Discussion :

[oiffrig]

Bonjour
Je cherche à filtrer un signal. Je dispose du signal discret et de la fonction de transfert du filtre sous la forme H(t, f) (t: temps, f: fréquence), mais cette fonction varie au cours du temps.
Exemple de fonction de transfert :

Code :

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H(t, f) = 1/(1 + i*(f/fc(t)))

Quelle est la méthode la plus pratique pour mettre ceci en oeuvre?

[FR119492]

Salut !

Ton approche est très répandue, mais malheureusement maladroite et surtout dangereuse. Je te suggère de prendre le problème d'une toute autre manière: Ton filtre est réalisé avec des amplificateurs que tu peux assimiler à des sources commandées, des résistances, des condensateurs et peut-être des inductances. Tu écris les équations, éventuellement différentielles de tous ces composants, tu les mets ensemble et ça te donne un système différentiel qu'il ne te reste qu'à intégrer par un brave Runge-Kutta. Je sais que cette approche n'est pas très orthodoxe, mais elle a l'avantage de rester très près de la réalité physique, et d'être d'une robustesse à toute épreuve.

Jean-Marc Blanc

[oiffrig]

Je suis d'accord sur le principe, mais mes filtres n'ont aucune raison de représenter un phénomène physique, il se pourrait très bien que la fonction de transfert soit de la forme H(t, f) = sin(f / f0(t)) par exemple. C'est surtout de là que vient le problème, je n'ai a priori aucune idée de l'expression de la fonction de transfert.

[FR119492]

Salut !

mes filtres n'ont aucune raison de représenter un phénomène physique

Alors à quoi servent-ils ?

je n'ai a priori aucune idée de l'expression de la fonction de transfert

Comment espères-tu résoudre un problème dont tu ne connais pas la donnée ?

Jean-Marc Blanc

[oiffrig]

Alors à quoi servent-ils ?

Ils serviront à modifier des signaux (ensuite convertis en audio) générés par ordinateur (sans pour autant représenter des filtres électroniques).

Comment espères-tu résoudre un problème dont tu ne connais pas la donnée ?

Je ne connais pas l'expression de la fonction de transfert mais je peux calculer ses valeurs.

[FR119492]

Salut !

Avant d'essayer de t'aider à résoudre ton problème, j'aimerais m'assurer de l'avoir bien compris:

Tu as une séquence de valeurs x_1, x_2, ... , x_i, ... , x_n que tu as appelée ton "signal", que tu a reçue ou générée par un programme informatique. A partir de cette séquence, tu veux générer une seconde séquence de valeurs y_1, y_2, ... , y_i, ... par ce que tu appelles un "filtre". Pour un filtre linéaire "normal", chaque valeur y_i serait une combinaison linéaire des valeurs x_1, x_2, ... , x_j, ... , x_i , donc pour j allant de 1 à i , de la forme
y_i = Somme_(j=1,i){A_(i-j)*x_j}
Ton problème a ceci de particulier que les A_(j-i) ne sont pas des constantes, mais dépendent aussi de i lui-même. Connaissant l'évolution des A et les x, tu cherches à calculer les y. En fait, tu ne fais pas seulement un "filtrage", mais aussi une modulation d'amplitude.

Jean-Marc Blanc

[oiffrig]

Voilà, c'est ça, j'ai un peu de mal à m'expliquer étant donné que pour le moment je l'étais limité à des filtres "simples" (filtres électroniques du 1er ordre).
Aurais-tu des pistes ou des documentations qui pourraient me servir ?

[FR119492]

Salut !

Procède en trois étapes:

1. Ecrire toutes les équations qui régissent ton système.
2. Décider par quelle(s) méthode(s) tu veux les traiter.
3. Programmer et déboguer le tout.

Bonne chance.
Jean-Marc Blanc

[oiffrig]

Comme dit, il n'y a pas de système, mais après réflexion c'est peut-être un peu trop général, je ferais mieux de me contenter pour l'instant de filtres linéaires, ce qui me faciliterait la tâche. Le seul problème avec la convolution, c'est que je n'ai pas les A_i pour reprendre tes notations, j'ai uniquement la réponse fréquentielle de mon filtre sous forme d'une fonction du temps et de la fréquence H(t, f). En supposant que le système est linéaire, comment pourrais-je faire pour calculer les y_i ?
La convolution permettrait de le faire à condition de calculer la réponse impulsionnelle du filtre à chaque instant , ce qui est très lourd, y a-t-il une autre solution ?

[FR119492]

Salut !

Ton H(t,f), qui était une fonction de transfert dans ton premier post, est devenu subitement une réponse fréquentielle. Curieux ! Cette grandeur est-elle réelle ou complexe ?

Si ton H(t,f) est complexe et si ton x(t) est une grandeur périodique (pas nécessairement sinusoïdale), tu décompose celle-ci en série de Fourier complexe, ce qui te donne des phaseurs ^1X, ^2X ^3X, etc. correspondant aux divers harmoniques, de fréquences f, 2f, 3f, etc. Tu les multiplies respectivement par H(t,f), H(t,2f), H(t,3f), etc. et tu obtiens les phaseurs ^1Y, ^2Y ^3Y, etc. correspondant aux divers harmoniques de la grandeur de sortie. Il te suffit alors de reconstituer la grandeur de sortie y(t).

Si ton x(t) est une grandeur quelconque, tu calcules sa transformée de Laplace, tu multiplies celle-ci par ta fonction de transfert, tu calcules la transformée inverse du résultat (c'est ce qu'on enseigne dans les "bons" livres et tu constates que ça ne marche pas!

La raison en est très simple: dans tous tes calculs, il y aura une certaine imprécision due entre autres aux erreurs d'arrondis; or deux fonctions totalement différentes peuvent avoir des transformées de Laplace très voisines. Cette méthode n'est utilisable que pour de petits exercices scolaires, mais rarement pour les problèmes que l'on rencontre dans la réalité.

Une anecdote instructive pour terminer: Lorsque j'étais étudiant, les automaticiens de notre école avaient exigé du centre informatique qu'il mette à leur disposition un programme pour inverser la transformation de Laplace. Après mure réflexion, on a fait un programme qui rétablissait le système différentiel correspondant puis l'intégrait par la méthode de Runge-Kutta. Les automaticiens n'y ont vu que du feu, mais ils ont utilisé le programme pendant des années à leur entière satisfaction.

Jean-Marc Blanc

[oiffrig]

Désolé de m'être mal exprimé, oui H(t, f) est la réponse fréquentielle complexe.
Je crois avoir compris, j'essaierai demain de le mettre en application, merci.

EDIT:
Donc je pense avoir trouvé
Pour un "signal" x[n] à N échantillons (0 <= n <= N-1), fréquence d'échantillonnage f_e
Transformée de Fourier discrète: X_k
Multiplication par exp(j*2pi*n*k/N)*H(k*f_e/N, n/f_e): Y_k (n)
Recomposition du "signal" de sortie: y[n] = somme_{k = 0 ... N-1} (Re(Y_k (n)))

Soit en condensé


C'est juste ?