Discussion :

[nakor]

Bonjour,
je cherche a résoudre l'oscillateur de van der pol, defini par
x''+x-x'*mhu*(1-x^2) avec x'=dx/dt

que l'ont peut ramener a deux équations,
x'=y
y'=-x+mhu(1-x^2)*y

J'ai beaucoup de mal a comprendre l'algorithme de runge-kutta,
est-il correct d'écrire :

x(i+1)=x(i)+0.5(k1+k2)*h

avec k1=y(i) et k2=y(i)+h


y(i+1)=y(i)+0.5(k1+k2)*h

avec k1=-x(i)+mhu(1-x(i)^2)*Y(i) et k2=-(x(i)+h)+mhu(1-(x(i)+h)^2)*(Y(i)+k1*h)

J'utilise comme définition k1=f(xi,yi) et k2=f(xi+h,yi+k1*h) mais je ne suis pas sur d'appliquer l'algorithme correctement.

merci !

[FR119492]

Salut!

y(i+1)=y(i)+0.5(k1+k2)*h

Ce n'est pas la méthode de Runge-Kutta.

La méthode de Runge-Kutta est expliquée d'une manière très simple dans Wikipedia. Mais prend garde au fait que l'équation de Van der Pol est très raide (angl.: stiff), ce qui fait qu'à moins de prendre un pas très petit, ton intégration va partir dans les décors.

Jean-Marc Blanc

[nakor]

sur wikipedia il n'explique que Runge Kutta pour le premier ordre et 4nd ordre, et je cherche a l'appliquer au 2nd ordre
http://fr.wikipedia.org/wiki/Methodes_de_Runge-Kutta

Et ma methode a vraimment rien a voir ? parce ce que c'est vraimment ce que j'ai trouve de plus detaille sur RK.

Et sur wiki pour le 4eme ordre on a bien yi+1=yi+ (h/6) *(k1+2k2+2k3+k4),
ce qui est proche de ce que j'ecris yi+1=yi+ (h/2) *(k1+k2)

[FR119492]

Salut!

je cherche a l'appliquer au 2nd ordre

Vouloir absolument utiliser une méthode dont on sait à l'avance qu'elle donnera des résultats catastrophiques et qu'il existe des méthodes bien mieux adaptées, ça s'appelle du masochisme.
Jean-Marc Blanc

[benDelphic]

runge kutta 2nd ordre c'est appliquer deux fois la premiere méthode ( een prenant la moyenne à chaque fois ) c'est le meme principe qu'avec rk 4 mais avec les pondérations (1,1) au lieu de (1,2,2,1)... et puis FR119492 a raison ...
RK est appliquée pour les fonctions aux dérivées continues ( donc si tu as une branche infinie ou quelque chose qui y ressemble l'algorithme va se planter )

[nakor]

oui mais c'est purement scolaire, je l'applique, je vois que ca ne marche pas et j'essaye d'expliquer pourquoi. Je ne peux pas deviné intuitivement que ca ne marchera pas non ?
Je vois "graphiquement" pourquoi cela risque de ne pas marcher et de partir dans le décors, mais je n'ai aucune preuve sans essayer.

Sinon j’ai aussi essaye de résoudre le problème juste en utilisant les dérivées décentrées :
dx/dt=(x(i+1)-x(i)) * dt

Ce qui donne pour le problème,
x(i+1)=y(i)*dt-x(i)
Y(i+1)= (-X(i)+mhu*(1-(X(i)*X(i)))*Y(i))*DeltaT+Y(i)

Mais ma méthode n’est pas toujours stable en fonction du dt que je choisis et de x0,y0 et mhu.

Est-il possible de prévoir si la méthode va marcher, ou faut-il expérimenter des valeurs de DT et tracer le résultat pour voir si ce que l’on obtient est correct ?

merci pour votre aide.

[Ehouarn]

Bonjour,

Mais ma méthode n’est pas toujours stable en fonction du dt que je choisis et de x0,y0 et mhu.

Est-il possible de prévoir si la méthode va marcher, ou faut-il expérimenter des valeurs de DT et tracer le résultat pour voir si ce que l’on obtient est correct ?

Oui, les méthodes explicites (c.-à-d. où on se ramène à quelque chose de la forme x(n+1)=F(x(n)) sont conditionnellement stable; typiquement il y a toujours un pas de temps seuil au delà duquel on est certain de diverger.
Dans de rare cas (typiquement des exemples simples pour lesquels on connaît la solution analytique de l'équation) on peut déterminer cette valeur seuil.
Dans la pratique, il est plus que sain de suivre la procédure dont tu parles: expérimenter avec plusieurs valeurs de pas de temps et vérifier que l'on converge bien vers quelque chose de cohérent.

Bonne continuation.