Discussion :

[Tomas2]

j'aimerais savoir commment on résout un sistème à 4 incunues, en m'expliquant s'implement, si c'est pas trop compliqué à expliquer.

Merci beaucouup.

[Zavonen]

Il manque à ta question deux précisions:
le nombre d'équations
le degré des équations (si tant est qu'elles soient algébriques)

[FR119492]

Salut.

Comme l'a écrit Zavonen, ta donnée est incomplète. Alors j'essaie de deviner ce que tu aurais dû écrire: "Système linéaire de n équations à n inconnues, avec n=4". Dans ce cas, il y a beaucoup de méthodes possibles.

Commençons par tuer la plus catastrophique, la méthode de Cramer, qui exprime chaque inconnue par le quotient de deux déterminants. Le temps de calcul est proportionnel à la factorielle de n: Pour un système de 100 équations à 100 inconnues, si on avait commencé les calculs au moment du big bang qui a donné naissance à notre univers, ils ne seraient pas encore terminés, alors qu'avec une bonne méthode sur un bon PC, ça prend moins qu'une seconde.

Voici maintenant quelques "bonnes" méthodes:

1) Si la matrice est triangulaire, la méthode de substitution. Le temps de calcul est proportionnel au carré de n.

2) Si la matrice est orthogonale, tu multiplies sa transposée par le vecteur de second membre. Le temps de calcul est proportionnel au carré de n.

3) Dans le cas général, tu peux utiliser la méthode d'élimination de Gauss, qui te ramène au cas 1). Le temps de calcul est proportionnel au cube de n.

4) La factorisation LU (méthode de Crout) est une variante de la précédente.

5) Si ta matrice est symétrique définie positive, la méthode de Cholesky est presque deux fois plus rapide.

6) Il existe une factorisation QR (méthode de Householder) mais, de manière tout à fait subjective, je n'aime pas.

7) Si rien ne marche et si on te menace de couper la tête si tu ne trouves pas la solution, alors il te reste la factorisation SVD (valeurs singulières) qui est longue, compliquée, mais marche toujours (ça j'aime!).

Pour le détail de ces méthodes, regarde dans Wikipedia, dans Numerical Recipes ou dans n'importe quel bon livre. Toutes ces méthodes sont déjà programmées dans la librairie LinPack, disponible gratuitement sur www.netlib.org, ainsi que dans MatLab, dont la documentation est très bien faite.

Bonne chance.
Jean-Marc Blanc

[Tomas2]

Je vais préciser quel est mon problème :

Résoudre le système :

x(2x - y) = 0
y(x + y - 1) = 0

[Tomas2]

Désolé de ne pas avoir été clair

[Tomas2]

Ha et aussi :



1) Si la matrice est triangulaire, la méthode de substitution. Le temps de calcul est proportionnel au carré de n.

Qu'est qu'une matrice, (je sais ce qu'ai la méthodde de subtitution) ?

2) Si la matrice est orthogonale, tu multiplies sa transposée par le vecteur de second membre. Le temps de calcul est proportionnel au carré de n.

Je ne comprend pas.

3) Dans le cas général, tu peux utiliser la méthode d'élimination de Gauss, qui te ramène au cas 1). Le temps de calcul est proportionnel au cube de n.

Qu'est que cette méthode ?

4) La factorisation LU (méthode de Crout) est une variante de la précédente.

Je ne comprend pas non plus

5) Si ta matrice est symétrique définie positive, la méthode de Cholesky est presque deux fois plus rapide.

pareil

6) Il existe une factorisation QR (méthode de Householder) mais, de manière tout à fait subjective, je n'aime pas.

ça c'est bon.

Vraiment désolé mais j'ai pas compris

[Zavonen]

On y voit plus clair ...
Donc deux fausses équations de degré 2.
Le premier ensemble solution est la réunion de deux droites
Le second aussi
Tout revient donc à déterminer des intersections de droites

[Zavonen]

Il doit y avoir les 4 points:
(0,0)
(0,1)
(1,2)
(1/3,2/3)

[Tomas2]

Excusez moi, mais je ne comprend vraiment pas parlais de deux systèmes, et non de fonctions, alors pourquoi voulez vous faire des droites, tracer des points ou des intersections ?

[Jedai]

Excusez moi, mais je ne comprend vraiment pas parlais de deux systèmes, et non de fonctions, alors pourquoi voulez vous faire des droites, tracer des points ou des intersections ?

Comme d'habitude, si tu poses ce genre de question, il vaut mieux préciser ton niveau d'avance pour t'éviter certaines réponses pour toi incompréhensible...

(Encore que l'analogie géométrique devrait être vue très tôt en Lycée (en 3ème a priori bien que de façon floue), dans quelle classe es-tu ?)

--
Jedaï

[Nemerle]

Salutn déjà c'est "sYstème", pas "sistème".

Si tu poses ce genre de questions, il faut vraiment savoir quel est ton "niveau". Tu en es où dans tes études?

[Tomas2]

En début de seconde, je suis en train de voir les ensembles de nombres et les bases de géométrie.

Ha oui je précise que je me suis viellis de 10 ans

[Jedai]

Ha oui je précise que je me suis viellis de 10 ans

Ben c'est pas malin... Si quelqu'un regarde ça (personnellement je ne fais pas attention), il va forcément te faire des réponses hors de ta portée. Si ça te gène qu'on sache que tu as 15 ans, ne mets rien du tout, tout simplement.

Pour ce qui est de l'histoire des droites, c'est simplement la représentation géométrique de ta solution.
Par exemple pour une équation du type "ax + by + c = 0", l'ensemble des couples (x,y) solution sont alignés en une droite si tu les représentes dans le plan.
Pour ta première équation "x(2x - y) =0", tu peux traduire ça par : "x = 0 OU 2x - y = 0", la solution est donc une réunion de deux droites, pareil pour ta deuxième équation, la solution du système est à (aux) l'intersection(s) des solutions des deux équations.

--
Jedaï

[alex_pi]

Il doit y avoir les 4 points:
(0,0)
(0,1)
(1,2)
(1/3,2/3)

(1,2) n'est pas solution

[Zavonen]

(1,2) n'est pas solution

Possible, j'ai tiré à l'instinct.

[Zavonen]

Pour faire les choses 'clean':
la première équation équivaut à:
x=0 OU y=2x
la seconde :
y=0 OU y=1-x
Les solutions du système satisfont donc à:
(x=0 OU y=2x) ET(y=0 OU y=1-x)
on applique 2 fois la distributivité de ET sur OU
pour obtenir:
(x=0 ET y=0)OU(y=2x ET y=0) OU (x=0 ET y=1-x) OU(y=2x ET y=1-x)
On s'apercoit que le couple (0,0) est solution double du système.
Il n'y a donc que 3 solutions.
Ceci prouve qu'Alex Pi a raison.
Il y en a au moins un qui suit.

[Tomas2]

Ok merci, j'ai compris, mais est ce qu'on peut dire qu'un système eest une fonction et qu'est qu'une matrice ?

[FR119492]

Tout à fait d'accord avec Jedai. Si j'avais su, je ne me serais pas fatigué à écrire une réponse aussi incompréhensible pour Tomas2. Mais enfin, c'est fait et j'espère qu'elle sera utile pour d'autres.

Jean-Marc Blanc