Discussion :

[Alex86]

Bonjour,

Je souhaiterai savoir s'il est possible de faire des calculs de volume sur R notamment à partir d'un intervalle.

J'ai une fonction f(x,y,z,c) qui est capable de me donner des concentrations à chaque point x,y,z. Je souhaiterai savoir quelle est le volume (x,y,z) pour une plage de concentration donnée (c).

Merci de votre aide,

[tbc92]

Henri Poincaré disait : Un problème bien posé est un problème à moitié résolu
Ici, j'ai l'impression que ton problème n'a pas de solution, mais c'est uniquement parce que je ne comprends pas la question.

[Alex86]

Pas facile de présenter un problème.

Je vais ressayer, si les données sont en 3d + une valeur (x,y,z,c). Est il possible de connaitre un volume associé au paramètre c ?
Par exemple, quel est le volume (x,y,z) pour c>1 ?

Dites moi si je ne suis toujours pas clair...

[tbc92]

J'essaie d'imaginer un truc. On a une fonction f de R3 vers R : pour chaque triplet (x,y,z), cette fonction donne une valeur c.
Et ce qu'on veut, c'est identifier tous les triplets (x,y,z) pour lesquels c est supérieur à 1. Et on veut connaître le volume correspondant à tous ces points(x,y,z).

Mais si c'était ça, tu aurais expliqué plus clairement ; ça doit être un truc plus compliqué.

[Alex86]

J'essaie d'imaginer un truc. On a une fonction f de R3 vers R : pour chaque triplet (x,y,z), cette fonction donne une valeur c.
Et ce qu'on veut, c'est identifier tous les triplets (x,y,z) pour lesquels c est supérieur à 1. Et on veut connaître le volume correspondant à tous ces points(x,y,z).

Mais si c'était ça, tu aurais expliqué plus clairement ; ça doit être un truc plus compliqué.

C'est exactement ça pourtant

[tbc92]

Alors tout dépend de la fonction f.
Si par exemple, on a f(x,y,z) = 1/(x²+y²+z²+z+1) , et qu'on cherche le volume des points tels que f(x,y,z) > 1, ce volume est une sphère, on peut exprimer ce volume avec une fonction g(x,y) <z< h(x,y), ( ou bien g(x,z) < y < h(x,z), ce n'est pas forcément z qu'on doit isoler). Et ceci nous ramène à un volume classique, qui se calcule via une intégrale.

Mais si on a par exemple f(x,y,z) = x^3+ y^4 + z ^5 + 10 ( x^6+y^10+ z^14 ) + xy+3zy -zx , et qu'on cherche le volume des points tels que f(x,y,z) < 1, je ne vois pas du tout comment isoler une des 3 variables, et du coup, pas de solution. Sauf à coup de calcul numérique, estimations etc etc : on prend plein de tout petits cubes, de côtés 0.001 ; Pour chaque petit cube, on regarde si le centre du cube vérifie f(x,y,z) < 1, et si oui, on considère que le mini-cube convient.

[Alex86]

Je vous remercie.

Dans le cas numéro 1, il faudrait donc une triple intégral pour isoler x, y et z ?

Savez vous comment démarrer (en code, je ne sais pas si c'est simple) pour la solution des petits carrés ?

[tbc92]

Dans le cas n°1, c'est une intégrale double, et non triple. Je donnais comme exemple le cas d'une sphère, regarde comment on calcule le volume d'une sphère, via une intégrale double, (et donc comment on démontre la formule connue).

Pour la solution des petits cubes, il faut avoir une vague idée de la forme de la fonction. Il faut savoir zoner plus ou moins les valeurs de x, y, et z qui sont raisonnables.
Par exemple, avec la fonction bien tordue que j'ai proposée, on a les termes 10 ( x^6+y^10+ z^14 ) qui sont forcément positifs, et qui deviennent vite très grand dès que x ou y ou z dépasse 1.
J'ai l'impression qu'on peut faire des boucles entre -1 et 1, et qu'on aura le volume tout entier.
Mais je me trompe peut-être.
Et avec une autre fonction, ce sera différent.

Si on ne sait pas dire à l'avance que toute la partie qui nous concerne est dans un certain gros cube (ici x entre -1et 1, y entre -1 et 1 et z entre -1 et 1), alors c'est galère.

Code :

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volume = 0 
x=-1
while x <= 1 loop
   y=-1
   while y <= 1 loop 
    z=-1
    while z<= 1 loop
       if f(x,y,z) < 1 then 
          volume = volume + 0.001*0.001*0.001
       end if 
       z = z+0.001
    end loop
  y = y+0.001
  end loop
x = x+0.001
end loop
 
print(volume)

En terme de performance, c'est catastrophique, mais c'est un premier jet hyper-bourrin. On va calculer 8 Milliards de fois notre fonction f ; plus on est capable d'éliminer rapidement (ou de valider rapidement) telle ou telle portion du gros cube, mieux c'est.