Discussion :

[BBouille]

Bonjour les amis,
Pour le moment je parviens à déterminer les coefficients d'un polynôme d'ordre n à partir de points et je cherche à calculer les coefficients d'une fonction logarithmique du genre :

Code :

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f(x) = a*ln(b*x + c) + d

Pour les polynômes je crée deux matrices et utilise la méthode de Cramer pour calculer les coefficients du polynôme.
Pour remplir la matrice j'utilise

Code :

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c(i,j) = c(i,j) + x(k)^(i+j)

k variant de 1 au nombre de points et i,j de 1 au degré et pour l'autre matrice :

Code :

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b(i) = b(i) + y(j) * x(j)^i

Auriez-vous une idée pour remplir cette matrice avec la fonction logarithmique?
Plutôt qu'une régression polynômiale ce serait une logarithmique.

[Waptia]

Bonjour

Il faut si j'ai bien compris trouver les 4 coefficients (a, b, c, d) vérifiant les équations

F(x_k) = a*ln(b*x_k + c) + d,

l'indice (k) variant de 1 à Np (nombre de points, au moins égal à 4).

Il ne s'agit malheureusement pas d'un système linéaire, en raison de la présence de la fonction logarithme, dont l'argument dépend de deux des inconnues (b et c); le procédé classique de résolution est donc ici inapplicable.
Tu ne précise d'ailleurs pas s'il s'agit d'un simple système de 4 équations à 4 inconnues, ou s'il s'agit d'un système surdéterminé (Np > 4), lequel demande de recourir à une recherche des moindres carrés.

On peut ici envisager l'approche progressive du minimum de la fonction

G(a, b, c, d) = ∑_k=1^Np(yk - a*Ln(b*x_k + c) - d)²

en repérant la plus faible des 16 nouvelles valeurs de G(a', b', c', d') obtenues à partir d'un quadruplet (a, b, c, d) donné, et correspondant à

a' = a ± ∆a , b' = b ± ∆b , c' = c ± ∆c , d = d ± ∆d .

Il serait bon de partir de valeurs initiales (a₀, b₀, c₀, d₀) pas trop éloignées de la solution recherchée, afin que la suite obtenue ne s'égare pas dans un minimum secondaire; as-tu une idée (même très approchée) de cette solution ?
Il faudra aussi partir de bonnes valeurs pour les incréments (∆a, ∆b, ∆c, ∆d) afin d'éviter une évolution trop lente (si les valeurs retenues sont trop faibles) ou l'explosion numérique (dans le cas de valeurs trop élevées).

L'algorithme risque d'apparaître assez lourd, et de donner des solutions peu précises, même avec des données numériques au format Extended.

[Waptia]

Une localisation approximative du minimum de la fonction G(a, b, c, d) est envisageable à partir d'une estimation grossière des valeurs extrêmes (minimale et maximale) de chacun des paramètres (a, b, c, d):

A_min et A_max, B_min et B_max ... etc ,

en faisant par ex. intervenir 4 entiers naturels inférieurs à 5: (Ia, Ib, Ic, Id); ils permettent l'énumération de toutes les combinaisons possibles sur le domaine envisagé par l'emploi des relations:

a = A_min + (Ia/4)*(A_max - A_min) ; b = B_min + (Ib/4)*(B_max - B_min) ;
c = C_min + (Ic/4)*(C_max - C_min) ; d = D_min + (Id/4)*(D_max - D_min) .

Il y a dans le cas envisagé 5⁴ = 625 combinaisons, l'ordinateur effectuera rapidement les calculs.

Ce procédé peut conduire à un autre algorithme de recherche du minimum absolu de (G).

Disposes-tu d'un tableau des valeurs du couple (x_k, y_k) ?

[tbc92]

J'ai l'impression qu'on est en plus dans de la régression multiple, donc un 'individu' A(i) serait (x0i, x1i, ...., xni, yi)

[Waptia]

J'ai l'impression qu'on est en plus dans de la régression multiple ...

Effectivement, le gros inconvénient étant que la relation ne se présente pas sous la forme d'une combinaison linéaire

y = a*F₁(x) + b*F₂(x) + c*F₃(x) + d*F₄(x) ...

Les dérivées partielles de la somme des carrés G(a, b, c, d) ne conduisent pas à des relations simples.

Le procédé bourrin précédemment suggéré devrait permettre de cerner au moins une solution, tant que l'argument du logarithme (b*x_k + c) ne vient pas à s'annuler ou changer de signe ...

[Waptia]

Petite remarque plutôt encourageante: le nombre de paramètres indépendants présents dans l'expression

F(x) = a*ln(b*x + c) + d

peut être réduit à trois; il vient en effet, si (b) est un terme strictement positif:

F(x) = a*ln(b*(x + c/b)) + d = a*ln(b) + a*ln(x + c/b) + d ,

soit finalement:

F(x) = a*ln(x + c') + b'

si l'on convient de poser: b' = d + a*ln(b) et c' = c/b .

Peut-on voir un tableau de données (x_k, y_k) ?