Discussion :

[thtghgh]

Bonjour à tous,

Je suis un peu bloqué sur un exercice que j'essaye en vain de comprendre.

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On effectue un sondage aléatoire dans la population française dans le but de
déterminer la proportion p d’individus éprouvant de la peur à l’idée d’effectuer un
voyage en avion.
 
 On interroge 1000 personnes. Sur ces 1000 personnes, 253 affirment éprouver la
peur de l’avion, les 747 restantes n’éprouvant pas d’appréhension particulière. Sur la
base de ces données, proposez une fourchette de valeurs plausibles pour la valeur de p

Ma premiere idée était d'utiliser le résultat de la loi des grands nombres et d'affirmer que l'erreur d'estimation est située entre -2*x et 2*x avec x = sqrt(p(1-p))/N avec p=253/1000 et N=1000; Mais ce résultat me donne une erreur d'estimation de 43% ce qui signifie que si l'on se fie à ce sondage le pourcentage de personnes ayant peur en avion au sein de cette population est situé entre [253/1000-253*0.86/1000 ; 253/1000+253*0.86/1000] soit [3.5% ; 47 %] (et ce avec une probabilité de 95%).... Mais ce résultat me semble inutile car la fourchette est trop grande, donc il est surement faux!

Avez vous une idée de mon erreur de raisonnement ?

Merci

[Zavonen]

Les données me semblent orientées vers une application de la loi des grands nombres de Jacob Bernoulli.
n1: nombre de personnes répondant avoir peur de l'avion : 253
n: nombre de personnes interrogées:1000
P(|n1/n-p)|< epsilon) >= 1-1/(4*epsilon*epsilon*1000)
Donc ici pour epsilon =0.05
P(|p-0.253|<0.05 >=0.9
Donc 0.203 <p <0.303 avec une proba de 0.9

[thtghgh]

Merci, mais quelle est donc la formule générale à adopter?

[Zavonen]

La question est vague (mal posée), et la réponse ne peut être donnée qu'en termes de probabilités.
Tu comprends que par malchance, notre échantillon peut contenir les seules 253 personnes ayant peur de l'avion sur un total de plusieurs milliards auquel cas la probabilité est voisine de 0, ou bien au contraire on a pu tomber sur les seules 747 (pub Boeing ???) n'ayant pas peur auquel cas la probabilité est voisine de 1. On ne peut pas fixer de bornes absolues pour la probabilité cherchée.
J'ai donné une réponse possible en utilisant la forme de J.B. de la loi des grands nombres:
évènement de probabilité p.
on répète l'expérience n fois.
L'évènement est réalisé n1 fois

P(|n1/n-p)|< epsilon) >= 1-1/(4*epsilon^2*n)

et en fixant moi-même assez arbitrairement epsilon=0.05 pour que le membre de droite soit suffisamment voisin de 1 (j'ai choisi a priori 0.9 et j'ai ajusté esilon en conséquence).

[thtghgh]

Je me suis trompé !!!


L'erreur d'estimation avec ma formule est de 0.043 %

Ce qui nous donne finalement un intervalle pour p : [0.231 ; 0.275 ]