Discussion :

[Zavonen]

Pour une approche raisonnée (et raisonnable) du formalisme mathématique.
Avec des illustrations au moyen d'applets Java et de programmes d'application en Python.
Au programme:

• Ensembles
• Relations
• Applications
• Opérations
• Logique

http://gilles-dubois.developpez.com

[tbassetto]

Je n'ai pas encore lu le premier cours disponible et ce n'est pas particulièrement mon domaine d'étude mais j'espère trouver le temps pour savourer vos cours En effet c'est un vrai plaisir d'apprendre les mathématiques

[Zavonen]

Content de te l'entendre dire...
You're welcome !

[SpiceGuid]

Même sans bénéficier des applets (pas la configuration requise) il faut bien admettre que l'effort d'organisation et de définition est impressionnant.

Je pense que pour l'algorithmie on a vraiment besoin d'un référentiel centralisé comme le votre, faire des rappels sporadiques ça alourdit un cours d'algorithmie et sur le long terme ça ne sédimente pas la connaissance.

Pour le moment vous avez fait la part belle à l'algèbre, et c'est tant mieux
Cependant l'algorithmique est tout de même consommatrice d'un minimum de notions d'analyse, en particulier pour les calculs de complexité:

• suites et séries
• calculs de limites
• étude et discussion de certaines suites remarquables (Fibonacci, Ackermann, Syracuse)

D'un point de vue purement "algorithmique" c'est le seul manque qui me vienne immédiatement à l'esprit.
C'est finalement bien peu et votre hébergement est un sacré beau cadeau

Edit: autre manque pour l'algorithmique, il n'y a pas d'ensembles ordonnés, du coup il n'y a pas d'ordre lexicographique. Si j'ai bien compris l'intro de Fokkinga, pour structurer un ensemble on le défini par induction sur une algèbre initiale et alors on entre dans la théorie des catégories.

[Zavonen]

Merci SpiceGuid pout tes encouragements.
Tout ce que tu souhaites viendra en son temps (si justement je dispose de ce temps...)
Pour ce qui est des notions d'analyse et d'analyse numérique, un thème sera intitulé "Suites et fonctions d'une variable réelle" (le mot suite englobe ici les séries qui ne sont que des suites particulières).
Mais pour ce que futur chapitre prenne tout son sens.
Il faut que chacun sache 'vraiment' ce qu'est un nombre réel (en ait une bonne représentation mentale). Une dernière discussion interminable 1=0.99999...
m'a montré qu'on était loin du compte. Il faut aussi qu'on sache bien comment les réels sont très mal représentés en machine par des ensembles discrets avec le système mantisse et exposant. A partir de là on peut présenter de très bons algorithmes et expliquer pourquoi ils plantent en pratique. Montrer comment concevoir des algos qui tiennent compte a priori de la mauvaise représentation des nombres.
C'est pourquoi ma prochaine production qui devrait paraitre à la fin de l'année sera intitulée "Ensemble de nombres". Tu resteras encore sur ta faim, mais les bases théoriques seront bien posées.
Il faudra donc être patient.
Merci encore pour ton témoignage, cela fait toujours plaisir de voir que des lecteurs apprécient.

[ToTo13]

Bonjour,

ton cours a l'air vraiment très bien construit et clair (même si mes cours de licences sont très loin).

Je rejoins la remarque qui a été faite concernant des cours plus ciblés sur l'algorithmique (mais je suis conscient que la critique est facile et l'art difficile). En plus de ce qui a été cité, j'ajouterai un peu d'algèbre linéaire avec notamment tout ce qui est manipulation de matrices, à commencer par les déterminants et autres valeurs/vecteurs propres. D'un autre coté, pour ce qui est de cette dernière proposition, il existe le "numerical recipes". Mais il a l'air de rebuter beaucoup de personnes car il est en anglais (langue incontournable pour toute personne se voulant informaticienne).

[Zavonen]

Je viens de mettre en ligne le début de cette partie qui ne devrait pas subir d'importantes modifications.
Au menu donc pour le moment:

• Les entiers naturels
• Les entiers relatifs
• Les nombres rationnels.

En attendant la suite (réels , complexes)
Le tout devrait être achevé pour la fin décembre comme annoncé.
Avec toujours, comme d'habitude du code python, un peu de code C. Des exercices avec corrigés.
Par ailleurs le code Python de la première partie (Bases) a été revu pour introduire de façon de plus en plus systématique:

• Les 'comprehension lists'
• Les générateurs
• Les expressions génératrices.

Il faut bien vivre avec son temps.
Par ailleurs (toujours dans cette partie) de nombreux programmes ont été modifiés dans le sens d'une simplification.
Les objets python sont aussi utilisés pour la première fois dans ce cours pour la modélisation des rationnels. Ils serviront amplement par la suite.

[SpiceGuid]

Je viens de jeter un oeil sur le chapitre Entiers naturels.
c'est constructif et c'est complet.

Il y a cependant davantage de choses à connaître pour un informaticien.
En particulier il y a une correspondance remarquable entre structures de données et systèmes de numération:

• Système unaire <=> Liste
• Base 2 <=> Arbre binaire
• Skew binary numbers <=> Skew binomial heaps

On a donné récemment, dans le forum fonctionnel, un codage typé des entiers de Church-Girard :

Code OCaml :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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type church = {c: 'a.('a -> 'a) -> ('a -> 'a)}

let  zero = {c = fun f x -> x}
let  succ n = {c = fun f x -> f (n.c f x)}

Cet exemple est une bonne opportunité pour présenter le polymorphisme d'ordre 2.

Les fonctions de conversion de/vers les entiers de Church-Girard ont été proposées par bluestorm :

Code OCaml :

Sélectionner tout - Visualiser dans une fenêtre à part

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# let rec from_int = function 0 -> zero | n -> succ (from_int (n - 1));;
val from_int : int -> church = <fun>

# let to_int church = church.c ((+) 1) 0;;
val to_int : church -> int = <fun>

# to_int (from_int 8);;
- : int = 8

Edit: remarque sur le calcul des coeffs C(p,n)

Cp,n=n!/((n-p)!p!)=n(n-1)(n-p+1)/p!
Formule de fait peu adaptée au calcul pratique de ces coefficients à cause de la croissance extrêmement rapide de la factorielle.

Vous voulez dire que pour des petits nombres le triangle de Pascal est plus plaisant.
Selon moi, pour les grands nombres, le triangle de Pascal ne convient pas du tout. Je préfère largement cette formule au triangle pour les raisons suivantes:

• la factorielle se calcule rapidement par dichotomie, avec une multiplication à la Karatsuba
• la division rapide à la Michel Quercia possède la même complexité que la multiplication Karatsuba
• au final on obtient un algorithme en O(n**1,585) alors que le triangle de Pascal reste désespérément en O(n²)

Bien sûr, le triangle de Pascal conserve l'avantage appréciable de donner tous les coeffs (et non un seul comme la formule).

[Zavonen]

@ SpiceGuid:
Tes remarques sont intéressantes mais il s'agit avant tout d'un cours de maths. Il ne s'agit pas d'un cours d'info, ni même d'un cours de maths spécial pour informaticiens. Les petits programmes donnés en exemple sont là pour illustrer le propos, et on fait en sorte que, en particulier, les étudiants en info (ayant donc des sources différentes) puissent éventuellement combler leurs lacunes. J'ai choisi Python parce qu'à ma avis c'est le plus lisible pour des non spécialistes.
Le calcul des Cpn par Pascal a l'avantage de ne jamais provoquer de débordements, les formules avec des factorielles font exploser la plupart des interprètes et des compilos (sauf python encore une fois qui change automatiquement de type quand il y a débordement).

[Zavonen]

Je viens de mettre en ligne le chapitre 'Nombres réels' (Cours seulement sans exos). Les exos devraient arriver un peu plus tard. Au programme: multiples définitions de R.
Axiomatique
Au moyen des développements décimaux, des coupures de Dedekind, des suites de Cauchy.
Notion de topologie sur R. Théorème de la B. Sup.
Représentation en machine (types float, double et Decimal)
Quelques inégalités utiles.
Les modules 'BASES' et 'NOMBRES' ont été réunis.

[Alp]

C'a l'air d'être encore une fois du très bon travail

[alex_pi]

Merci beaucoup pour cette très bonne introduction.

Pour la partie chipotage : pour l'égalité d'ensembles, j'aurais dit que "<=>" veut dire "si et seulement si"

Pourquoi avoir choisi de mettre la paire avant le singleton et l'ensemble vide encore après ?

Dans la partie sur l'ensemble vide, tu montres son unicité par "l'absurde". Pourquoi ne pas le faire "dans le bon sens ? C'est peut être mon coté "constructiviste" qui parle, mais quand la démonstration directe n'est pas a priori plus compliqué, pourquoi courir en arrière ?

Dans les propriétés sur l'intersection, j'aurais probablement mis que A inter B est inclus dans A

Dans les ensemble de parties, pour l'exemple de pourquoi il ne faut pas écrire x = {x} en prenant x l'ensemble vide, citer les deux parties de l'ensemble contenant l'ensemble vide ?

Toujours pour les ensembles de parties, à la phrase "Celles qui ne contiennent pas l'élément x leur nombre est donc Cp,n-1", j'aurais rajouté un truc genre "et sont donc incluses dans F"

Dans la définition des partitions, il faut que i soit différent de j pour avoir la propriété d'intersection vide

Il me parait surprenant qu'il faille attendre d'avoir N avant de pouvoir définir ce qu'est un ensemble fini de façon formelle, non?

Mais encore une fois bravo

[Zavonen]

Pourquoi avoir choisi de mettre la paire avant le singleton et l'ensemble vide encore après ?

Pour des raisons pédagogiques.
Un ensemble est 'défini' intuitivement comme un regroupement d'objets. Commencer par un exemple qui n'en regroupe aucun (ou même un seul) c'est donner un premier exemple a contrario du concept, très mauvais. Evidement les 'constructivistes' postule l'existence du vide et fabrique le reste à partir de là. Mon cours s'adresse à des gens sans aucun autre bagage que le secondaire (crois tu que ces vues soient encouragées actuellement ?)

[Zavonen]

Dans la définition des partitions, il faut que i soit différent de j pour avoir la propriété d'intersection vide

Corrigé, merci !

[Zavonen]

Toujours pour les ensembles de parties, à la phrase "Celles qui ne contiennent pas l'élément x leur nombre est donc Cp,n-1", j'aurais rajouté un truc genre "et sont donc incluses dans F"

Corrigé, merci !

[Zavonen]

Dans les ensemble de parties, pour l'exemple de pourquoi il ne faut pas écrire x = {x} en prenant x l'ensemble vide, citer les deux parties de l'ensemble contenant l'ensemble vide

C'est fait ailleurs.