (paramétriques) et le calcul numérique que de l'analyse (la branche des maths).

Francois

[Alexis.M]

Je peux me tromper, mais à en juger par ta façon de tout présenter sous forme de lois dont on estime les paramètres, et ton désir d'isoler la régression comme une opération particulière, j'ai l'impression que tu connais mieux les statistiques (paramétriques) et le calcul numérique que de l'analyse (la branche des maths).

Je l'admets volontier et je tiens à m'excuser si, sur le coup de l'exaspération, j'ai pu devenir offensant.

@fcharton, je te suis en tout cas reconnaissant d'avoir bien voulu suivre mon raisonnement, même si je ne t'ai pas convaincu.

au lieu de "|f'(x)| < e", j'aurais plutôt dû écrire "|f(x) - a | < e" où a est la pente de la droite estimée à partir des deux points entourant x. En effet il y a tautologie "l'approximation est bonne tant que la courbe ne s'éloigne pas trop d'une comportement linéaire", mais elle est du même ordre que de dire qu'une régression linéaire fonctionne mieux pour des données issue d'une loi linéaire.

Dans le cas des exemples dont nous avons discuté en effet ce sont les mêmes calculs qui sont en jeu, quoique, comme Aleph69 il me semble, je pense que leur formuation est essentiellement différentes.

Un dernier exemple. J'ai un robot explorateur, qui de temps en temps emet un signale donnant sa position. J'ai donc des points ((xi,yi),ti).

1) Le problème équivalent à celui du prix des œufs pourrait être:
on sait le robot se déplace en ligne droite pendant un certain temps puis s'arrête, émet son signal et repart dans une autre direction.

Pour reconstruire sa trajectoire je n'ai qu'à joindre les points parce que je
sais que la trajectoire est une ligne brisée et que je connais les points de changement de direction. Je n'ai aucun doute sur la trajectoire je n'ai qu'à appliquer des formules pour trouver les paramètres des segments de droites.

2) Le problème est différent si je n'ai plus autant d'apriori sur le moment
où le robot émet ses signaux (pas forcement aux changement de direction). Par contre étant donné les caractéristique physiques du robot comme sa vitesse de déplacement (ce qui correspond
au contraintes sur la classe de fonction: elle ne peut pas s'écarter arbitrairement de la tendance moyenne), je sais qu'en traçant la ligne qui joint deux points d'émission, je vais commettre une erreur que je peux borner à partir de la donnée de la vitesse de déplacement et du temps écoulé. Si on a d'autres a priori sur le type de trajectoire, par exemple que celle-ci est lisse (pas de coudes), l'utilisation d'un polynôme d'interpolation d'ordre supérieur (3 points au lieu de 2) pourrait donner de meilleurs résultat.

Donc si on considère que 1) est de l'interpolation, j'admets qu'en effet il n'y a pas de notion d'approximation. Toutefois dans l'exemple 2) il me paraît clair que, au moins, l'interpolation peut être utilisée comme méthode d'approximation (une méthode d'approximation où l'on impose le passage par les points de contrôles), où il est même possible d'estimer l'erreur commise.

C'est en tout cas plutôt comme ça qu'est introduit la notion d'interpolation dans mes ouvrages de référence. Le cas 1) correspondrait au cas limite où les contraintes sont telles qu'il n'y a plus de doute sur la fonction sous-jacente (par exemple la distance parcourue entre les points correspond exactement à celle que peut parcourir le robot pendant le temps qui sépare les deux emissions).

[Alexis.M]

Voilà ce que j'appelle un problème d'interpolation typique:
- J'ai une série de points (xi,f(xi)), i=1..n
- Je ne connais pas la formule de f(x)
- J'applique une interpolation

Dans les pièces jointes j'ai représenté:
- image 1: la fonction "mystère" de départ
- image 2: les points dont on dispose
- image 3: les résultats avec interpolation linéaire et quadratique
- image 4: un zoom sur la superposition de la fonction de départ
et l'interpolation quadratique. A l'échelle de départ il est impossible de les distinguer.

la fonction mystère: f(x) = 0.1 * sin(10*x) + x**2


[edit]
Je reprends le cas des œufs dans un cadre plus réaliste:
- Sur courses.carrefour.fr, les 30 œufs frais calibre moyen carrefour discount
coûtent 3.12 €, combien coûtent 10 œufs ?

La réponse correcte sans autre indication devrait être 1.04€ environ. Parce que je sais que pour des problèmes de conditionnement le prix unitaire (la pente de la courbe) peut varier un peu. En prenant pour hypothèse (la sachant fausse mais pas trop) que le prix unitaire est constant (interpolation linéaire) je trouve 1.04 €.

Le prix réel sur le site étant, au moment où j'écris 1.05€, en approchant le prix des œufs par une fonction linéaire, je commets une erreur de 0.01 €.

Ceci est un exemple pratique d'interpolation. Le principe étant: je sais que je me trompe mais de pas beaucoup.

http://courses.carrefour.fr/recherche/$0153ufs/true
[/edit]

[souviron34]

Voilà ce que j'appelle un problème d'interpolation typique:
- J'ai une série de points (xi,f(xi)), i=1..n
- Je ne connais pas la formule de f(x)
- J'applique une interpolation

Dans les pièces jointes j'ai représenté:
- image 1: la fonction "mystère" de départ
- image 2: les points dont on dispose
- image 3: les résultats avec interpolation linéaire et quadratique
- image 4: un zoom sur la superposition de la fonction de départ
et l'interpolation quadratique. A l'échelle de départ il est impossible de les distinguer.

la fonction mystère: f(x) = 0.1 * sin(10*x) + x**2

Ce que tu n'arrives pas à comprendre , c'est que ca n'est PAS une question d'ECHELLE.. C'est une question de PRINCIPE.

Ce pourquoi j'ai appelé plus haut "des élucubrations absurdes", je vais l'expliciter de 2 manières :

• - Une manière vulgaire : vos raisonnements et exemples sont exactement du style "si ma tante en avait 2 on l'appellerait mon oncle". C'est bien joli, mais justement ma tante n'en a pas 2, et c'est bien pour ca qu'on ne l'appelle pas "mon oncle"...
  
  
• - Une manière plus mathématique , qui j'espère finira par vous faire comprendre votre absurdité : votre raisonnement est exactement comme si l'on disait :
  
  puisque, conceptuellement, un entier peut être imaginé comme un réel dont la partie entière est cette valeur et dont la partie décimale est faite d'une infinité de 0, alors tout nombre entier peut être considéré comme un cas particulier d'un nombre réel, (donc N est un cas particulier de R) et par conséquent il suffit d'utiliser le mot réel pour désigner tout nombre.
  
  Vous conviendrez avec moi que il y a bien pourtant des propriétés différentes entre les 2, et que c'est bien pour ca qu'on a 2 noms : entiers ET réels..
  
  Que ce soit en mathématiques pures ou en informatique, il serait bien tiré par les cheveux de concevoir une boucle qui tourne 2.0000034 fois, ou bien une valeur stockée à l'indice 2.234 ou 2.00000000000000034 ou 2.000000000000000000000000000000034... (et c'est bien pour ca qu'il y a des "cast")

Alors excuse-moi si je deviens cassant, mais tu conviendras que remettre en cause une base comme la séparation des noms et concepts entre entiers et réels, ce que vous faites ici pour approximation et interpolation, est un brin................. énervant après 4 pages ou on essaye de vous expliquer...



Quant à la partie :

Voilà ce que j'appelle un problème d'interpolation typique:

justement tu as tout faux, puisque justement c'est un problème d'approximation...

[Alexis.M]

justement tu as tout faux, puisque justement c'est un problème d'approximation...

Que je traite grâce à l'interpolation...

[Alexis.M]

J'ai compris je crois :-)

1) L'interpolation consiste à faire passer une courbe par des points
2) L'approximation consiste à faire passer une courbe au plus près d'un ensemble de points ou d'une autre courbe.

Donc interpolation != approximation.

Sommes-nous d'accord jusqu'ici ?

On peut utiliser l'interpolation comme technique pour faire de l'approximation de fonction/courbe, auquel cas cette méthode d'approximation a pour spécificité de passer par tous les points connus.

Sommes-nous d'accord jusqu'ici ?

Toutefois, mon point de vue (discutable) reste que s'il n'y a pas de fonction à approcher, qu'elle soit connue ou non, l'interpolation n'a pas de raison d'être.

Là je sais que nous ne sommes pas d'accord.

Cette discussion m'a en tout cas donné l'occasion de me replonger dans des bouquins de référence et de redonner un cadre formel à des notions que je n'appréhendais que de manière intuitive, ce processus passant chez moi par la voie de ce que certains appelleront des élucubrations et je m'en excuse. Merci donc à tous les intervenants.

[souviron34]

Que je traite grâce à l'interpolation...

Euh.. non..

Tu ne déduis pas l'expression théorique de la courbe de tes interpolations.. Puisque tu fais des interpolations linéaires ou quadratiques..

Tu constates à l'oeil que les résultats se rapprochent..

J'ai compris je crois :-)

1) L'interpolation consiste à faire passer une courbe par des points
2) L'approximation consiste à faire passer une courbe au plus près d'un ensemble de points ou d'une autre courbe.

Donc interpolation != approximation.

Sommes-nous d'accord jusqu'ici ?

OUF !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

oui enfin... presque....

Quand tu dis :

1) L'interpolation consiste à faire passer une courbe par des points

Non.. Une interpolation consiste à INVENTER des points dans un trou entre 2 autres points connus...

Que cette interpolation soit une courbe lorsque l'on prend plusieurs points est une contrainte que l'on peut imposer ou non.

• Dans une interpolation linéaire, il n'y a PAS de courbe reliant tous les points : on a une ligne brisée.
• Dans une interpolation de spline par exemple, on a un ensemble de cubiques, pour lesquelles on impose la contrainte qu'elles soient continues en dérivées premières et secondes aux points de jonction. On a donc bien quelque chose que l'on pourrait appeler une "courbe" parce que c'est continu, mais cependant cela n'en forme pas une, car c'est en fait une série de courbes (piecewise cubic splines)

Pour le 2 nous sommes d'accord, c'est ce que je me tue à dire depuis le début !!!!!!!!!!!!!!!

On peut utiliser l'interpolation comme technique pour faire de l'approximation de fonction/courbe, auquel cas cette méthode d'approximation a pour spécificité de passer par tous les points connus.

Sommes-nous d'accord jusqu'ici ?

Non

Comme dit dans le post précédent, de ton interpolation tu ne peux pas déduire une courbe, une fonction..

Tu ne peux que constater que les résultats se ressemblent...

Toutefois, mon point de vue (discutable) reste que s'il n'y a pas de fonction à approcher, qu'elle soit connue ou non, l'interpolation n'a pas de raison d'être.

Là je sais que nous ne sommes pas d'accord.

Absolument, nous ne sommes pas d'accord, car c'est le contraire

Si il n'y a pas de fonction à approcher, il ne reste QUE l'interpolation...

C'est l'approximation qui n'a pas de raison d'être...









@Francois, Jean-Marc, et qui veut :

Ce fil est tellement ahurissant que je bout intérieurement...

J'en viens à vouloir faire une lettre ouverte d'indignation envers les manquements de l'enseignement..

• des mathématiques, pour ne pas avoir enseigné les bases
• de la culture générale et du francais, pour ne pas avoir enseigné le respect des mots et de la langue, et que les mots ont un sens, qui est précisément donné dans les dictionnaires.
• de la morale, pour ne pas avoir enseigné l'humilité

On pourrait ajouter à ce fil :

en mathématiques le non-enseignement d'une base aussi fondamentale que les ordres de grandeur, règles de trois, et bon sens, dans la discussion algo : intersection de 2 segments, ou il apparaitrait comme nécessaire (!!!!!!!???????!!!!!!!) d'avoir une précision infinie et une bibliothèque de très grands nombres pour faire du dessin industriel à une précision du micron...

ou la notion que l'infiniment petit et l'infiniment grand n'ont rien à voir (un fil sur Actualités), ou que si on est scientifique on est forcément non-croyant et que on est capable de démontrer la non-existence de Dieu (2 fils sur Politique)...

J'ai une amie journaliste à l'Express et un à Libé.

Qu'en pensez-vous ??


Parce que franchement, tout ceci est ahurissant..

[Invité]

@Francois, Jean-Marc, et qui veut :
Ce fil est tellement ahurissant que je bout intérieurement...

Je suis également un peu épaté. J'ai déjà eu ce genre d'échanges bizzares sur internet, mais il me semble qu'il y a quelques années c'était l'exception, et que cela devient la norme.

Ceci me conforte dans l'idée qu'on a tort de prendre les forums trop au sérieux, et d'y consacrer du temps. A moins de sélectionner précisément ceux avec qui on parle, les échanges sont souvent pauvres et répétitifs.

Je crois que cela montre la "supercherie 2.0", cette idée d'une "mise en réseau du savoir", par l'internet, qui enrichirait tout le monde. L''internet, ne partage pas le savoir mais le dilue dans une quantité de plus en plus grande d'approximations.

Et c'est d'autant plus ennuyeux que l'éducation supérieure moderne produit de plus en plus de gens bardés de certitudes, mais très mal formés au raisonnement et à l'argumentation (il suffit de voir la facilité avec laquelle les discussions dégénèrent).


Je crois que c'est Knuth qui a déclaré un jour (il y a longtemps) qu'il était maintenant assez vieux pour se passer d'email. Pour l'internet et les forums, la question est posée...

Francois

[souviron34]

bon, je vais y réfléchir..

Moi ce qui me rend enragé (et ce n'est pas de la faute des intervenants), c'est que ces personnes, Bac+5 ou plus, jeunes professionnels, aient en eux moins de connaissances de fond que nos grand-parents au Certificat d'Etudes, dans une société qui se prétend supérieure à ce qui se faisait avant...

On pourrait ajouter à la liste ci-dessus qu'il apparait comme normal à certains BAC+X que la Science fonctionne à la majorité de ceux qui parlent le plus fort , ou qu'un mec de Sciences-Po qui a 30 ans et a fait une société de conseil et un blog est plus susceptible de dire la Vérité Scientifique qu'un géologue en fin de carrière, bardé de reconnaissances internationales (fil sur le Réchauffement Climatique)

On pourrait aussi ajouter des profs qui disent que la logique s'apprend par l'enseignement de l'informatique, ou qu'il est plus essentiel pour un étudiant de lycée de savoir utiliser tel ou tel logiciel ou de comprendre le concept de fichiers que de connaitre l'Histoire ou la Philo (un débat sur une loi de Sarko)

Nous sommes , si l'on en croit ce genre de choses, qui, comme tu le soulignes, sont de plus en plus fréquentes, en plein déclin intellectuel, déja bien loin en arrière sur le Siècle des Lumières, et meme avant... ou, en pleine Renaissance, un étudiant de 19 ans connaissait déjà 4 ou 5 langues, plus la philo, la théologie, un peu de médecine et des maths...



@Alexis.M :

Je m'apercoit que j'ai pu te brouiller un peu avec mes explications sur ton problème.. Je m'explicite :

Voilà ce que j'appelle un problème d'interpolation typique:
- J'ai une série de points (xi,f(xi)), i=1..n
- Je ne connais pas la formule de f(x)
- J'applique une interpolation

Dans les pièces jointes j'ai représenté:
- image 1: la fonction "mystère" de départ
- image 2: les points dont on dispose
- image 3: les résultats avec interpolation linéaire et quadratique
- image 4: un zoom sur la superposition de la fonction de départ
et l'interpolation quadratique. A l'échelle de départ il est impossible de les distinguer.

la fonction mystère: f(x) = 0.1 * sin(10*x) + x**2

Lorsque tu fais 2 et 3, tu fais bien une interpolation.

• Le fait de superposer la fonction de départ ne t'avance à rien de plus, comme dit plus haut : tu ne peux pas déduire l'expression de la fonction de ta série d'interpolations.
  
  
• Si maintenant tu fais un algorithme qui compare ta fonction de départ à tes interpolations, en ajoutant des points par exemple à 25, 50, et 75% de chacun de tes intervalles, et que tu mesures un écart global avec tes diverses interpolations, là tu fais une approximation, et tu peux en déduire que , parmi les solutions essayées, la meilleure approximation est celle correspondant à... De là tu pourras donc dire que "tu approches la fonction f(x) par ..."

Mais des interpolations seules tu ne pourras jamais déduire la fonction de départ..

• Pour faire une approximation, il te faut des points et une forme de fonction, et tu ne passeras pas forcément par tous les points.
• Pour faire une interpolation, tu n'as besoin que des points, et tu passeras forcément par eux

[Alexis.M]

• Le fait de superposer la fonction de départ ne t'avance à rien de plus, comme dit plus haut : tu ne peux pas déduire l'expression de la fonction de ta série d'interpolations.

Ce n'est d'ailleurs pas ce que je cherche à faire.

[*]Si maintenant tu fais un algorithme qui compare ta fonction de départ à tes interpolations, en ajoutant des points par exemple à 25, 50, et 75% de chacun de tes intervalles, et que tu mesures un écart global avec tes diverses interpolations, là tu fais une approximation, et tu peux en déduire que , parmi les solutions essayées, la meilleure approximation est celle correspondant à... De là tu pourras donc dire que "tu approches la fonction f(x) par ..."[/LIST]

Si j'appelle gi(x) la fonction qui me sert à interpoler entre x[i] et x[i+1]

je peux calculer l'erreur d'interpolation entre x[i] et x[i+1]:
err = \int_x[i]^x[i+1] (gi(x) - f(x))^2 dx

C'est le même principe que de reprendre des valeurs entre deux points consécutifs ("25, 50 et 75%") sauf que comme la formule que j'utilise pour interpoler me permet de définir une valeur en tout point de l'intervalle, je peux intégrer. (Et je peux le faire tant que gi[x] est continue presque partout. En pratique, gi est le plus souvent continue mais on pourrait très bien utiliser une fonction constante par morceaux.)

La définition de l'erreur est valable, pour toute fonction gi définie sur l'intervalle [x[i],x[i+1]]. La seule particularité est que comme je fais une interpolation, f(x) et gi(x) coïncident en x[i] et x[i+1].

si je définis

g(x) = gi(x) pour x[i] <= x < x[i+1], i = 1,...,(n-1)

g(x) est (ou peut être vu comme) une fonction définie sur l'intervalle [x[1],x[n]]. Il y a évidemment une fonction gi pour chaque intervalle.

Et

err = \int_x[1]^x[n] (g(x) - f(x))^2 dx

mesure l'erreur que je commets en remplaçant f(x) par g(x) sur l'intervalle [x[0]...x[n]] ou, autrement dit, mesure avec quelle précision je m'approche de f(x).

Si en pratique, ma fonction f(x) est compliquée, l'interpolation me permet donc de la remplacer par une fonction g(x) approchante potentiellement plus simple à calculer.

@souviron34, es-tu d'accord avec mon raisonnement ?

Je suis désolé si à chaque fois mes explications sont longues mais je préfère être le plus précis possible quitte à écrire des trivialités.

[Aleph69]

Bonsoir à tous,

je me permets d'intervenir dans la discussion pour réagir à certains propos qui n'ont pas forcément grand chose à voir avec la discussion technique initiale sur laquelle nous resterons manifestement en désaccord.

De façon générale, mon impression personnelle est que vous reprochez vos propres travers à vos interlocuteurs mais je vais détailler. Je laisse à chacun le soin d'identifier ses citations.

Moi ce qui me rend enragé (et ce n'est pas de la faute des intervenants), c'est que ces personnes, Bac+5 ou plus, jeunes professionnels, aient en eux moins de connaissances de fond que nos grand-parents au Certificat d'Etudes, dans une société qui se prétend supérieure à ce qui se faisait avant...

Prêter des prétentions à une société me paraît pour le moins vide de sens : je n'en comprends absolument pas la signification. Chacun peut prétendre à quelque chose mais qu'en est-il du tout? Et d'où tires-tu cette information? Et qu'entends-tu par supérieur dans ce contexte? Bref, je ne vois aucune raison d'être enragé.

On pourrait ajouter à la liste ci-dessus qu'il apparait comme normal à certains BAC+X que la Science fonctionne à la majorité de ceux qui parlent le plus fort

Là encore il s'agit d'une affirmation sans fondements. Quel est le rapport avec le niveau d'études?

, ou qu'un mec de Sciences-Po qui a 30 ans et a fait une société de conseil et un blog est plus susceptible de dire la Vérité Scientifique qu'un géologue en fin de carrière, bardé de reconnaissances internationales (fil sur le Réchauffement Climatique)

Ni ton âge, ni ta profession, ni ton statut n'impliquent que ce tu dis soit vrai. Pour reprendre la citation de Nicolas Boileau donnée par FR119492 : "ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement, et les mots pour le dire arrivent aisément." Ne peut être tenu pour vrai que ce que tu es en mesure de démontrer. Le reste n'a aucune valeur argumentative. A te lire, j'ai malheureusement le sentiment que tu es le seul à être bardé de certitudes ici.

On pourrait aussi ajouter des profs qui disent que la logique s'apprend par l'enseignement de l'informatique, ou qu'il est plus essentiel pour un étudiant de lycée de savoir utiliser tel ou tel logiciel ou de comprendre le concept de fichiers que de connaitre l'Histoire ou la Philo (un débat sur une loi de Sarko)

Encore une fois, je ne vois pas d'où tu tires cela. Personnellement, je n'ai jamais entendu quelqu'un dire que la logique s'enseigne par l'enseignement de l'informatique. Je me demande si tu ne tires pas de généralités de faits particuliers et isolés. Ensuite, autant je ne vois pas comment affirmer qu'il est plus essentiel pour un étudiant de lycée de savoir utiliser tel ou tel logiciel ou de comprendre le concept de fichiers que de connaitre l'Histoire ou la Philo, autant je ne vois pas non plus comment affirmer le contraire. Sur quels critères? En vertu de quoi?

Nous sommes , si l'on en croit ce genre de choses, qui, comme tu le soulignes, sont de plus en plus fréquentes, en plein déclin intellectuel, déja bien loin en arrière sur le Siècle des Lumières, et meme avant... ou, en pleine Renaissance, un étudiant de 19 ans connaissait déjà 4 ou 5 langues, plus la philo, la théologie, un peu de médecine et des maths...

Comment mesures-tu le déclin ou le progrès intellectuel? Sur quoi te bases-tu?

Je suis également un peu épaté. J'ai déjà eu ce genre d'échanges bizzares sur internet, mais il me semble qu'il y a quelques années c'était l'exception, et que cela devient la norme.

Je participe régulièrement à ce forum et j'ai rarement ce genre d'échanges. Une explication?

Ceci me conforte dans l'idée qu'on a tort de prendre les forums trop au sérieux, et d'y consacrer du temps. A moins de sélectionner précisément ceux avec qui on parle, les échanges sont souvent pauvres et répétitifs.

Si tu dis vrai, je ne comprends pas pourquoi tu viens perdre ton temps ici. Très franchement, La Palisse n'aurait pas dit mieux. Tu peux remplacer le terme forum par tout autre média, personne ne te contredira. C'est d'ailleurs ce qui t'a amené à développer un esprit critique me semble-t-il.

Je crois que cela montre la "supercherie 2.0", cette idée d'une "mise en réseau du savoir", par l'internet, qui enrichirait tout le monde. L''internet, ne partage pas le savoir mais le dilue dans une quantité de plus en plus grande d'approximations.

Je fais la même réponse que précédemment.

Et c'est d'autant plus ennuyeux que l'éducation supérieure moderne produit de plus en plus de gens bardés de certitudes,

Après lecture des dialogues socratiques rapportés par Platon, je miserais plutôt sur l'hypothèse qu'il y a toujours eu des gens bardés de certitudes, que c'est dans la nature de l'homme, et que tu n'échappes pas à la règle.

mais très mal formés au raisonnement et à l'argumentation (il suffit de voir la facilité avec laquelle les discussions dégénèrent).

En toute objectivité, je considère pour ma part qu'Ehouarn, Alexis.M et moi-même avons plutôt cherché à raisonner et argumenter le mieux possible, sans jamais avoir insidieusement mis en avant notre âge, nos diplômes ou notre statut social et professionnel pour tenter d'appuyer notre point de vue ou de contredire celui d'autrui. De plus, il me semble que la discussion ne dégénèrerait pas autant si tu avais l'honnêteté intellectuelle de remarquer et corriger toutes les inexactitudes et les erreurs de raisonnement de Souviron34. Car, tu ne me fera pas croire que tu ne les vois pas.

Je crois que c'est Knuth qui a déclaré un jour (il y a longtemps) qu'il était maintenant assez vieux pour se passer d'email. Pour l'internet et les forums, la question est posée...

En fait, c'est Umberto Eco, Knuth l'a juste reprise à son compte, mais je salue la parenthèse culturelle.

J'en viens à vouloir faire une lettre ouverte d'indignation envers les manquements de l'enseignement..

des mathématiques, pour ne pas avoir enseigné les bases
de la culture générale et du francais, pour ne pas avoir enseigné le respect des mots et de la langue, et que les mots ont un sens, qui est précisément donné dans les dictionnaires.
de la morale, pour ne pas avoir enseigné l'humilité

Malheureusement, à te lire, je ne pense pas que tes bases en mathématiques soient très solides. D'ailleurs, personne ne t'en blâme : tu as toi-même déclaré ne pas être mathématicien mais physicien. Je sais que tu ne vas pas apprécié ma remarque mais elle est pourtant sincère, et j'ai remarqué cela chez toi bien avant cette discussion. Je pourrais t'énumérer toutes tes faussetés affirmées ou tes manquements à la logique mais je sais que tu le prendras forcément mal si cela vient de ma part. Bref, je ne pense vraiment pas que tu sois le mieux placé pour apprécier la qualité de l'enseignement des mathématiques car on t'as sûrement enseigné les bases (N est inclus dans R) mais tu ne les as pas suffisamment manipulées par la suite pour les retenir. C'est la même chose pour moi en physique.

En ce qui concerne le respect de l'étymologie et de la sémantique, je ne peux qu'être d'accord avec toi. Malheureusement, les scientifiques n'ont pas toujours respecté ce principe et un certain jargon s'est développé dans chaque domaine. En d'autres termes, un mot peut recouvrir en sciences un sens plus ou moins éloigné de celui qu'on lui prête généralement. C'est d'ailleurs une difficulté permanente dans la rédaction des documents scientifiques volumineux, en particulier les mémoires de thèse. C'est la raison pour laquelle les définitions données par un dictionnaire ne sont pas toujours en conformité avec la terminologie scientifique (à dire vrai, je n'affectionne pas non plus particulièrement le Larousse). Par ailleurs, en mathématiques, les définitions sont précises et utilisent un langage universel.

En ce qui concerne l'humilité, je pense que tu devrais commencer par donner l'exemple en mettant de côté ta prétendue renommée internationale, ton âge et ta carrière professionnelle quand tu participes à un débat.

vos raisonnements et exemples sont exactement du style "si ma tante en avait 2 on l'appellerait mon oncle". C'est bien joli, mais justement ma tante n'en a pas 2, et c'est bien pour ca qu'on ne l'appelle pas "mon oncle"...

Sans commentaires, je crois que tout est dit!

Une manière plus mathématique , qui j'espère finira par vous faire comprendre votre absurdité : votre raisonnement est exactement comme si l'on disait :

puisque, conceptuellement, un entier peut être imaginé comme un réel dont la partie entière est cette valeur et dont la partie décimale est faite d'une infinité de 0, alors tout nombre entier peut être considéré comme un cas particulier d'un nombre réel, (donc N est un cas particulier de R) et par conséquent il suffit d'utiliser le mot réel pour désigner tout nombre.

Vous conviendrez avec moi que il y a bien pourtant des propriétés différentes entre les 2, et que c'est bien pour ca qu'on a 2 noms : entiers ET réels..

Que ce soit en mathématiques pures ou en informatique, il serait bien tiré par les cheveux de concevoir une boucle qui tourne 2.0000034 fois, ou bien une valeur stockée à l'indice 2.234 ou 2.00000000000000034 ou 2.000000000000000000000000000000034... (et c'est bien pour ca qu'il y a des "cast")



Alors excuse-moi si je deviens cassant, mais tu conviendras que remettre en cause une base comme la séparation des noms et concepts entre entiers et réels, ce que vous faites ici pour approximation et interpolation, est un brin................. énervant après 4 pages ou on essaye de vous expliquer...

Comme je le faisais remarquer plus tôt, N est bien inclus dans R. Ce que je ne comprends toujours pas c'est comment tu peux te positionner en juge de l'enseignement des mathématiques et écrire ce genre de chose. N'est-ce pas là un manque d'humilité de ta part?

(Ca choque des vieux comme Souviron et moi, parce qu'on a lu des tas de livres sans doute faux qui disent le contraire...)

Une petite remarque au passage. Les définitions ne sont ni vraies ni fausses. Ce dont on discutait, c'est de la pertinence de telle ou telle définition de l'interpolation. Malheureusement, l'argument des livres ne me paraît pas convaincant car on pourra trouver tout et son contraire en choisissant telle ou telle référence. Les deux définitions sont de toute façon utilisées quoi qu'on en pense. Petit aparté : vous n'arrêtez pas de répéter que vous êtes vieux comme si cela constituait un argument en votre faveur, n'est-ce pas un manque d'humilité?

Mais simplement, comme le démontre l'usage du mot and par Davis, que ce sont 2 notions différentes. Sinon il n'en aurait utilisé qu'un seul.

Quel mathématicien n'a pas un jour rêver d'un monde où il suffirait de souligner le mot démontre pour constituer de facto une preuve? Malheureusement, ce monde n'existe pas... Quand tu argumentes, tu ne peux pas employer ce terme à tort et à travers : il a un sens très fort et ne s'applique que dans un contexte particulier.

Je n'ai pas envie de me lancer dans une destruction point par point de vos élucubrations, qui sont du meme acabit que les fameuses "démonstrations" du "1 = -1".

1=sqrt(1)=sqrt((-1)*(-1))=sqrt(-1)*sqrt(-1)=i*i=-1

Je vous invite a revenir aux définitions du Larrousse données plus haut : contrairement à ce que Aleph69 pense, le francais, comme l'anglais, est une langue précise, et les mots ont une signification, établie, et dument enregistrée dans les dictionnaires, sans avoir recours à une quelconque subtilité technique qui ferait que quand on dit l'un on voudrait dire l'autre.

Tu me prêtes des pensées qui ne sont pas miennes, je suis plus lettré que tu ne le penses.

Je veux bien une explication précise de cette différence...

[Edit, ah ben je ne l'aurai pas, et je ne saurai pas non plus ce qui viennent faire ici les espaces de Sobolev, ben tant pis alors (mais j'ai quand même une drôle d'impression, parce que généralement, quand on associe les mots Sobolev et interpolation, on veut dire tout autre chose que ce dont on discute ici...)]

Je pense que tu comprends l'interpolation d'espaces de Sobolev alors que je considère l'interpolation dans un espace de Sobolev. Voici une référence en la matière. Dans la table des matières, chapitre 3, section 3.1 : les pages 110-130 sont partiellement consultables.

PS: d'autre part, autant j'apprécie en général les interventions de Aleph69 dans son domaine de prédilection, autant la condescendance et le rejet d'un revers de main de aussi bien des professionnels aguerris que de l'Histoire de la Science me restent un peu en travers de la gorge...

Merci. Ce n'était pas de la condescendance mais de l'agacement. Pour le reste, j'ai déjà répondu, je ne vais pas enfoncer le clou.

En tous cas, sur un site de la qualité de DVP, il est inacceptable de propager de fausses notions, et cela méritait simplement d'être corrigé.

Qu'entends-tu par corriger? Nous censurer? Nous soumettre à la Question comme Galilée?

C'est aussi absurde que de dire que, puisque en 3D un cercle vu de dessus est un segment de droite, un segment est un cas particulier d'un cercle.

Les hypersphères unidimensionnelles sont les segments, les bidimensionnelles sont les disques, les tridimensionnelles sont les sphères... bref un segment est une hypersphère.

Es-tu serieux, la ?????

As-tu seulement parcouru la Table des Matieres ??????????

Non, je ne brûle pas encore les livres sur la place publique et je peux citer et lire avec intérêt ceux qui distinguent interpolation et approximation.

J'espère ne pas avoir été blessant. Ce n'est en tous cas pas le but recherché.

[Invité]

Je pense que tu comprends l'interpolation d'espaces de Sobolev alors que je considère l'interpolation dans un espace de Sobolev. Voici une référence en la matière. Dans la table des matières, chapitre 3, section 3.1 : les pages 110-130 sont partiellement consultables.

J'ai regardé rapidement, et n'ai pas l'impression qu'il y ait quelque chose de particulier aux espaces de Sobolev en matière d'interpolation. Ils apparaissent naturellement dans ton problème parce que tu manipules des dérivées, et c'est donc là que les théorèmes d'approximation qui fondent les éléments finis doivent être formulés. Mais ces théorèmes auraient leur équivalent dans des espaces fonctionnels moins raffinés. (Et, en passant, les espaces de Sobolev, ça n'apparait pas souvent en statistiques, plutôt en physique mathématique, quand on a des EDP)

Sur le fond, il me semble qu'on étend ici à des espaces de distributions l'idée, défendue plus haut par Alexis, que si la fonction inconnue est localement assez proche d'un polynome (via des conditions sur les dérivées, ou sur des normes dans les espaces fonctionnels), alors la fonction peut être correctement approchée par un polynome, du moment que le maillage est assez dense pour que l'on ne quitte pas le "bon voisinage" où la série de Taylor converge rapidement...

En pratique tu as deux façons d'obtenir ceci :
- faire un hypothèse très forte sur la fonction inconnue (dérivées proches de zéro à partir d'un certain ordre, ce que est équivalent à les supposer polynomiales)
- disposer d'un maillage très dense, et faire des hypothèses un peu moins fortes

Dans les deux, cas, on est dans un contexte d'approximation. Ce qu'on dit, au fond, c'est que si la fonction inconnue vérifie certaines hypothèses, elle peut être approchée par des polynomes, et que dans ce cas, l'interpolation est de l'approximation... Ca me parait toujours aussi tautologique.


Je suis tombé hier sur un passage du Numerical Recipes (au début du chapitre sur l'interpolation) qui résume assez bien mon opinion.

"There is an extensive mathematical litterature devoted to theorems about what sort of functions can be well approximated by which interpolating functions. These theorems are, alas, almost completely useless in day to day work. If we know enough about our function to apply a theorem of any power, we usually are not in the pitiful state of having to interpolate on a table of its value!"

Le paragraphe suivant me semble bien expliquer certaines remarques que faisait Souviron:

"Interpolation is related to, but distinct from function approximation. (...) In the case of interpolation, you are given the function f at points not of your own choosing. For the case of function approximation, you are allowed to compute the function f at any desired points for the purpose of developping your approximation."

Cette idée de points choisis vs points subis me semble une bonne façon d'aborder le problème (plus que l'existence ou non d'une loi et sa régularité supposée, qui restent des actes de foi).

Francois

[Aleph69]

Bonjour,

J'ai regardé rapidement, et n'ai pas l'impression qu'il y ait quelque chose de particulier aux espaces de Sobolev en matière d'interpolation. Ils apparaissent naturellement dans ton problème parce que tu manipules des dérivées, mais je pense que ces théorèmes auraient leur équivalent dans des espaces fonctionnels moins raffinés.

Il s'agissait simplement d'un exemple pour illustrer mon propos.

(Et, soit dit en passant, les Sobolev, ca n'apparait pas trop en statistiques, plutôt en physique mathématique, quand on a des EDP)

Si tu creuses un peu dans la théorie sous-jacente des probabilités, tu devrais normalement croiser des espaces de Sobolev, au moins la classe L^2. C'est ce que je sous-entendais.

Sur le fond, il me semble qu'on étend ici (à des espaces de distributions comme les Sobolev) l'idée, défendue plus haut par Alexis, que si la fonction inconnue est localement assez proche d'un polynome (ce sont les conditions de régularité), alors la fonction peut être correctement approchée par un polynome, du moment que le maillage est assez dense pour que l'on ne quitte pas le "bon voisinage" où la série de Taylor converge rapidement...

Ce n'est pas tout à fait cela. Dire qu'une fonction assez proche d'un polynôme peut-être approchée par un polynôme, c'est dire un truisme. Ce qui est dit c'est que, sous certaines hypothèses de régularité, grossièrement de dérivabilité et/ou d'intégrabilité, une fonction peut être approchée aussi précisément que l'on veut par un polynôme d'interpolation. C'est une extension du théorème de Weierstrass. La densité du maillage peut être fixée : il suffit alors d'augmenter le degré du polynôme d'interpolation. La vitesse de convergence n'intervient pas spécifiquement dans la théorie mais constitue évidemment un enjeu en pratique.

Tu as deux façons d'obtenir ceci :
- faire un hypothèse très forte sur la fonction inconnue (dérivées proches de zéro à partir d'un certain ordre, ce que est équivalent à les supposer polynomiales)
- disposer d'un maillage très dense, et faire des hypothèses un peu moins fortes

Comme indiqué ci-dessus, on peut se contenter de travailler sur le degré du polynôme d'interpolation sans formuler d'hypothèse forte sur le maillage ou la fonction inconnue. Dans le contexte des espaces de Sobolev, cette dernière est en fait une classe d'équivalence de distributions pouvant s'identifier à des fonctions peu régulières.

Mais on est dans un contexte d'approximation, pas d'interpolation. Ce qu'on dit, au fond, c'est que si la fonction inconnue vérifie certaines hypothèses, elle peut être approchée par des polynomes, et que dans ce cas, l'interpolation est de l'approximation... Ca me parait toujours aussi tautologique.

Je ne vois pas où est la tautologie et tu raisonnes un peu vite. Très grossièrement, quand tu écris "si la fonction inconnue vérifie certaines hypothèses, elle peut être approchée par des polynomes", tu te places dans le contexte du théorème de Weierstrass, c'est-à-dire dans celui de la théorie de l'approximation. Ce genre de résultat est déjà loin d'être trivial (pour moi en tous cas). Ensuite, si tu caractérises parmi ces polynômes, des polynômes d'interpolation, alors tu te places dans le cadre de l'interpolation ou de l'approximation par interpolation si tu préfères cette terminologie.

Je suis tombé hier sur un passage du Numerical Recipes (au début du chapitre sur l'interpolation) qui résume assez bien mon opinion.

"There is an extensive mathematical litterature devoted to theorems about what sort of functions can be well approximated by which interpolating functions. These theorems are, alas, almost completely useless in day to day work. If we know enough about our function to apply a theorem of any power, we usually are not in the pitiful state of having to interpolate on a table of its value!"

Sauf erreur de ma part, je comprends que ta position est que la meilleure approximation possible d'une fonction n'est pas une fonction d'interpolation (sauf si les deux sont confondues bien sûr). Dans ce cas, nous sommes d'accord, je ne me rappelle d'ailleurs pas que quelqu'un ait prétendu le contraire. C'est Runge le premier à l'avoir montré et il a déjà été cité dans cette discussion, à plusieurs reprises me semble-t-il.

Le paragraphe suivant me semble bien expliquer certaines remarque que faisait Souviron:

"Interpolation is related to, but distinct from function approximation. (...) In the case of interpolation, you are given the function f at points not of your own choosing. For te cas of function approximation, you are allowed to compute the function f at any desired points for the purpose of developping your approximation."

C'est un point de vue qui a le mérite d'être intéressant. Cela n'est pas si éloigné que cela l'idée initiale défendue par certains que l'interpolation est une forme d'approximation sous contraintes. Il y est même fait écho de la présence d'une fonction inconnue dans le problème d'interpolation.

[Invité]

Bon, exeunt les Sobolev, alors...

Ce qui est dit c'est que, sous certaines hypothèses de régularité, grossièrement de dérivabilité et/ou d'intégrabilité, une fonction peut être approchée aussi précisément que l'on veut par un polynôme d'interpolation.

Dans cette formulation, c'est un théorème d'existence. Tant qu'on ne sait caractériser ni le polynome, ni la qualité de la convergence, il n'a pas d'utilité pratique.

Et je ne suis pas certain de comprendre ce que veut dire "polynome d'interpolation". Un polynome pouvant être défini par ses valeurs en quelques points, tout polynome est un "polynome d'interpolation", non?

La densité du maillage peut être fixée : il suffit alors d'augmenter le degré du polynôme d'interpolation.

J'en doute... Pour augmenter le degré il faut plus de points, à densité fixe, tu interpole sur une zone plus large, et donc les bornes controlant la qualité de l'approximation se relâchent. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle on préfère utiliser des polynomes de bas niveau pour les interpolations par morceaux.

La vitesse de convergence n'intervient pas spécifiquement dans la théorie mais constitue évidemment un enjeu en pratique.

Si le calcul de l'approximation n'est pas voisin de la valeur à approcher, peut on encore parler d'approximation?

Sauf erreur de ma part, je comprends que ta position est que la meilleure approximation possible d'une fonction n'est pas une fonction d'interpolation.

Ce n'est pas, mais alors pas du tout, ce que je dis...

D'ailleurs je pense que cette phrase n'a pas de sens : qu'est ce qu'une "fonction d'interpolation"? Une fonction qui passe par des points? (ne le font elles pas toutes?), une fonction qui prend certaines valeur de la fonction à approcher (ben, y'a intérêt, non?)

L'interpolation, c'est, par définition, le calcul des points d'une fonction à partir de ses valeurs en d'autres points. Pour que ce calcul soit possible, la fonction doit être choisie dans une famille qui permet de calcul (en fonction du nombre de points). Les techniques d'interpolation (et la théorie qui va avec) ont pour UNIQUE objectif de faire ce calcul dans de bonnes conditions, notamment de stabilité numérique.

Mais dans tous les cas, on cherche une fonction dans la famille choisie et la "fonction sous jacente" et ses propriétés n'entrent pas dans le calcul de l'interpolée. Dire qu'une interpolation polynomiale est incorrrecte parce qu'elle n'approche pas un cosinus est aussi absurde que dire qu'un tournevis est cassé parce qu'il ne permet pas d'enfoncer un clou.

L'approximation, ca consiste à trouver une fonction voisine d'une autre, définie par une formule, ou ses valeurs en des points (ou une équation qu'elle vérifie, ou une combinaison de ces éléments). La théorie a pour objet de garantir que la fonction trouvée ne s'éloigne "pas trop" de la fonction d'origine (au sens d'une norme fonctionnelle). Il s'agit d'un problème complètement différent, et plus difficile que le précédent.

Mais il est clair que si on a trouvé une bonne approximation de la fonction de départ, une interpolation sur ses valeurs donnera une bonne approximation de celles de la fonction de départ...


En pratique, et c'est ce que dit la citation de Numerical Recipes, on utilise l'interpolation quand on dispose de données empiriques, mais de si peu d'information sur la façon dont elles s'organisent qu'on ne peut espérer déterminer, même de loin, une éventuelle "fonction sous jacente". On se contente alors de "relier les points", ce qui est le but de l'interpolation.

Si on dispose d'assez d'information, on peut utiliser l'approximation, technique plus puissante, mais plus lourde.

Et la situation est exactement la même qu'en statistiques. Si on cherche une caractéristique d'un phénomène, à partir d'un jeu de données, on peut, si on a assez de données, tenter de déterminer la distribution sous jacente, et calculer la valeur de la caractéristique. C'est l'équivalent de l'approximation.

En revanche si on a peu de données, on préfèrera souvent calculer directement un estimateur de la caractéristique.

Il y est même fait écho de la présence d'une fonction inconnue dans le problème d'interpolation.

Oui, c'est la façon la plus simple de présenter le problème. Mais une fonction inconnue sur laquelle on ne fait AUCUNE hypothèse, ce n'est pas très différent de pas de fonction du tout...

Francois

[Aleph69]

Dans cette formulation, c'est un théorème d'existence. Tant qu'on ne sait caractériser ni le polynome, ni la qualité de la convergence, il n'a pas d'utilité pratique.

Justement, tout l'intérêt c'est qu'on sait caractériser ces polynômes et qualifier la convergence.

Et je ne suis pas certain de comprendre ce que veut dire "polynome d'interpolation". Un polynome pouvant être défini par ses valeurs en quelques points, tout polynome est un "polynome d'interpolation", non?

Très grossièrement : p est un polynôme d'interpolation pour f aux points xi, 1<=i<=N, si et seulement si p(xi)=f(xi).

J'en doute... Pour augmenter le degré il faut plus de points, à densité fixe, tu interpole sur une zone plus large, et donc les bornes controlant la qualité de l'approximation se relâchent. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle on préfère utiliser des polynomes de bas niveau pour les interpolations par morceaux.

Ah oui d'accord, je viens de comprendre le sens de ta remarque. Sur le principe je suis d'accord, c'est juste que les points d'interpolation ne sont pas nécessairement des noeuds du maillage dans ce cas précis. Tu peux soit raffiner le maillage à degré polynomial fixe, soit augmenter le degré, en choisissant plus de points d'interpolation, à densité de maillage fixe.

Si le calcul de l'approximation n'est pas voisin de la valeur à approcher, peut on encore parler d'approximation?

Il y a approximation à partir du moment où tu peux approcher une fonction à une précision arbitraire. Le seuil de précision que tu choisis n'intervient pas en théorie. En pratique, je suis d'accord que dire qu'on approche une fonction avec une erreur relative supérieur à 1 n'a pas beaucoup de sens.

Ce n'est pas, mais alors pas du tout, ce que je dis...

Alors, tu ne dis pas exactement la même chose que les auteurs de NR.

D'ailleurs je pense que cette phrase n'a pas de sens : qu'est ce qu'une "fonction d'interpolation"? Une fonction qui passe par des points? (ne le font elles pas toutes?), une fonction qui prend certaines valeur de la fonction à approcher (ben, y'a intérêt, non?)

La définition est similaire à celle des polynômes d'interpolation.

L'interpolation, c'est, par définition, le calcul des points d'une fonction à partir de ses valeurs en d'autres points. Pour que ce calcul soit possible, la fonction doit être choisie dans une famille qui permet de calcul (en fonction du nombre de points). Les techniques d'interpolation (et la théorie qui va avec) ont pour UNIQUE objectif de faire ce calcul dans de bonnes conditions, notamment de stabilité numérique.


Mais dans tous les cas, on cherche une fonction dans la famille choisie et la "fonction sous jacente" et ses propriétés n'entrent pas dans le calcul de l'interpolée. Dire qu'une interpolation polynomiale est incorrrecte parce qu'elle n'approche pas un cosinus est aussi absurde que dire qu'un tournevis est cassé parce qu'il ne permet pas d'enfoncer un clou.

D'accord. J'ai une question : pourquoi parle-t-on d'interpolation? Qu'est-ce qui t'empêche d'aller évaluer ton polynôme en dehors des points de mesure extrêmes par exemple?

L'approximation, ca consiste à trouver une fonction voisine d'une autre, définie par une formule, ou ses valeurs en des points (ou une équation qu'elle vérifie, ou une combinaison de ces éléments). La théorie a pour objet de garantir que la fonction trouvée ne s'éloigne "pas trop" de la fonction d'origine (au sens d'une norme fonctionnelle). Il s'agit d'un problème complètement différent, et plus difficile que le précédent.

Je munis R de sa norme canonique |.| et je considère un problème d'approximation polynomiale consistant à approcher une fonction f d'un sous-ensemble U de R vers R par un polynôme p, c'est-à-dire à minimiser l'erreur d'approximation |f-p| sur U. En posant pose U={x} pour un certain point x de R, je cherche à minimiser l'erreur d'approximation |f(x)-p(x)|. Je connais f(x0) et f(x1) avec x0 <= x <= x1. Je choisis un polynôme p tel p(x0)=f(x0) et p(x1)=f(x1). La quantité |f(x)-p(x)| est l'erreur d'interpolation commise en x en approchant f par p.

Mais il est clair que si on a trouvé une bonne approximation de la fonction de départ, une interpolation sur ses valeurs donnera une bonne approximation de celles de la fonction de départ...

Non, c'est justement la raison d'être des travaux de Runge et de la distinction faite par certains entre interpolation et approximation.

En pratique, et c'est ce que dit la citation de Numerical Recipes, on utilise l'interpolation quand on dispose de données empiriques, mais de si peu d'information sur la façon dont elles s'organisent qu'on ne peut espérer déterminer, même de loin, une éventuelle "fonction sous jacente". On se contente alors de "relier les points", ce qui est le but de l'interpolation.

Ah bon? Tu peux traduire le texte pour nous s'il te plaît?

Oui, c'est la façon la plus simple de présenter le problème. Mais une fonction inconnue sur laquelle on ne fait AUCUNE hypothèse, ce n'est pas très différent de pas de fonction du tout...

Je pose à nouveau la question : en l'absence de fonction inconnue dans ce que tu appelles le problème d'interpolation polynomial, qu'est-ce qui empêche d'évaluer ton polynôme en dehors des points de mesure extrêmes?

[Invité]

Justement, tout l'intérêt c'est qu'on sait caractériser ces polynômes et qualifier la convergence.

Tout dépend de ce qu'on recherche. Si le but est de prouver que les polynomes existent, tout va bien, si on veut travailler "dans la vraie vie" rien ne va plus.

Un exemple célèbre : la décomposition en série de Taylor du cosinus sur R. Cette approximation a un rayon de convergence infini. Le théorème d'existence nous dit qu'elle est "parfaite partout".

Maintenant, essayes de calculer cos(10^6) avec cette formule (sans tricher en réduisant modulo 2 pi parce que tu sais que la fonction est périodique)...

Très grossièrement : p est un polynôme d'interpolation pour f aux points xi, 1<=i<=N, si et seulement si p(xi)=f(xi).

C'est le sens de ma remarque... Si tu fixes les valeurs x_i, tout polynome est un polynome d'interpolation (je voulais juste dire que ce mot "d'interpolation" est inutile).

Tu peux soit raffiner le maillage à degré polynomial fixe, soit augmenter le degré, en choisissant plus de points d'interpolation, à densité de maillage fixe.

C'est le fond du problème. Il y a, si tu veux, un effet d'échelle, qui corrèle la densité des points, les hypothèses que tu fais sur ta fonction, et la taille de la famille. C'est l'idée général de l'epsilon entrople de Kolmogorov et Tikhomirov (que reprend Vapnik avec la VC dimension).

D'accord. J'ai une question : pourquoi parle-t-on d'interpolation? Qu'est-ce qui t'empêche d'aller évaluer ton polynôme en dehors des points de mesure extrêmes par exemple?

Excellente question! A mon avis, la distinction entre interpolation et extrapolation est perverse, car elle force ce lien entre interpolation et approximation. Note d'ailleurs que la plupart des ouvrages (NR compris) s'en tirent par une pirouette. C'est un signe.

Pour moi, l'idée générale, c'est l'effet d'échelle dont je parlais plus haut. A régularité donnée de la fonction sous jacente, on sait que la qualité d'une interpolation linéaire (ou polynomiale) dépend de la densité du maillage. Pour la valeur en un point on doit considérer la densité locale du maillage, qui est moins bonne quand tu extrapoles...

Mais, une fois de plus, c'est une dérive.

Je munis R de sa norme canonique |.| et je considère un problème d'approximation polynomiale consistant à approcher une fonction f d'un sous-ensemble U de R vers R par un polynôme p, c'est-à-dire à minimiser l'erreur d'approximation |f-p| sur U. En posant pose U={x} pour un certain point x de R, je cherche à minimiser l'erreur d'approximation |f(x)-p(x)|. Je connais f(x0) et f(x1) avec x0 <= x <= x1. Je choisis un polynôme p tel p(x0)=f(x0) et p(x1)=f(x1). La quantité |f(x)-p(x)| est l'erreur d'interpolation commise en x en approchant f par p.

C'est quoi ce |f(x)-p(x)| ? La somme des erreur sur les x_i? Ou l'intégrale de ces écarts sur tout le domaine considéré (ici R)?

Dans le premier cas, c'est une interpolation, dans le second, une approximation... La différence tient à la norme que tu utilises.

Je pose à nouveau la question : en l'absence de fonction inconnue dans ce que tu appelles le problème d'interpolation polynomial, qu'est-ce qui empêche d'évaluer ton polynôme en dehors des points de mesure extrêmes?

Rien... Je te recite Numerical Recipes (on va finir par avoir des soucis avec leur maison d'édition!)

"If the desired x is in between the largest and the smallest of the xi's, the problem is called interpolation; if it is outside of its range, it is called extrapolation"

Francois

[Aleph69]

Tout dépend de ce qu'on recherche. Si le but est de prouver que les polynomes existent, tout va bien, si on veut travailler "dans la vraie vie" rien ne va plus.

Un exemple célèbre : la décomposition en série de Taylor du cosinus sur R. Cette approximation a un rayon de convergence infini. Le théorème d'existence nous dit qu'elle est "parfaite partout".

Maintenant, essayes de calculer cos(10^6) avec cette formule (sans tricher en réduisant modulo 2 pi parce que tu sais que la fonction est périodique)...

Les résultats théoriques dont je te parle sont bien constructifs et s'utilisent en pratique. Par ailleurs, si on met des hypothèses de régularité, ce n'est pas pour rien; la fonction cosinus n'est pas intégrable sur R et l'interpolation, du moins au sens où je l'entends, n'a pas de sens sur un domaine non borné.

C'est le sens de ma remarque... Si tu fixes les valeurs x_i, tout polynome est un polynome d'interpolation (je voulais juste dire que ce mot "d'interpolation" est inutile).

Désolé, je ne comprends pas. En fixant les x_i, il existera toujours des polynômes ne passant pas par ces points.

C'est le fond du problème. Il y a, si tu veux, un effet d'échelle, qui corrèle la densité des points, les hypothèses que tu fais sur ta fonction, et la taille de la famille. C'est l'idée général de l'epsilon entrople de Kolmogorov et Tikhomirov (que reprend Vapnik avec la VC dimension).

Je ne vois pas en quoi c'est un problème. C'est justement ce qui t'assure la convergence de l'approximation par interpolation lorsque le nombre de points d'interpolation augmente.

Excellente question! A mon avis, la distinction entre interpolation et extrapolation est perverse, car elle force ce lien entre interpolation et approximation. Note d'ailleurs que la plupart des ouvrages (NR compris) s'en tirent par une pirouette. C'est un signe.

Je ne vois pas la pirouette. Où se trouve-t-elle?

Pour moi, l'idée générale, c'est l'effet d'échelle dont je parlais plus haut. A régularité donnée de la fonction sous jacente, on sait que la qualité d'une interpolation linéaire (ou polynomiale) dépend de la densité du maillage. Pour la valeur en un point on doit considérer la densité locale du maillage, qui est moins bonne quand tu extrapoles...

Oui, c'est un peu l'idée : tu auras beau raffiner entre les points d'interpolation, l'erreur en dehors des points extrémaux ne sera jamais bornée.

C'est quoi ce |f(x)-p(x)| ? La somme des erreur sur les x_i? Ou l'intégrale de ces écarts sur tout le domaine considéré (ici R)?

Au temps pour moi, j'ai écrit trop vite, il y a conflit de notations. L'erreur d'approximation est définie à partir de la norme L^1 en définissant les intégrales au sens de Riemann. Si on note ||.|| cette norme, il faut lire ||f-p|| au lieu de |f-p|. La quantité |f(x)-p(x)| est une valeur absolue (ce que j'appelle norme canonique sur R, c'est l'application valeur absolue).

Rien...

Ah... là pour le coup c'est toi qui a une définition très personnelle de l'interpolation. En toute franchise, je pense ne jamais l'avoir rencontrée dans aucun livre. Du coup, c'est un peu dommage d'appeler cela une interpolation...

Je te recite Numerical Recipes (on va finir par avoir des soucis avec leur maison d'édition!)

"If the desired x is in between the largest and the smallest of the xi's, the problem is called interpolation; if it is outside of its range, it is called extrapolation"

je termine la phrase : "which is considerably more hazardous (as many former investment analysts can attest)"
En fait, le seul cas que je connais où l'extrapolation a un sens c'est dans le cadre de l'accélération de la convergence de suites (de Aitken à Brezinski et al). Sinon, cela me paraît un peu obscur comme notion. Bon évidemment, si tu ne donnes aucun sens aux valeurs que tu interpoles ou extrapoles, aucune question ne se pose, vraiment aucune, mais ton point de vue est vraiment très original et s'oppose à celui des NR et de bien d'autres. Et comme je l'ai répété plusieurs fois au cours de cette discussion, je ne vois pas l'intérêt du procédé. En tous les cas, ça ne correspond pas du tout au problème de ta maman car la valeur de p(1/2) ne te donnera certainement le prix d'un demi-oeuf pour la bonne raison que ça n'a pas de sens. Je suis prêt à nier tout ce que j'ai écrit si tu arrives à convaincre un marchand de te vendre une moitié d'oeuf en m'envoyant la photo de cette moitié (je ne sais pas à quoi ça ressemble) et une copie du ticket de caisse.