Discussion :

[CedricMocquillon]

Bonjour à tous,

J'ai le problème suivant: j'ai n villes et m personnes. Je connais la probabilité pour une personne d'habiter chacune des villes. On note p_i la probabilité pour une personne d'habiter la ville i. On a bien \sum_{i=1}^n p_i = 1
Le problème c'est que je ne peux pas arrondir les m \times p_i pour me donner le nombre de personnes habitant dans chaque ville. J'ai donc 2 méthodes mais je m'interroge sur l'exactitude de celles ci d'un point de vu mathématique:
méthode 1:

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Hab : tableau contenant le nombre d'habitants dans les différentes villes
Prob : tableau des probabilités d'habiter dans chaque ville
Pour i=1 à n
  Prob[i] <- m * Prob[i]
Fin Pour
cpt <- m
Pour i=1 à n
  Hab[i]<- Hab[i] + partie_entiere_inferieure(Prob[i])
  cpt <- cpt - partie_entiere_inferieure(Prob[i])
  Prob[i] <- Prob[i] - partie_entiere_inferieure(Prob[i])
Fin Pour
Tant que cpt > 0
  Soit i l'indice du maximum dans Prob
  Prob[i] <- 0
  Hab[i] <- Hab[i] + 1
  cpt <- cpt - 1
Fin Tant que

méthode 2:

Code :

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Hab : tableau contenant le nombre d'habitants dans les différentes villes
Prob : tableau des probabilités d'habiter dans chaque ville
ProbCum : tableau des probabilités cumulées
ProbCum[0] <- Prob[0]
Pour i=2 à n
  ProbCum[i] <- ProbCum[i-1]+Prob[i]
Fin Pour
Pour j=1 à m
  nombre <- Tirer un nombre aléatoire entre 0 et 1
  i <- 1
  Tant que ProcCum[i] < nombre
    i <- i + 1
  Fin Tant que
  Hab[i] <- Hab[i] + 1
Fin Pour

[pseudocode]

J'ai donc 2 méthodes mais je m'interroge sur l'exactitude de celles ci d'un point de vu mathématique:

J'ai pas du bien comprendre le problème, car pour moi le nombre de personnes habitant une ville est donnée par:

Code :

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                       m
PopulationVille(v) = Somme P(i,v)
                      i=1
pour 1<=v<=n

[CedricMocquillon]

Dans mon exemple, l'objectif est par exemple, connaissant la répartition de la population française sur l'ensemble des villes de france, de simuler un comportement de cette population en n'en prenant que 10 000. Il faut donc que je "place" ces 10 000 personnes sur mes villes de sorte à être le plus fidèle possible par rapport à la réalité. Dans mon exemple, chaque personne a exactement la meme probabilité d'habiter à Paris mais par contre une personne n'a pas la même probabilité d'habiter Paris que Toulouse. (le proba d'habiter Paris est de NbHabitant(Paris)/NbHabitant(France))

[pseudocode]

Ah... je pense que j'ai compris. Tu veux faire du resampling, c'est à dire passer d'un echantillon de taille 60 millions à un échantillon de taille 10.000.

Dance ce cas, il vaut mieux utiliser ta méthode 2.

[CedricMocquillon]

Merci pour ta réponse c'est effectivement ce que je veux faire. Par contre aurais-tu une justification pour le fait d'utiliser la seconde méthode? Car pour moi si on considère que l'on cherche à approximer au mieux la fonction qui à une ville renvoie le nombre d'habitant en nombre réels (c'est-à-dire qui renvoie m*p[i]) par une fonction à valeurs entières, la première méthode minimise l'erreur d'approximation. Cependant il est vrai que d'un point de vue probabilité, j'ai l'intuition que la seconde est mieux (mais je n'ai aucun argument pour le justifier)...

[pseudocode]

Merci pour ta réponse c'est effectivement ce que je veux faire. Par contre aurais-tu une justification pour le fait d'utiliser la seconde méthode?

Ta 1ère méthode fait du "rescaling", c'est à dire qu'on construit un nouvel échantillon qui à le même histogramme que l'echantillon de départ.

Ta 2nde méthode fait du "bootstrapping", c'est à dire qu'on construit un nouvel échantillon à partir d'un modèle de l'echantillon de départ.

Si tu veux une justification le plus simple est de rechercher sur internet "resampling bootstrap".

En gros, la 1ère méthode conduit à moyenner les valeurs et donc à changer les réalisations possibles => des valeurs entieres deviennent des valeurs décimales (= le célèbre 1,5 enfants par famille). C'est pour cela qu'on préfère utiliser la 2nde méthode car les réalisations possibles ont le meme ensemble de définition.