Discussion :

[smercier2]

Bonjour à tous,

J'ai la résolution d'un système d'équations non linéaires (2 équations, 2 inconnues) du type :

f(x,y)=0
g(x,y)=0

Je travaille en C++/C...je n'arrive pas à trouver pour le moment une librairie capable de faire celà...

Quelqu'un aurait-il un tuyau ? Un mot clé ?


MErci par avance

Cordialement

MERCIER Sébastien

[ToTo13]

Bonjour,

il me semble pour que ce genre de problèmes il faut utiliser la méthode Levenberg-Marquardt. (A confirmer).

[Zavonen]

J'ai la résolution d'un système d'équations non linéaires (2 équations, 2 inconnues) du type :
f(x,y)=0
g(x,y)=0

Il y a deux problèmes distincts:
Problème de l'existence et du nombre des solutions (plutôt algébrique par nature)
Problème du calcul d'une solution dans un ensemble particulier (souvent un rectangle où on sait a priori qu'une solution existe (problème d'analyse numérique plutôt).
Pour le premier, en toute généralité je n'ai pas grand chose à proposer sauf peut être quand les équations sont algébriques (polynomiales). C'est dans tous les cas un pb assez (très) difficile.
Pour le second les choses sont plus simples:
une équation f(x,y)=0 définit le plus souvent une fonction implicite y=h(x), c'est le cas en particulier pour les fonctions continument différentiables au voisinage d'un point où la dérivée par rapport à la seconde variable est non nulle, on peut même avoir une expression approchée de cette fonction par un développement limité faisant intervenir cette dérivée partielle.
Si on est dans le cas où on peut appliquer cela pour les deux à la fois. Le système se ramène à h(x)=k(x) soit (h-k)(x)=0 annulation d'une fonction continue, pour ce pb les méthodes sont nombreuses.
Le problème étant symétrique sur les deux variables on peut aussi être ramené à x=k(y) et x=h(y)
ou bien
y=h(x) et x=k(y)
Dans le dernier cas on cherche un point fixe, ce qui revient encore à annuler une fonction continue.
Je ne connais aucun programme C qui fasse cela mais cela ne doit pas être difficile à écrire.

[Zavonen]

En fait j'aurais peut être été plus clair si j'avais utilisé un langage 'graphique'
On cherche une solution au voisinage d'un point M0(x0,y0).
On remplace localement la courbe f(x,y)=0 par sa tangente au point d'abscisse x0, la courbe g(x,y)=0 par sa tangente au point d'abscisse x0, l'intersection des deux tangentes est certainement plus près du point cherché que M0, il reste à itérer le processus.

[pseudocode]

En fait j'aurais peut être été plus clair si j'avais utilisé un langage 'graphique'
On cherche une solution au voisinage d'un point M0(x0,y0).
On remplace localement la courbe f(x,y)=0 par sa tangente au point d'abscisse x0, la courbe g(x,y)=0 par sa tangente au point d'abscisse x0, l'intersection des deux tangentes est certainement plus près du point cherché que M0, il reste à itérer le processus.

Bref, la methode de newton... c'est ca ?

[sidahmed]

Bonjour,

voici les méthodes les plus utilisées pour la résolution des systèmes d'équations non linéaires :

• Méthode de Newton
• Méthode du point fixe
• Méthode de Gauss - Siedel
• Méthode de relaxation

Bon courage.

[Zavonen]

Bref, la méthode de Newton... c'est ca ?

Formellement non, mais on peut jouer sur les mots.
La méthode de Newton consiste à calculer une solution de f(x)=0 au voisinage d'un point en remplaçant la courbe par sa tangente, et en proposant comme nouvelle approximation l'intersection de cette tangente avec l'axe des x. Le fondement théorique de newton est l'approximation locale des fonctions par des fonctions du premier degré 'affines'.
Ici, le fondement théorique est le théorème dit 'des fonctions implicites'. cela dit, l'idée de base est la même.
Newton est avec Leibniz le fondateur du calcul différentiel, il est donc le père de tout.