Discussion :

[CarolinePeroni]

Bonjour

Tout d'abord, sachez que je suis très nulle en mathématiques... ça c'est dit.

Voilà mon souci avec MATLAB:
j'aimerai résoudre un système d'équations de matrices un peu particulier.

Soit Q une matrice carrée donnée.
Soit X=[X1;...;Xn] un vecteur inconnu dont je cherche à trouver les composants X1,...Xn.

Je veux résoudre:
"TransposéeDe(X)*Q=Matrice nulle" ET "X1+...+Xn=0"
(il s'agit de l'équation classique des processus markoviens)

Je sais que ce système possède une unique équation.
Les matrices que j'utilisent peuvent être obèses (entre 10x10 à 1000x1000). Pensez-vous que petit MATLAB va s'en sortir avant l'an 3000 ?

J'ai essayé avec des fonctions "solve" etc... mais je trouve rien qui fonctionne. Dois-je faire un algorithme toute seule? snif

[pseudocode]

"TransposéeDe(X)*Q=Matrice nulle" ET "X1+...+Xn=0"

Vecteur * Matrice = Matrice ?

Ca ne serait pas plutot un vecteur le résultat de cette opération ?

Je sais que ce système possède une unique équation.

Je propose X = (0,0,0,...,0)

[Nemerle]

Vecteur * Matrice = Matrice ?

Ca ne serait pas plutot un vecteur le résultat de cette opération ?

Je propose X = (0,0,0,...,0)

Effectivement, tX est un vecteur 1*n, donc tX*Q aussi. En fait, tX*Q=0 se résoud par exemple par la méthode de Gauss (vu au lycée, go google). Si detQ<>0, alors le vecteur nul est la seule solution. Si detQ=0, alors les solutions de tX*Q s'expriment comme combinaison linéaire de certains paramètres (voir ex. ci-dessous); la condition supp. x1+...+xn=0 en ote alors une.

Exemple, [1 0 -1 0 / 0 1 0 -1 / 2 3 -2 -3 / 1 -2 -1 2] se simplifie en [1 0 -1 0 / 0 1 0 -1 / 0 0 0 0 / 0 0 0 0], et donc les (x1,x2,x3,x4) qui vérifent x3=x1 et x2=x4 sont les sol. de tX*Q=0. Comme on veut x1+...+x4=0, alors 2x1+2x2=0, soit x2=-x1. Les sol. finales sont donc les vecteurs (x1,-x1,x1,-x1) pour x1 quelconque.

Rqs: avec Q quelconques, on aura très souvent juste le vecteur nul comme solution. Mais comme Q est associé à un processus markovien, Q possèdent bien d'autres propriétés pour obtenir une solution non triviale...

[FR119492]

Salut!
Dans la mesure où on peut le comprendre, ta matrice Q intervient dans un système de n équations à n inconnues. La condition selon laquelle la somme des inconnues doit être nulle donne une équation supplémentaire. Tu as donc finalement un système linéaire de n+1 équations à n inconnues, donc un système surdéterminé. Il peut arriver "par hasard" que ce système admette une solution unique où toutes les inconnues sont nulles, mais en général ça ne sera pas le cas et il n'existera pas de solution exacte. Dans un tel cas, je te recommande la méthode SVD qui te donnera la moins mauvaise solution (au sens des moindres carrés).
Jean-Marc Blanc