Discussion :

[Niko95]

Bonjour !

je cherche à calculer l'exponentielle d'une matrice complexe (8x8). pour l'instant, j'ai simplement utilisé la somme de 1/(k!)*A^k, en variant k de 0 à la valeur maximale supportée...

cependant, mon programme de simulation "part aux fraises" pour certaines valeurs.

j'en conclus que la somme que j'utilise n'est pas précise. il ne m'est pas possible d'augmenter la précision en prenant des k plus grands.

que faire pour m'en sortir ?

quelqu'un connaitrait un algorithme fiable pour calculer l'exponentielle d'une matrice ? Merci d'avance pour votre aide

[FR119492]

Salut!

calculer l'exponentielle d'une matrice

Que veux-tu faire avec?
Jean-Marc Blanc

[Niko95]

j'ai besoin de l'exponentielle d'une matrice afin de calculer l'évolution de la matrice densité (rho) d'un système de spin :

rho(t+tau_1) = exp(-i*H*tau_1)*rho(t)*exp(i*H*tau_1)

où H est l'Hamiltonien qui comprend les interactions qui régissent mon système. les dimensions de l'Hamiltonien sont (2^N)x(2^N), où N est le nombre de spins qui forment mon système. mon programme actuel utilise 3 spins, et il me faut donc effectuer les calculs sur des matrices 8x8 (mais j'ai dans l'espoir de l'étendre à un nombre de spins supérieur).

une fois que j'obtiens le propagateur (P = exp(-i*H*tau_1)), j'effectue une boucle de n cycles, et j'ai l'impression que je propage une erreur, qui donne des résultats aberrants avec un nombre de cycle élevé.

j'espère que mon explication n'est pas trop "fouilli"

merci d'avance pour votre aide !

[FR119492]

Salut!

rho(t+tau_1) = exp(-i*H*tau_1)*rho(t)*exp(i*H*tau_1)

Ceci ressemble à s'y méprendre à une formule de récurrence. Est-ce que par hasard tu ne serais pas en train d'essayer d'intégrer un système différentiel par la méthode d'Euler?
Jean-Marc Blanc

[Niko95]

Est-ce que par hasard tu ne serais pas en train d'essayer d'intégrer un système différentiel par la méthode d'Euler?
Jean-Marc Blanc

euh... ça dépasse mes compétences...
l'équation de départ (Liouville - von Neumann) est la suivante :

d(rho(t))/dt=-i*[H(t), rho(t)]
dans tous les textbooks de résonance magnétique nucléaire, on nous dit "simplement" que la solution est :

rho(t)=U(t)*rho(0)*U(t)^-1 où U est le propagateur...

j'ai écrit un programme en matlab qui fonctionne parfaitement (la fonction expm étant déjà implémentée), mais lorsque je l'écris en Fortran, j'ai dû créer la fonction et j'ai utilisé la somme décrite plus haut dans ce fil.

[Ladgalen]

Si ça peut t'aider, tu peux chercher dans les méthodes de propagations de paquets d'ondes.

C'est une problématique classique pour les gens qui calculent la dynamique quantique de molécules. Dans leurs cas ils ont des choses très précises avec des matrices énormes vu qu'ils prennent en compte beaucoup de niveau de vibrations. Et le propagateur est quasiment le même donc ton problème doit déjà avoir une subroutine quelque part

Bon courage