Discussion :

[djo.mos]

bonjout tout le monde.

je dispose d'un plan defini par 3 points (x,y,z)
comment faire pour calculer l'image d'un pt qlq (x,y,z) par ce plan ?
merci.

[plegat]

Salut,

Avec tes trois points, tu définis un repère orthonormé (X,Y,Z), avec X et Y dans le plan... du plan!
Tu calcules les coordonnées de ton point (x,y,z) dans ce repère, ça donne (x',y',z')
Et tu inverses la coordonnées z de ton point pour avoir son symétrique: (x',y',-z')

[Médiat]

Trois points A, B et C non colinéaires qui définissent donc un plan.
X un point quelconque de l'espace. Il existe a, b, c tels que

(Je souligne pour les vecteurs, . = produit scalaire et x = produit vectoriel)

AX = a.AB + b.AC + c.ABxAC

en multipliant scalairement par AB et par AC

AX.AB = a.AB² + b.AC.AB
AX.AC = a.AB.AC + b.AC²

Système dont le discriminant est

AB².AC² - (AB.AC)²

qui est > 0 pour des points non colinéaires, a et b sont donc faciles à trouver.
Enfin en multipliant scalairement pas ABxAC :

AX.(ABxAC) = c.(ABxAC)²

d'où on tire très facilement c

et finalement

AX' = a.AB + b.AC - c.(ABxAC)

[Matthieu Brucher]

Accessoirement, c'est du programme de Terminale S, cette question...

[chebreg]

voici une solution matricielle du probleme :

Soit :
A, B, C trois point
X un point donné
X' le point symetrique à rechercher

Solution

a) Calculer les vecteurs du noveau systme
0- Le point O correspond au point A
1- calculer vecteur u = (A-B)/||A-B||
2- calculer vecteur v = (A-C)/||A-C||
3- calculer vecteur w = u ^ v (produit vectoriel)
on a le sysleme (0, u, v, w)

b) Calculer la matrice de passage et la matrice inverse
4- construire "M" la Matrice de passage (de dimension 3x3), tel que M = [u ,v , w ]
5- calculer "M-1" la matrice de passage inverse, tel que M-1 = MT (transposé)

c) Calculer les coordonnées du point X' (point sysmetrique à X)
6- calculer les coordonnées du point X dans le nouveau systeme, soit Xm = M * (X-A)
7- calculer le point symetrique au point Xm (plan [[u ,v]), soit Xm' = Iinv * Xm
où Iinv est une matrice 3x3 =[1,0,0]
[0,1,0]
[0,0,-1]
ce qui revient à inverser le signe de la coordonnée "z" du point Xm
8- calculer les coordonées du point X' (en passant à l'encien systeme), X' = (M-1 * Xm')+A

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Attention ya ptet des erreurs dans les formules presentées. mais le pricipe est là.
je compte sur vous pour trouver les erreurs et les signaler.

[j.p.mignot]

1> calculer l'équation du plan Pl passant par les 3 points donnés d'où

Ax + By + Cz + D = 0. choisir A^2 + B^2 + C^2 = 1

la normale au plan est alors le vecteur N [A, B, C]


soit le point P0(x0,y0,z0) dont on veut le symétrique
la puissance analytique de P0 par rapport à Pl vaut
A*x0 + B*y0 + C*z0 +D = u
le point cherché doit donc satisfaire
A*x1 + B*y1 + C*z1 + D = - u (1)

de plus le vecteur (x0-x1,y0-y1,z0-z1) est colinéaire avec N ce qui amène deux autres équations

(x1-x0) / A = ( y1- y0 ) / B = ( z1-z0) / C (2)

On dispose alors d'un système 3 équations 3 inconnues.



On peut aussi considérer le problème comme l'intersection de 3 sphères dont les centres sont respectivement les 3 points donnés et passant toutes 3 par le point P0 dont on veut le symétrique

l'intersection de 2 sphères => 1 cercle (l'existance de P0 assure le croisement- limite tangence- des sphères).L'intersection avec une troisième en général ensemble vide mais 2 points ou 1 cercle aussi possible.
ici l'existence de P0 et le fait que les 3 points soit non colinéaires ( définissent 1 plan) assure 2points dont un est P0 et le 2ème P1

[djo.mos]

Merci à tous.
Je vais essayer les differentes méthodes pour selectionner la plus rapide !
Merci encore.