Discussion :

[Black Templar]

Bonjour !

Je suis en train de programmer une fonction qui inverse une matrice carré.
J'ai lu sur le net qu'apparemment, la décomposition LU serait la solution la plus rapide.

J'ai programmé la version LU + inversion de matrice trigonale et j'ai comparé le temps d'exécution avec un pivot de gauss classique.
Et bien surprise, le pivot est 2 fois plus rapide...

Du coup, je me pose cette question : pourquoi préfère-t-on souvent la version LU ??
Est-ce que j'ai un problème dans mon code ??

Voila ce que j'ai obtenu pour 10000 inversions de matrice 4x4

Code :

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Matrice a inverser :
2       4       3       1
5       9       8       3
3       4       5       2
4       5       7       2
 
***********************************************
 
11      -7      6       -1
-1      1       -1      0
-5      3       -3      1
-2      1       1       -1
 
Inversion par decomposition LU : 0.764 secondes
***********************************************
 
11      -7      6       -1
-1      1       -1      0
-5      3       -3      1
-2      1       1       -1
 
Inversion par pivot de gauss : 0.39 secondes
***********************************************
 
 
Process returned 0 (0x0)   execution time : 1.170 s
Press any key to continue.

Voila mon main.cpp

Code :

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#include <iostream>
#include "Matrix.h"
//#include "Kalman.h"
#include <time.h>
 
using namespace std;
 
int main()
{
    /*double tb[100] =
    {1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 5,
     3, 2, 8, 4, 5, 1, 9, 4, 5, 8,
     2, 4, 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5,
     6, 4, 5, 2, 8, 9, 0, 4, 3, 8,
     4, 5, 8, 3, 1, 9, 8, 7, 6, 5,
     9, 8, 8, 8, 7, 2, 3, 1, 1, 0,
     3, 2, 4, 5, 9, 1, 2, 9, 9, 3,
     2, 8, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 3, 2,
     3, 4, 5, 3, 2, 1, 9, 3, 2, 1,
     9, 7, 3, 4, 2, 9, 2, 3, 2, 1};*/
 
    //double tb[16] = {2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2};
    double tb[16] = {2, 4, 3, 1, 5, 9, 8, 3, 3, 4, 5, 2, 4, 5, 7, 2};
    //double tb[16] = {2, 3, 5, 7, 4, 2, 1, 9, 7, 4, 6, 0, 2, 4, 3, 3};
    //double tb[9] = {2, 3, -3, 5, 7, -7, -5, -7, 7};     // Non inversible
    //double tb[9] = {2, -1, 0, -1, 2, -1, 0, -1, 2};
    //double tb[9] = {2, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 6, 0};
    //double tb[4] = {1, 3, 5, 2};
    Matrix<double> m(4, 4, tb);
    Matrix<double> d;
 
    //Affichage de la matrice à inverser
    cout << "Matrice a inverser : " << endl;
    m.display();
    cout << "***********************************************" << endl << endl;
 
    //Inversion de la matrice : méthode LU
    clock_t t1=clock();
    for(int i = 0; i < 10000; i++)
        d = m.inv_LU();
    clock_t t2=clock();
    d.display();    //Affichage de la matrice inverse
    cout << "Inversion par decomposition LU : " << (double)(t2-t1)/CLOCKS_PER_SEC << " secondes" << endl;
    cout << "***********************************************" << endl << endl;
 
    //Inversion de la matrice : méthode pivot
    t1=clock();
    for(int i = 0; i < 10000; i++)
        d = m.inv_Gauss();
    t2=clock();
    d.display();    //Affichage de la matrice inverse
    cout << "Inversion par pivot de gauss : " << (double)(t2-t1)/CLOCKS_PER_SEC << " secondes" << endl;
    cout << "***********************************************" << endl << endl;
 
    return 0;
}

et mon fichier Matrix.h

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#ifndef Matrix_DEF
#define Matrix_DEF
 
#include <vector>
#include <iostream>
 
using namespace std;
 
template <typename T>
class Matrix
{
    private:
        int a_column;
        int a_row;
        vector<T> a_matrix;
 
    public:
        Matrix();
        Matrix(const int, const T = 0);
        Matrix(const int, const T *);
        Matrix(const int, const T **);
        Matrix(const int, const int, const T = 0);
        Matrix(const int, const int, const T *);
        Matrix(const int, const int, const T **);
        Matrix(const Matrix<T> &);
        ~Matrix();
 
        T operator()(const int, const int) const;
        T& operator()(const int, const int);
        Matrix<T>& operator=(const Matrix<T> &);
        Matrix<T>& operator+(const T &) const;
        Matrix<T>& operator+(const Matrix<T> &) const;
        Matrix<T>& operator+=(const T &);
        Matrix<T>& operator+=(const Matrix<T> &);
        Matrix<T>& operator-(const T &) const;
        Matrix<T>& operator-(const Matrix<T> &) const;
        Matrix<T>& operator-=(const T &);
        Matrix<T>& operator-=(const Matrix<T> &);
        Matrix<T>& operator*(const T &) const;
        Matrix<T>& operator*(const Matrix<T> &) const;
        Matrix<T>& operator*=(const T &);
        Matrix<T>& operator*=(const Matrix<T> &);
        Matrix<T>& operator/(const T &) const;
        Matrix<T>& operator/(const Matrix<T> &) const;
        Matrix<T>& operator/=(const T &);
        Matrix<T>& operator/=(const Matrix<T> &);
 
        int column() const;
        int row() const;
 
        T det() const;
        Matrix<T>& transpose() const;
        T trace() const;
 
        void display() const;
 
        static Matrix<T>& identity(const int);
 
        Matrix<double>& inv_LU() const;
        Matrix<double>& inv_trigonal_lower() const;
        Matrix<double>& inv_Gauss() const;
};
 
template <typename T>
Matrix<T>::Matrix()
{
    a_column = 0;
    a_row = 0;
    a_matrix.clear();
}
 
template <typename T>
Matrix<T>::Matrix(const int row, const T val)
{
    a_column = row;
    a_row = row;
    a_matrix.resize(a_row*a_column, val);
}
 
template <typename T>
Matrix<T>::Matrix(const int row, const T *tab)
{
    a_column = row;
    a_row = row;
    a_matrix.resize(a_row*a_column);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) = tab[i*a_column+j];
}
 
template <typename T>
Matrix<T>::Matrix(const int row, const T **tab)
{
    a_column = row;
    a_row = row;
    a_matrix.resize(a_row*a_column);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) = tab[i][j];
}
 
template <typename T>
Matrix<T>::Matrix(const int row, const int col, const T val)
{
    a_column = col;
    a_row = row;
    a_matrix.resize(a_row*a_column, val);
}
 
template <typename T>
Matrix<T>::Matrix(const int row, const int col, const T *tab)
{
    a_column = col;
    a_row = row;
    a_matrix.resize(a_row*a_column);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) = tab[i*a_column+j];
}
 
template <typename T>
Matrix<T>::Matrix(const int row, const int col, const T **tab)
{
    a_column = col;
    a_row = row;
    a_matrix.resize(a_row*a_column);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) = tab[i][j];
}
 
template <typename T>
Matrix<T>::Matrix(const Matrix<T> &mat)
{
    a_column = mat.a_column;
    a_row = mat.a_row;
    a_matrix.resize(a_row*a_column);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) = mat(i, j);
}
 
template <typename T>
Matrix<T>::~Matrix()
{
}
 
template <typename T>
T Matrix<T>::operator()(const int row, const int col) const
{
    if(row < 0 || row >= a_row || col < 0 || col >= a_column)
        throw string("Error : Index out of range");
    return a_matrix.at(row*a_column+col);
}
 
template <typename T>
T& Matrix<T>::operator()(const int row, const int col)
{
    if(row < 0 || row >= a_row || col < 0 || col >= a_column)
        throw string("Error : Index out of range");
    return a_matrix.at(row*a_column+col);
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator=(const Matrix<T> &mat)
{
    a_column = mat.a_column;
    a_row = mat.a_row;
    a_matrix.clear();
    a_matrix.resize(a_row*a_column);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) = mat(i, j);
    return *this;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator+(const T &val) const
{
    Matrix<T> *tmp = new Matrix<T>(*this);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*tmp)(i, j) = (*this)(i, j) + val;
    return *tmp;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator+(const Matrix<T> &mat) const
{
    if(mat.a_row != a_row || mat.a_column != a_column)
        throw string("Error : Matrix dimensions do not match");
    Matrix<T> *tmp = new Matrix<T>(*this);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*tmp)(i, j) = (*this)(i, j) + mat(i, j);
    return *tmp;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator+=(const T &val)
{
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) += val;
    return *this;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator+=(const Matrix<T> &mat)
{
    if(mat.a_row != a_row || mat.a_column != a_column)
        throw string("Error : Matrix dimensions do not match");
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) += mat(i, j);
    return *this;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator-(const T &val) const
{
    Matrix<T> *tmp = new Matrix<T>(*this);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*tmp)(i, j) = (*this)(i, j) - val;
    return *tmp;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator-(const Matrix<T> &mat) const
{
    if(mat.a_row != a_row || mat.a_column != a_column)
        throw string("Error : Matrix dimensions do not match");
    Matrix<T> *tmp = new Matrix<T>(*this);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*tmp)(i, j) = (*this)(i, j) - mat(i, j);
    return *tmp;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator-=(const T &val)
{
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) -= val;
    return *this;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator-=(const Matrix<T> &mat)
{
    if(mat.a_row != a_row || mat.a_column != a_column)
        throw string("Error : Matrix dimensions do not match");
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) -= mat(i, j);
    return *this;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator*(const T &val) const
{
    Matrix<T> *tmp = new Matrix<T>(*this);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*tmp)(i, j) = (*this)(i, j) * val;
    return *tmp;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator*(const Matrix<T> &mat) const
{
    if(a_column != mat.a_row)
        throw string("Error : Matrix dimensions do not match");
 
    Matrix<T> *tmp = new Matrix<T>(a_row, mat.a_column);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
    {
        for(int j = 0; j < mat.a_column; j++)
            for(int k = 0; k < a_column; k++)
                (*tmp)(i, j) += (*this)(i, k) * mat(k, j);
    }
    return *tmp;
 
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator*=(const T &val)
{
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) *= val;
    return *this;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator*=(const Matrix<T> &mat)
{
    (*this) = (*this) * mat;
        return *this;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator/(const T &val) const
{
    Matrix<T> *tmp = new Matrix<T>(*this);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*tmp)(i, j) = (*this)(i, j) / val;
    return *tmp;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator/(const Matrix<T> &mat) const
{
    Matrix<T> *tmp = new Matrix<T>(*this);
    tmp *= inv(mat);
    return *tmp;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator/=(const T &val)
{
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*this)(i, j) /= val;
    return *this;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::operator/=(const Matrix<T> &mat)
{
    (*this) *= inv(mat);
    return *this;
}
 
template <typename T>
int Matrix<T>::column() const
{
    return a_column;
}
 
template <typename T>
int Matrix<T>::row() const
{
    return a_row;
}
 
template <typename T>
T Matrix<T>::det() const
{
    if(a_column != a_row)
        throw string("Error : Matrix must be square");
 
    Matrix<double> l(a_row, a_row);
    Matrix<double> u(a_row, a_row);
 
    if((*this)(0, 0) != 0)
    {
        for(int i = 0; i < a_row; i++)
        {
            l(i, 0) = (*this)(i, 0);
            u(0, i) = (*this)(0, i)/l(0, 0);
            u(i, i) = 1.;
        }
 
        int i = 1;
        bool ok = true;
        while(ok && i < a_row)
        {
            for(int j = 1; j < a_row; j++)
            {
                if(i >= j)
                {
                    double s = 0.;
                    for(int k = 0; k < j; k++)
                        s += l(i, k)*u(k, j);
                    l(i, j) = (*this)(i, j) - s;
                }
                else if(l(i, i) == 0)
                    ok = false;
                else
                {
                    double s = 0;
                    for(int k = 0; k < i; k++)
                        s += l(i, k)*u(k, j);
                    u(i, j) = ((*this)(i, j)-s) / l(i, i);
                }
            }
            i++;
        }
 
    }
 
    T det = 1;
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        det *= l(i, i) * u(i, i);
 
    return det;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::transpose() const
{
    Matrix<T> *tmp = new Matrix<double>(a_column, a_row);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            (*tmp)(j, i) = (*this)(i, j);
    return *tmp;
}
 
template <typename T>
T Matrix<T>::trace() const
{
    if(a_column != a_row)
        throw string("Error : Matrix must be square");
 
    T trace = 0;
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        trace += (*this)(i, i);
    return trace;
}
 
template <typename T>
void Matrix<T>::display() const
{
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
    {
        for(int j = 0; j < a_column; j++)
            cout << (*this)(i, j) << "\t";
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
}
 
template <typename T>
Matrix<T>& Matrix<T>::identity(const int row)
{
    Matrix<T> *tmp = new Matrix<T>(row, row);
    for(int i = 0; i < (*tmp).a_row; i++)
        (*tmp)(i, i) = 1;
 
    return *tmp;
}
 
template <typename T>
Matrix<double>& Matrix<T>::inv_LU() const
{
    //http://jmblanc.developpez.com/algorithmique/systemes-lineaires/?page=page_2#LII-F
    if(a_column != a_row)
        throw string("Error : Matrix must be square");
 
    Matrix<double> l(a_row, a_row);
    Matrix<double> u(a_row, a_row);
 
    if((*this)(0, 0) != 0)
    {
        for(int i = 0; i < a_row; i++)
        {
            l(i, 0) = (*this)(i, 0);
            u(0, i) = (*this)(0, i)/l(0, 0);
            u(i, i) = 1.;
        }
 
        int i = 1;
        bool ok = true;
        while(ok && i < a_row)
        {
            for(int j = 1; j < a_row; j++)
            {
                if(i >= j)
                {
                    double s = 0.;
                    for(int k = 0; k < j; k++)
                        s += l(i, k)*u(k, j);
                    l(i, j) = (*this)(i, j) - s;
                }
                else if(l(i, i) == 0)
                    ok = false;
                else
                {
                    double s = 0;
                    for(int k = 0; k < i; k++)
                        s += l(i, k)*u(k, j);
                    u(i, j) = ((*this)(i, j)-s) / l(i, i);
                }
            }
            i++;
        }
 
    }
 
    Matrix<double> *tmp = new Matrix<double>;
    (*tmp) = u.transpose().inv_trigonal_lower().transpose() * l.inv_trigonal_lower();
 
    return *tmp;
}
 
template <typename T>
Matrix<double>& Matrix<T>::inv_trigonal_lower() const
{
    //http://jmblanc.developpez.com/algorithmique/systemes-lineaires/?page=page_2#LII-I
    Matrix<double> *tmp = new Matrix<double>(a_row, a_column);
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        (*tmp)(i, i) = 1/(*this)(i, i);
 
    /* Inversion matrice trigonale inferieur */
    for(int r = 1; r < a_row; r++)
    {
        for(int c = 0; c < a_row-r; c++)
        {
            (*tmp)(r+c, c) = 0;
            for(int i = c; i < r+c; i++)
                (*tmp)(r+c, c) -= (*this)(r+c, i) * (*tmp)(i, c);
            (*tmp)(r+c, c) /= (*this)(r+c, r+c);
        }
    }
 
    /* Inversion matrice trigonale supérieur */
    /*for(int r = 1; r < a_row; r++)
    {
        for(int c = 0; c < a_row-r; c++)
        {
            (*tmp)(c, c+r) = 0;
            for(int i = c; i < r+c; i++)
                (*tmp)(c, c+r) -= (*this)(i, c+r) * (*tmp)(c, i);
            (*tmp)(c, c+r) /= (*this)(r+c, r+c);
        }
    }*/
 
    return *tmp;
}
 
template <typename T>
Matrix<double>& Matrix<T>::inv_Gauss() const
{
    Matrix<double> A(*this);
    Matrix<double> *I = new Matrix<double>(Matrix<double>::identity(a_row));
 
    /* apparition des 0 sous la diagonale */
    for(int i = 0; i < a_row - 1; i++)
    {
        for(int j = i+1; j < a_row; j++)
        {
            double coef = A(j, i) / A(i, i);
            for(int k = 0; k < a_row; k++)
            {
                A(j, k) -= A(i, k) * coef;
                (*I)(j, k) -= (*I)(i, k) * coef;
            }
        }
    }
 
    /* apparition des 0 au dessus de la diagonale */
    for(int i = a_row-1; i > 0; i--)
    {
        for(int j = i-1; j >= 0; j--)
        {
            double coef = A(j, i) / A(i, i);
            for(int k = 0; k < a_row; k++)
            {
                A(j, k) -= A(i, k) * coef;
                (*I)(j, k) -= (*I)(i, k) * coef;
            }
        }
    }
 
    /* normalisation par ligne */
    for(int i = 0; i < a_row; i++)
        for(int j = 0; j < a_row; j++)
            (*I)(i, j) /= A(i, i);
 
 
    return *I;  // A est devenue l'identité et I la matrice inverse
}
 
#endif

[FR119492]

Salut!
Quelques remarques, en vrac:

1. En général, on cherche à résoudre un système linéaire et le calcul de la matrice inverse ne sert à rien.
2. Le chronométrage sur de si petites matrices n'est pas significatif. Tu devrais faire tes tests avec des matrices 1000x1000.
3. Il serait beaucoup plus fiable de compter le nombre d'additions, de soustractions, de multiplications et de divisions.
4. Sur un ordinateur, il y a des éléments qui n'ont rien à voir avec la complexité et qui peuvent jouer un rôle important; par exemple, si tu veux initialiser à 0 tous les termes d'une grosse matrice, il n'est pas indifférent de procéder ligne par ligne (recommandé en C) ou colonne par colonne (préférable en Fortran)
5. Sous Windows, et peut-être sous d'autres OS, ton ordinateur fait des tas d'autres choses pendant qu'il exécute ton programme.
6. Tu n'as aucune idée de comment tes résultats intermédiaires sont stockés: dans les registres du processeur, dans les diverses mémoires cache, dans la mémoire RAM.

Jean-Marc Blanc

[Black Templar]

Salut ! Merci pour tes réponses !

En général, on cherche à résoudre un système linéaire et le calcul de la matrice inverse ne sert à rien.

Dans le cas général peut être, mais dans mon cas, j'en ai besoin !
Dans le filtre de Kalman, il y a une inversion de matrice à faire.

Le chronométrage sur de si petites matrices n'est pas significatif. Tu devrais faire tes tests avec des matrices 1000x1000.

J'ai réussi a optimiser un peu le méthode LU, mais c'est toujours plus lent que gauss.
Voila mes résultats :

Code :

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30
31
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33
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36
Matrice 500x500
1 inversion
LU 	: 57.8s
Gauss 	: 47.8s
---------------
 
Matrice 250x250
4 inversions
LU 	: 28.3s
Gauss 	: 24.1s
---------------
 
Matrice 100x100
25 inversions
LU 	: 11.8s
Gauss 	: 9.9s
---------------
 
Matrice 50x50
100 inversions
LU 	: 6.2s
Gauss 	: 5.0s
---------------
 
Matrice 10x10
2500 inversions
LU 	: 1.5s
Gauss 	: 1.2s
---------------
 
Matrice 1x1
250000 inversions
LU 	: 1.7s
Gauss 	: 0.8s
Classique 0.1s
---------------

Il serait beaucoup plus fiable de compter le nombre d'additions, de soustractions, de multiplications et de divisions.

Les compter ? L'algo est assez complexe, ça ne serait pas une perte de temps dans ce cas là que d'essayer compter toutes les opérations ??

Sur un ordinateur, il y a des éléments qui n'ont rien à voir avec la complexité et qui peuvent jouer un rôle important; par exemple, si tu veux initialiser à 0 tous les termes d'une grosse matrice, il n'est pas indifférent de procéder ligne par ligne (recommandé en C) ou colonne par colonne (préférable en Fortran)

Certes, mais comme je prend les même conventions dans tous mes algos (remplissage ligne par ligne), ici, la comparaison doit donc être fiable (même si pas optimale).

Sous Windows, et peut-être sous d'autres OS, ton ordinateur fait des tas d'autres choses pendant qu'il exécute ton programme.

C'est vrai, mais je ne peux pas faire autrement (je ferme le maximum de programmes/processus et j'ai beau exécuter mon programme autant de fois que je veux, je trouve toujours le même écart)

Tu n'as aucune idée de comment tes résultats intermédiaires sont stockés: dans les registres du processeur, dans les diverses mémoires cache, dans la mémoire RAM.

En effet, j'en ai aucune idée.

[FR119492]

Salut!

Dans le filtre de Kalman, il y a une inversion de matrice à faire.

D'une manière générale, lorsqu'on écrit x = A^(-1) B , c'est une simple convention d'écriture qui signifie que x est la solution du système A x = B , et non qu'il faille calculer numériquement A^(-1) .
Jean-Marc Blanc

[Zavonen]

Bien que le pivot et LU soient deux méthodes de résolution des systèmes linéaires. elles ne résolvent pas exactement le même problème.
Voir par exemple:
http://gilles.dubois10.free.fr/algebre_lineaire/lu.html
Le pivot, comme je le fais remarquer est plus simple quand il s'agit de résoudre UN système unique. Mais dès que le second membre est considéré comme 'variable', la méthode LU est une méthode (entre autres) pouvant résoudre tous les systèmes ayant même matrice sans passer par un calcul d'inverse.
En résumé LU et ses consœurs sont un compromis entre le pivot de Gauss et un calcul d'inverse, plus complexe qu'un pivot et (beaucoup) plus rapide qu'une inversion.
Tes résultats ne me surprennent pas.

[Black Templar]

Ok. Merci pour vos réponses